مواد ضرب نقطه‌ای با استفاده از مؤلفه‌های بردار واحد
اگر مؤلفه‌های x، y و z بردارهای A و B (بردارهای معلوم) را بدانیم، می‌توانیم حاصلضرب اسکالر را مستقیماً محاسبه کنیم .
برای انجام ضرب نقطه‌ای به این روش، ابتدا ضرب نقطه‌ای بردارهای واحد را انجام می‌دهیم، پس از آن بردارهای A و B را در مؤلفه‌هایشان بیان می‌کنیم، حاصلضرب را تجزیه می‌کنیم و از حاصلضرب بردارهای واحد استفاده می‌کنیم.
بردارهای یکه i ، j و k بر یکدیگر عمود هستند و محاسبات را آسان‌تر می‌کنند. با استفاده از معادله ضرب اسکالر که در بالا به دست آمد ( AB = AB� ...
i. i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
اکنون بردارهای A و B را بر حسب مؤلفه‌هایشان بیان می‌کنیم، حاصلضرب آنها را تجزیه می‌کنیم و از حاصلضرب بردارهای واحد استفاده می‌کنیم.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
کارنا i . i = j . j = k . k = ۱ و i . j = i . k = j . k = 0، آنگاه:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
الف . ب = الف × ب × (1) + 0 + 0 +
0 + A y توسط y ( 1) + 0 +
0 + 0 + الف ب ج ( 1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
بر اساس نتایج این محاسبه، می‌توان نتیجه گرفت که حاصلضرب اسکالر یا ضرب نقطه‌ای دو بردار، مجموع حاصلضرب مؤلفه‌های مشابه آنهاست.
مثال سوال ۱:
بردار بزرگ A دان B به ترتیب ۵ و ۴ هستند، همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است. زاویه تشکیل شده ۹۰ درجه است.oبشمارش. ضرب نقطه‌ای هر دو بردار.
پمباهاسان
قبل از اینکه ضرب داخلی بردارهای A و B را محاسبه کنیم، ابتدا باید مؤلفه‌های بردار دوم را بدانیم.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
الف ) z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
ب z = 0
بردار A فقط روی محور xها و بردار B فقط روی محور yها مؤلفه‌های برداری دارد. مؤلفه z برابر با صفر است زیرا بردارهای A و B در صفحه xy قرار دارند.
اکنون ضرب داخلی بین بردارهای A و B را با استفاده از معادله ضرب داخلی با بردارهای مؤلفه محاسبه می‌کنیم:
آ . ب = الفx Bx + AyBy + AzBz
الف. ب = (5) (0) + (0) (4) + 0
الف. ب = ۰ + ۰ + ۰
الف. ب = ۰
بیایید آن را با روش اول مقایسه کنیم
AB = AB کوس تتا
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
نتیجه یکی است.
مثال سوال ۱:
بردار بزرگ A دان B به ترتیب ۵ و ۴ هستند، همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است. محاسبه کنید ضرب نقطه‌ای هر دو بردار، اگر زاویه تشکیل شده 30 درجه باشدo
پمباهاسان
قبل از اینکه ضرب داخلی بردارهای A و B را محاسبه کنیم، ابتدا باید مؤلفه‌های بردار دوم را بدانیم.
مولفه z برابر با صفر است زیرا بردارهای A و B در صفحه xy قرار دارند.
اکنون ضرب داخلی بین بردارهای A و B را با استفاده از معادله ضرب داخلی با بردارهای مؤلفه محاسبه می‌کنیم:
با روش اول مقایسه کنید.
