Zer da biderketa gurutzatua?
Biderketa gurutzatua oinarrizko teknika matematikoa da, maiz erabiltzen dena erlazio eta proportzioekin lotutako problemak ebazteko. Sinplea dirudien arren, kontzeptu hau oso erabilgarria da eguneroko bizitzan: ondasunen prezioa kalkulatzea, mapen eskala zehaztea, errezetak doitzea eta eskolan matematikako problemak ebaztea. Artikulu honek zer den biderketa gurutzatua, noiz erabiltzen den, nola egin eta bere aplikazioen adibideak aztertuko ditu.
Biderketa gurutzatua ulertzea
Oro har, biderketa gurutzatua bi zatiki alderatzeko edo ekuazioak proportzio moduan ebazteko metodo bat da, zenbakitzailearen eta izendatzailearen arteko biderketa "gurutzatuz".
Adibidez, bi zatiki daude:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]
Biderketa gurutzatuaren bidez, a d-z eta b c-z biderkatzen dugu, eta horrela lortzen dugu:
\[
a ∫ d = b ∫ c
\]
Hau da biderketa gurutzatuaren funtsa: bi zatikien ekuazioa kalkulatzeko errazago den biderketa forma batera aldatzea.
Zergatik deitzen zaio "Gurutzea"?
"Gurutzea" deitzen zaio, bi zatiki paralelo idazten baditugu, biderkatzen diren zenbaki bikoteek gurutze-eredu bat osatzen dutelako:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]
Biderketa gurutzatuak honako hau hartzen du:
– ezkerreko zenbakitzailea (a) bider eskuineko izendatzailea (d)
– ezkerreko izendatzailea (b) bider eskuineko zenbakitzailea (c)
bisualki gurutze-lerro baten antza duena.
Noiz erabiltzen da biderketa gurutzatua?
Biderketa gurutzatua normalean erabiltzen da honako kasu hauetan:
1. Proportzio-problemak ebatzi
Adibidez: «2 kg sagar 30.000 balio badute, zenbat balio dute 5 kg-k?»
2. Bi zatiki alderatzea
Adibidez, 3/5 eta 4/7 artean zein den handiagoa zehaztea.
3. Balio ezezagunak (aldagaiak) aurkitu
Adibidez, matematika-problema honetan: 3/4 = x/12, aurkitu x.
4. Eskala arazoak
Adibidea: maparen eskala 1:100.000, mapan distantzia 5 cm-koa da, zein da benetako distantzia?
5. Abiadura, denbora eta distantziaren problemak (konparaziozko forman)
Proportzioetan antolatuta dagoenean, biderketa gurutzatuak lagun dezake.
Nola egin biderketa gurutzatua
Errazago egiteko, jarraitu urrats hauek:
1. Ziurtatu galderaren forma proportzionala dela:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]
2. Biderketa gurutzatua egin:
\[
a ∫ d = b ∫ c
\]
3. Aldagai bat badago (adibidez, x), bihurtu aldagai hori bilatu beharreko foku.
4. Ebatzi ekuazioa ohi bezala.
1. adibidea: x-ren balioa aurkitzea
Emandakoa:
\[
\frac{3}{4} = \frac{x}{12}
\]
Egin biderketa gurutzatua:
\[
3 bider 12 = 4 bider x
\]
\[
36 = 4x
\]
\[
x = \frac{36}{4} = 9
\]
Beraz, x-ren balioa = 9 da.
2. adibidea: Pisuaren araberako prezioa kalkulatzea
2 kg azukrek 28.000 Rp balio badute, zenbat balio dute 5 kg-k?
Proportzioa egiten dugu:
\[
\frac{2}{5} = \frac{28000}{x}
\]
Edo hau ere egin dezakezu:
\[
\frac{2 \text{ kg}}{28000} = \frac{5 \text{ kg}}{x}
\]
Baina errazena:
\[
\frac{2}{28000} = \frac{5}{x}
\]
Biderketa gurutzatua:
\[
2x = 28000 × 5
\]
\[
2x = 140000
\]
\[
x = 70000
\]
Beraz, 5 kg azukreren prezioa 70.000 IDR da.
3. adibidea: Zatiki handiagoak zehaztea
Konparatu:
\[
\frac{3}{5} \text{ eta } \frac{4}{7}
\]
Erabili biderketa gurutzatua:
– 3 × 7 = 21
– 4 × 5 = 20
21 > 20 denez, orduan:
\[
\frac{3}{5} > \frac{4}{7}
\]
Biderketa gurutzatuak zatikiak alderatzea errazten digu hamartar bihurtu beharrik gabe.
Biderketa gurutzatuaren ohiko akatsak
Erraza dirudien arren, hainbat akats gertatzen dira maiz:
1. Zenbakiak gaizki gurutzatzea
Adibidez, a c-rekin biderkatzea (a d-rekin izan beharko luke).
2. Proportzioak ez mantentzea
Biderketa gurutzatua bi zatiki baliokideri aplikatzen zaie ("=") forman.
3. Unitateak gaizki kokatzea
Istorio-problemetan, unitateak koherenteak izan behar dira (kg kg-rekin, cm cm-rekin, eta abar).
4. Ekuazioa lortu ondoren zatitzea ahaztea
Adibidez: 36 = 4x lortu duzu dagoeneko, baina ez duzu x = 9ra jarraitu.
Akatsak ekiditeko, egiaztatu beti urratsak eta ziurtatu aldagaiak posizio zuzenean daudela.
Biderketa gurutzatua eguneroko bizitzan
Biderketa gurutzatua ez da matematikako azterketetan bakarrik erabiltzen. Mundu errealeko egoera askotan, kontzeptu hau konturatu gabe ere agertzen da.
1. Sukaldaritza errezetak
Errezetak 4 anoarako 2 koilarakada azukre eskatzen baditu, orduan 10 anoarako:
\[
\frac{2}{4} = \frac{x}{10}
\Eskuineko gezia 2 \times 10 = 4x
\Eskuineko gezia 20 = 4x
Eskuineko gezia x = 5
\]
5 koilarakada azukre behar dira.
2. Maparen eskala
Eskala 1:50.000 bada, mapan 1 cm = errealitatean 50.000 cm direla esan nahi du (500 m). Mapan distantzia 3 cm bada, benetako distantzia 1.500 m da.
Proportzioekin:
\[
\frac{1}{500} = \frac{3}{x}
\]
Biderketa gurutzatua erabil daiteke x aurkitzeko.
3. Abiadura eta Denbora
Ibilgailuak 120 km egiten baditu 2 ordutan, orduan 5 ordutan (abiadura konstantean):
\[
\frac{120}{2} = \frac{x}{5}
\Eskuineko gezia 120 \times 5 = 2x
\Eskuineko gezia 600 = 2x
Eskuineko gezia x = 300
\]
Egindako distantzia 300 km-koa da.
Ondorioa
Biderketa gurutzatua ratioak eta proportzioak ebazteko ezinbesteko metodoa da. Zatiki baten zenbakitzailea beste baten izendatzailearekin biderkatuz funtzionatzen du, eta horrela, ebazteko errazago den ekuazio bat lortzen da. Biderketa gurutzatua ulertzeak hainbat matematika-problema azkarrago eta zehatzago ebazteko aukera ematen digu, eta eguneroko egoera askotan ere aplika daiteke, hala nola prezioak kalkulatzea, eskalak kalkulatzea, errezetak kalkulatzea eta distantziak eta denbora kalkulatzea.
Nahi baduzu, artikulu honen bertsio sinpleago bat sortzen lagun zaitzaket lehen hezkuntzako/erdi mailako ikasleentzat, edo bertsio akademikoago bat, praktika-galderak eta eztabaidekin osatua.
