جمع بردارها با استفاده از مؤلفه‌ها - مسائل و راه‌حل‌ها
۱. سه بردار مطابق شکل زیر.
V1 = 30
وی ۲ = ۳۰
وی ۳ = ۴۰
بردارهای حاصل کدامند ؟
شناخته شده:
V 1 = 30، زاویه بین V 1 و محور x = 30 درجه
V 2 = 30، زاویه بین V 2 و محور x = 30 درجه
V 3 = 40، زاویه بین V 3 و محور x = 0 درجه
مورد نظر: بردارهای حاصل
راه حل :
V 1x = (V 1 )(cos 30 o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x مثبت (به سمت راست) قرار دارد.
V 1y = (V 1 )(sin 30 o ) = (30)(0.5) = 15. مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور y مثبت (به سمت بالا) قرار دارد.
V 2x = (V 2 )(cos 30 o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. منفی است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x منفی (به سمت چپ) قرار دارد.
V 2y = (V 2 )(sin 30 o ) = (30)(0.5) = 15. مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور y مثبت (به سمت بالا) قرار دارد.
V 3x = (V 3 )(cos 0 o ) = (40)(1) = 40. مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x مثبت (به سمت راست) قرار دارد.
V 3y = (V 3 )(sin 0 o ) = (40)(0) = 0
اجزای بردارهای حاصل:
V x = V 1x – V 2x + V 3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40
V y = V 1y + V 2y + V 3y = 15 + 15 = 30
۲. دو نیرو عمود بر هم، F1 = 12 N و F2 = 5 N. برآیند هر دو نیرو چقدر است؟
شناخته شده:
نیرو ۲ (F1 ) = ۹ نیوتن
نیروی ۲ (F2 ) = ۵ نیوتن
مورد نظر: بردارهای حاصل ( ΣF)
راه حل :
ΣF2 = F12 + F22 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169
ΣF = √ ۱۶۹ = ۱۳ نیوتن
۳. سه بردار،
V1 = 30
V2 = 30
وی ۲ = ۳۰
بردارهای حاصل را تعیین کنید.
شناخته شده:
v 1 = 30، زاویه 30 درجه حول محور x منفی ایجاد می‌کند
v 2 = 30، باعث می‌شود که 30 درجه حول محور x مثبت باشد
v 3 = 40، باعث می‌شود که 0 درجه حول محور x مثبت باشد
مورد نظر: بردارهای حاصل
راه حل :
اجزای بردارها:
v 1x = v 1 cos 30 o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( منفی است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x منفی (به سمت چپ) قرار دارد )
v 1y = v 1 sin 30 o = (30)(0.5) = 15 ( مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور y مثبت (به سمت بالا) قرار دارد )
v 2x = v 2 cos 30 o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x مثبت (به سمت راست ) قرار دارد )
v 2y = v 2 sin 30 o = (30)(0.5) = 15 ( مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور y مثبت (به سمت بالا) قرار دارد. )
v 3x = v 3 cos 0 o = (40)(1) = 40 ( مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x مثبت (به سمت راست) قرار دارد. )
v 3y = v 3 sin 0 o = (40)(0) = 0
اجزای بردارهای حاصل:
v x = – v 1x + v 2x + v 3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40
v y = v 1y + v 2y + v 3y = 15 + 15 = 30
بردار حاصل:
۴. حاصل سه بردار نشان داده شده در شکل زیر چیست ؟
شناخته شده:
F1 = ۳ نیوتن، می سازد 60o حول محور مثبت x
F2 = 3 نیوتن، حول محور x منفی 0 درجه می‌شود
F3 = 6 نیوتن ، زاویه 60 درجه حول محور منفی y ایجاد می‌کند.
مورد نظر: بردار حاصل
راه حل :
اجزای بردارها:
F 1x = F 1 cos 60 o = (3)(0.5) = 1.5 N ( مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x مثبت (به سمت راست ) قرار دارد )
F 1y = F 1 sin 60 o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور y مثبت (به سمت بالا) قرار دارد )
F 2x = F 2 cos 0 o = (3)(1) = -3 N ( منفی است زیرا این مؤلفه بردار در امتداد محور x منفی (به سمت چپ) قرار دارد )
F 2y = F 2 sin 0 o = (3)(0) = 0
F 3x = F 3 cos 60 o = (6)(0.5) = 3 N ( مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x مثبت (به سمت راست ) قرار دارد )
F 3y = F 3 sin 60 o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( منفی است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور y منفی ( به سمت پایین ) قرار دارد )
اجزای بردارهای حاصل:
ΣF x = F 1x – F 2x + F 3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N
ΣF y = F 1y + F 2y – F 3y = 1.5√3 N + 0 N - 3√3 N = -1.5√3 N
بردار حاصل:
۵. دو نیرو، F1 = 15 N و F2 = 9 N. زاویه بین هر دو بردار ۶۰ درجه است. برآیند بردارها چقدر است ؟
مورد نظر:
نیروی ۱ (F1 ) = ۱۵ نیوتن
نیرو ۲ (F2 ) = ۹ نیوتن
زاویه ( θ) = 60 درجه
مورد نظر: بردار حاصل
راه حل :
۶. حاصل سه بردار مطابق شکل زیر چیست؟
شناخته شده:
F1 = 20 نیوتن، زاویه بین F1 و محور x = 0
F2 = 20 نیوتن، زاویه بین F2 و محور x = 60
F3 = 24 نیوتن، زاویه بین F3 و محور x = 60
مورد نظر: بردار حاصل
راه حل :
اجزای بردارها:
F 1x = (F 1 )(cos 0) = (20)(1) = 20. مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x مثبت (به سمت راست ) قرار دارد.
F 1y = (F 1 )(sin 0) = (20)(0) = 0
F₂x = (F₂ ) (cos₂) = (20)(0.5) = -10. منفی است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x منفی (به سمت چپ) قرار دارد.
F2y = (F2 ) (sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. مثبت است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور y مثبت (به سمت بالا) قرار دارد.
F₂x = (F₂ ) (cos₂) = (24)(0.5) = -12. منفی است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور x منفی (به سمت چپ) قرار دارد.
F3y = (F3 ) (sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N منفی است زیرا این مؤلفه برداری در امتداد محور y منفی ( به سمت پایین ) قرار دارد.
اجزای بردارهای حاصل:
F x = F 1x – F 2x – F 3x = 20 – 10 – 12 = -2
F y = F 1y + F 2y – F 3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3
بردار حاصل:
