Näidisküsimused ja arutelu ühe trigonomeetrilise suhte tüübi kohta: tan θ
Trigonomeetria on matemaatika haru, mis uurib kolmnurkade nurkade ja külgede pikkuste vahelist seost. Üks sageli käsitletav trigonomeetriline suhe on puutuja (tan). Selles artiklis keskendume tan-suhte kasutamisele erinevat tüüpi ülesannetes ja arutame mitmeid tan θ-ga seotud näiteid.
Tan θ definitsioon
Nurga θ puutuja on defineeritud kui vastaskülje ja naaberkülje pikkuse suhe täisnurkses kolmnurgas. Matemaatiliselt kirjutatakse see järgmiselt:
\[ \tan θ = \frac{\text{vastaskülg}}{\text{kõrvalkülg}} \]
Ühikringis saab tan-i tõlgendada ka kui y-koordinaadi (eesmine külg) ja x-koordinaadi (külgmine külg) suhet ringi punktis, mis asub keskpunktist ühe ühiku kaugusel.
Tan-funktsioon matemaatikas ja füüsikas
Trigonomeetriat, eriti tan-funktsiooni, kasutatakse mitmesugustes matemaatilistes ja füüsikalistes rakendustes. Näiteks klassikalises füüsikas kasutatakse tan-funktsiooni mürsu liikumise analüüsimisel ja inseneriteaduses pinna kaldenurga või gradiendi arvutamiseks.
Näidisküsimused ja arutelu
Siin on mõned näidisküsimused ja nende arutelud, et tan θ kasutamist sügavamalt mõista.
Küsimus 1: Täisnurkse kolmnurga tan θ arvutamine
Antud: Täisnurkse kolmnurga nurga θ vastaskülje pikkus on 4 cm ja nurga θ lähikülje pikkus on 3 cm. Arvutage tan θ väärtus.
Arutelu:
Kasutage tan definitsiooni:
\[ \tan θ = \frac{\tekst{esikülg}}{\tekst{külg}} \]
Asendage teadaolevad väärtused:
\[ \tan θ = \frac{4}{3} \]
Seega tan θ väärtus on \( \frac{4}{3} \).
Küsimus 2: Külje pikkuse määramine tan θ abil
Antud: On teada, et täisnurkne kolmnurk nurgaga θ on tan θ = 0.75. Nurga θ lähiskülje pikkus on 8 cm. Arvuta nurga θ vastaskülje pikkus.
Arutelu:
Vastaskülje pikkuse leidmiseks kasutage tan definitsiooni:
\[ \tan θ = \frac{\tekst{esikülg}}{\tekst{külg}} \]
\[ 0.75 = \frac{\tekst{esikülg}}{8} \]
Võrrandi lahendamiseks korrutage mõlemad pooled 8-ga.
\[ \tekst{esikülg} = 0.75 \korda 8 \]
\[ \tekst{esikülg} = 6 cm \]
Seega on esikülje pikkus 6 cm.
Küsimus 3: Nurga θ arvutamine, kui tan θ on teada
Antud: On teada täisnurkne kolmnurk, mille tan θ = 1. Nimeta nurk θ.
Arutelu:
Nurga tan on võrdne 1-ga, kui vastaskülg ja naaberkülg on võrdse pikkusega. Põhitrigonomeetrias toimub see 45° nurga korral.
Seega on θ väärtus 45°.
Küsimus 4: Tan θ kasutamine algebralistes ülesannetes
Antud: Köis on seotud 15 meetri kõrguse posti otsast maapinnal asuva punktini, mis asub posti alusest 20 meetri kaugusel. Arvutage tan θ, kus θ on köie ja posti vahel moodustatud nurk.
Arutelu:
Kasutage tan definitsiooni:
\[ \tan θ = \frac{\text{esikülg (posti kõrgus)}}{\text{külg (horisontaalne kaugus)}} \]
\[ \tan θ = \frac{15}{20} \]
Lihtsusta murdosa:
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Seega tan θ väärtus on \( \frac{3}{4} \).
Küsimus 5: Kõrguse määramine kauguse ja kaldenurga põhjal
Antud: Vaatleja seisab kõrgest hoonest 100 meetri kaugusel. Vaatluse tan θ vaatleja asukohast hoone tipuni on \(\tan 30^\circ\). Määrake hoone kõrgus.
Arutelu:
On teada, et \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\[ \tan θ = \frac{\text{esikülg (hoone kõrgus)}}{\text{külg (kaugus)} } \]
Sisesta teadaolevad väärtused võrrandisse
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{hoone kõrgus}}{100} \]
Kõrguse eraldamiseks korrutage mõlemad pooled 100-ga.
\[ \text{hoone kõrgus} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{hoone kõrgus} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{hoone kõrgus} ≈ 57.73 \text{ meetrit} \]
Seega on hoone kõrgus umbes 57.73 meetrit.
Küsimus 6: Nurga määramine kõrguse ja kauguse järgi
Antud: Sa tead, et torni kõrgus on 50 meetrit ja horisontaalne kaugus vaatluspunktist torni jalamini on 70 meetrit. Määra torni tipu tõusunurk.
Arutelu:
\[ \tan θ = \frac{\text{torni kõrgus}}{\text{horisontaalne kaugus}} \]
\[ \tan θ = \frac{50}{70} \]
\[ \tan θ = \frac{5}{7} \]
θ leidmiseks kasutame pöördtangensfunktsiooni (tan⁻¹) ehk arctani.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
Kalkulaatori või trigonomeetriatabeli abil saame leida θ väärtuse.
\[θ ≈ 35.54° \]
Seega on torni tipu suhtes mõõdetud tõusunurk umbes 35.54°.
Järeldus
Trigonomeetria on võimas tööriist paljudes teadusvaldkondades. Näiteks puutuja on lihtne, kuid võimas suhe, mida saab kasutada mitmesuguste nurkade ja külgede pikkustega seotud probleemide lahendamiseks. Selle definitsiooni ja kasutamise mõistmise abil saame lahendada laia valikut geomeetria- ja füüsikaülesandeid. Selliste ülesannete harjutamine nagu ülaltoodud näites aitab meil igapäevastes arvutustes tan θ kasutamisel oskuslikumaks saada.
