Pascal ereduak konbinatorian
Konbinatoria matematikaren adarra da, objektuak antolatzeko moduak aztertzen dituena. Arlo honetako tresna interesgarri eta erabilgarrienetako bat Pascalen eredua da, Pascalen triangelua bezala ere ezagutzen dena. Pascalen triangelua arau jakin batzuen arabera eraikitako zenbakien triangelu bat da eta aplikazio zabalak ditu matematikaren hainbat arlotan, besteak beste, probabilitatearen teorian, zenbakien teorian eta, noski, konbinatorikan.
Pascalen triangeluaren jatorria
Pascalen triangelua Blaise Pascalen omenez izendatu zuten, XVII. mendeko matematikari frantziarra. Hala ere, Indiako eta Txinako matematikariek Pascalen garaia baino askoz lehenago ezagutzen zuten. Indian, "Meru-Prastaara" deitzen zitzaion, eta Txinan "Yang Hui Triangelua" bezala ezagutzen zen, Yang Hui matematikari txinatarraren omenez.
Pascalen triangeluaren egitura
Pascalen triangelua erpinean 1 zenbakiarekin hasten da. Ondorengo errenkada bakoitza gaineko errenkadako bi zenbakiak batuz osatzen da. Lehenengo errenkadak zenbaki bakarra dauka, 1. Bigarren errenkadak 1 zenbakiko bi zenbaki ditu. Hirugarren errenkadak mutur bakoitzean 1 zenbakiak ditu, bien artean 2 zenbaki batekin, aurreko errenkadako bi 1 zenbakiak batu ondoren lortutako emaitza.
Oro har, Pascalen triangeluko n. errenkada honela idatz daiteke:
1, (n-1)C1, (n-1)C2, …, (n-1)C(n-1), 1
Hemen, “kC(n)” konbinazio-sinbolo bat da, “n choose k” edo “n select k” bezala irakurtzen dena, matematikako konbinazio-formula bat dena eta probabilitate-teorian eta aljebra linealean askotan erabiltzen dena.
Aplikazioak konbinatorikan
1. Konbinazioa
Pascalen Triangeluaren aplikazio nagusietako bat konbinatorikan konbinazioak kalkulatzea da. Konbinazioa multzo bateko elementuak hautatzeko modu bat da, non ordena kontuan hartzen ez den. Pascalen Triangeluaren testuinguruan, n-garren errenkadan eta k-garren zutabean dauden balioek n-1Ck-1 konbinazioak adierazten dituzte.
Adibidez, 5C2 konbinazioa kalkulatzeko (5etik 2 aukeratuz), Pascalen Triangeluko 6. errenkada eta 3. zutabea azter ditzakegu, eta horrek 10 balioa ematen digu. Beste era batera esanda, 10 modu daude 5 elementuko multzo batetik 2 elementu aukeratzeko.
2. Permutazioak eta koefiziente binomialak
Pascalen Triangelua ere oso lotuta dago (x + y)^n-ren hedapen binomialean agertzen diren koefiziente binomialekin. Koefiziente hauek Pascalen Triangeluan aurkitzen ditugun zenbakiak dira. Adibidez, (x + y)^3-ren hedapena hau da:
(x + y)^3 = 1 x^3 + 3 x^2 y + 3 xy^2 + 1 y^3
Hemen, 1, 3, 3 eta 1 koefizienteak Pascalen Triangeluaren balioak dira 4. errenkadan.
3. Probabilitate Jokoa
Probabilitate teorian, Pascalen Triangelua askotan erabiltzen da hainbat emaitzaren probabilitatea zehazteko. Adibidez, txanpon bat lau aldiz botatzean, bi buru ateratzeko probabilitatea jakin nahi dugu. Pascalen Triangelua erabiliz, dagokien konbinazio kopurua aurki dezakegu, bosgarren errenkadan eta hirugarren zutabean dagoena, eta horrek 6ko balioa ematen digu. Beraz, sei modu daude lau txanpon jaurtiketatan bi buru ateratzeko.
Pascalen triangeluaren propietate bereziak
Pascalen triangeluak hainbat propietate interesgarri eta harrigarri ere baditu:
1. Simetria
Pascalen triangeluak zenbakien simetria erakusten du. Pascalen triangeluaren n. errenkada simetrikoa da, beraz, nCr = nC(nr).
2. Fibonacciren erlazioa
Pascalen triangelua Fibonacciren segida erlazionatzeko ere erabil daiteke. Fibonacciren zenbakiak Pascalen triangeluan hainbat lerro gurutzatzen dituzten diagonaletako zenbakiak batuz aurki daitezke.
3. Parekotasuna
Pascalen Triangeluak paritate-eredu interesgarriak erakusten ditu. Pascalen Triangeluko zenbaki bakoitiak eta bikoitiak modu ezberdinean koloreztatzen baditugu, eredu bisual interesgarriak sortzen dira, askotan fraktalak eratuz.
Pascal ereduen inplementazioa programazioan
Pascalen triangelua algoritmoetan eta programazioan ere maiz erabiltzen da. Adibidez, Pascalen triangelua eraiki dezakegu Python bezalako programazio-lengoaia bat erabiliz, hurrengo kodearekin:
"`python"
def sortu_pascal_triangelua(n):
triangelua = [[1]]
i-rentzat (1, n) tartean:
errenkada = [1]
j-rako (1, i) tartean:
errenkada.erantsi(triangelua[i-1][j-1] + triangelua[i-1][j])
errenkada.erantsi(1)
triangelua.erantsi(errenkada)
itzulera triangelua
n = 5
triangelu = sortu_pascal_triangelua(n)
triangeluko errenkada baterako:
inprimatu(errenkada)
"`
Goiko kodeak Pascalen Triangeluaren lehenengo eta bosgarren errenkadak erakutsiko ditu, eta hainbat konbinatoria eta probabilitate-analisi aplikaziotarako erabil daiteke.
Ondorioa
Pascalen Triangelua, edo Pascalen Eredua, tresna indartsu eta polifazetikoa da konbinatorikan. Probabilitate-jokoetan konbinazioak eta probabilitateak kalkulatzetik hasi eta hedapen binomialak deszifratzera eta hainbat kontzeptu matematiko lotzera arte, Pascalen Ereduak arazo konplexuak konpontzeko modu eraginkor eta intuitiboa eskaintzen du. Bere egitura sinplearekin baina sakontasun matematiko nabarmenarekin, Pascalen Eredua matematikaren eta beste zientzia batzuen hainbat arlotan aztertzen eta aplikatzen jarraitzen da.
