Zenbaki osoak eta haien propietateak
Zenbaki osoak matematikako kontzeptu oinarrizkoenetako bat dira, baina eguneroko bizitzan paper garrantzitsua betetzen dute. Elementuak zenbatzen ditugunean, zero azpiko tenperaturak zehazten ditugunean, soto bateko solairu kopurua kalkulatzen dugunean edo negozio bateko irabaziak eta galerak erregistratzen ditugunean, benetan zenbaki osoekin ari gara lanean. Zenbaki osoak eta haien propietateak ulertzeak aritmetika, aljebra eta baita goi-mailako kontzeptu matematikoak ere ikastea erraztuko du.
Zenbaki osoen definizioa
Zenbaki osoak zenbaki oso negatiboek, zerok eta zenbaki oso positiboek osatzen duten zenbaki multzoa dira. Zenbaki osoen multzoa adierazteko erabili ohi den ikurra Z da (alemanezko Zahlen hitzetik eratorria, "zenbakiak" esan nahi duena). Oro har, zenbaki osoak honela idatz daitezke:
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Zenbaki osoek 0 eta zenbaki positiboak bakarrik dituzte ez bezala, zenbaki osoek zenbaki negatiboak dituzte, beraz, egoera desberdinak deskribatzeko osatuagoak dira.
Zenbaki osoen adibideak eguneroko bizitzan
Zenbaki osoak oso lotuta daude giza jarduerarekin. Haien erabileraren adibide batzuk hauek dira:
1. Airearen tenperatura: -5 °C-ko tenperaturak zero azpitik 5 gradu dagoela adierazten du.
2. Altitudea: -20 metroko altuerak itsas mailaren azpitik 20 metrora dagoen posizioa esan dezake.
3. Finantzak: -50.000ko saldoak 50.000ko zorra edo defizita adierazten du.
4. Eraikinaren solairua: -1 edo -2 solairua normalean soto gisa erabiltzen da.
5. Jokoaren puntuazioa: Joko batzuetan, puntuazioa handitu edo txikitu egin daiteke, beraz, zenbaki positiboak eta negatiboak dakartzate.
Adibide hauetatik ikus daiteke zenbaki osoek "gehiago", "txikiago" edo "berdin" egoerak adierazten laguntzen digula, zero erreferentzia-puntu gisa hartuta.
Zenbaki osoko lerroa
Zenbaki osoak ulertzeko, zenbaki-lerro bat erabiltzen dugu askotan. Zenbaki-lerroa zenbakiak posizio zehatzetan kokatzen dituen lerro zuzen bat da:
- Zenbaki positiboak zeroaren eskuinaldean daude.
- Zenbaki negatiboak zeroaren ezkerrean daude.
– Zenbat eta eskuinerago egon balioa, orduan eta handiagoa da.
– Zenbat eta ezkerrerago, orduan eta txikiagoa da balioa.
Zenbaki-lerro batekin, zenbaki osoak erraz alderatu ditzakegu. Adibidez, -2 -5 baino handiagoa da, -2 -5 baino eskuinerago dagoelako.
Zenbaki osoen propietateak
Zenbaki osoek hainbat propietate garrantzitsu dituzte eragiketa matematikoetan. Propietate hauek oso erabilgarriak dira kalkuluak egiten ditugunean, adierazpen aljebraikoak sinplifikatzen ditugunean edo kontzeptuak frogatzen ditugunean.
1. Natura itxia (Itxiera)
Zenbaki osoen multzoa itxia da eragiketa batzuen pean, hau da, eragiketa horiek zenbaki osoekin egiten baditugu, emaitza oraindik ere zenbaki osoa izango da.
– Batuketa: a eta b zenbaki osoak badira, orduan a + b ere zenbaki osoa da.
Adibidea: -3 + 7 = 4
– Kenketa: a eta b zenbaki osoak badira, orduan a − b ere zenbaki osoa da.
Adibidea: 5 − 12 = -7
– Biderketa: a eta b zenbaki osoak badira, orduan a × b ere zenbaki osoa da.
Adibidea: (-4) × 6 = -24
Hala ere, zenbaki osoak ez dira beti zatiketaren aurka itxiak, zatiketaren emaitza zatiki bat izan daitekeelako.
Adibidea: 1 ÷ 2 = 1/2 (ez da zenbaki osoa).
2. Kommutaziozko jabetza (Trukea)
Kommutazio-propietateak esan nahi du zenbakien ordena trukatu daitekeela emaitza aldatu gabe.
– Batuketa: a + b = b + a
Adibidea: 2 + (-5) = (-5) + 2 = -3
– Biderketa: a × b = b × a
Adibidea: (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12
Garrantzitsua da gogoratzea kenketa eta zatiketa ez direla kommutatiboak.
Adibidea: 7 − 2 ≠ 2 − 7.
3. Elkartze-ezaugarriak (Taldekatzea)
Propietate asoziatiboak esan nahi du eragiketa batean zenbakiak taldekatzeko moduak ez duela emaitza aldatzen.
– Batuketa: (a + b) + c = a + (b + c)
Adibidea: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6
– Biderketa: (a × b) × c = a × (b × c)
Adibidea: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24
Kommutazio-propietatea bezala, asoziazio-propietatea ez da aplikatzen kenketa eta zatiketari.
4. Banaketa-ezaugarriak (Hedapena)
Banaketa-propietateak biderketa-eragiketak batuketa edo kenketarekin erlazionatzen ditu:
– a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Adibidea: 3 × (2 + 5) = (3 × 2) + (3 × 5) = 6 + 15 = 21
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
Adibidea: 4 × (10 − 3) = 40 − 12 = 28
Propietate hau oso garrantzitsua da forma aljebraikoak sinplifikatzeko eta ekuazioak ebazteko.
5. Identitate elementuak (batuketa eta biderketa identitateak)
Identitatea beste zenbaki baten balioa aldatzen ez duen zenbaki bat da, haren gainean eragiketa egiten denean.
– Gehigarrizko identitatea 0 da: a + 0 = a
Adibidea: -9 + 0 = -9
– Biderketa identitatea 1 da: a × 1 = a
Adibidea: 8 × 1 = 8
Identitateek eragiketa matematikoetan kontzeptu neutroa ulertzen laguntzen digute.
6. Alderantzizko elementuak (zenbaki kontrajarriak)
Zenbaki oso orok du alderantzizko gehigarria, hau da, zenbaki baten aurkakoa, eta batuketa egitean 0 ematen duena.
– a-ren alderantzizkoa -a da, beraz: a + (-a) = 0
Adibidea: 6 + (-6) = 0, eta -4 + 4 = 0
Hala ere, zenbaki oso guztiek ez dute biderketan alderantzizkoa. Adibidez, 2ren alderantzizko biderkatzailea 1/2 da, eta hori ez da zenbaki osoa.
7. Seinale positiboak eta negatiboak funtzionamenduan
Zenbaki osoetan, zeinu positibo eta negatiboek biderketa eta zatiketa egiteko arau bereziak ematen dituzte:
– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)
Kontua:
– 3 × (-2) = -6
– (-5) × (-4) = 20
Batuketa eta kenketa egiteko, zenbaki-zuzenaren edo erregelaren kontzeptua erabiltzen dugu maiz:
– Zenbaki negatiboak batzea “kentzea” bezalakoa da.
– Zenbaki negatibo bat kentzea “gehitzea” bezalakoa da.
Kontua:
– 7 + (-3) = 4
– 5 − (-2) = 7
Ondorioa
Zenbaki osoak zenbaki negatiboz, zeroz eta zenbaki positiboz osatutako zenbaki multzo bat dira. Zenbaki hauek oso garrantzitsuak dira, bizitzako hainbat baldintza deskriba ditzaketelako, hala nola zero azpiko tenperaturak, finantza-galerak edo itsas mailaren azpiko kokapenak. Zenbaki osoek oinarrizko propietateak ere badituzte, hala nola itxiak izatea (batuketa, kenketa eta biderketa egiteko), kommutatiboak, asoziatiboak, banatzaileak, identitateak eta alderantzizko gehigarriak izatea. Zenbaki osoen propietateak ulertuz, errazago egingo ditugu kalkuluak, eragiketak sinplifikatu eta ondorengo gai matematikoak ikasiko ditugu, hala nola aljebra, ekuazioak eta beste zenbaki-sistema batzuk.
Nahi baduzu, artikulu honen bertsio bat egin dezaket lehen/erdi mailako hezkuntzarako (errazagoa) edo bertsio formalago bat, hala nola, praktika-galderak eta eztabaidekin egindako lan oso bat.
