Näide vahelduvvoolu võrrandite arutamise probleemidest
Pendahuluan
Vahelduvvool (AC) on elektrivoolu liik, mis võib perioodiliselt suunda muuta. Erinevalt alalisvoolust (DC), mis voolab ühes suunas, on vahelduvvoolul sinusoidaalne lainekuju ja see on oluline mitmesugustes igapäevastes rakendustes, alates kodumajapidamisest kuni tööstuseni. Vahelduvvoolu võrranditega töötamise tundmine on oluline elektroonika ja elektri mitmete oluliste aspektide mõistmiseks. See artikkel käsitleb mitmeid näidisülesandeid ja lahendusi vahelduvvoolu võrrandite kontseptsiooni selgitamiseks.
Vahelduvvoolu üldvõrrand
Vahelduvvoolu väljendatakse üldiselt sinusoidaalse võrrandiga:
\[i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi) \]
Kus:
– i(t) on hetkeline voolutugevus aja funktsioonina.
– \(I_m \) on voolu tippväärtus (maksimaalne väärtus).
– \( \omega \) on nurkkiirus, mille ühikuks on radiaanid sekundis.
– t on aeg.
– \( \phi \) on voolu algfaas.
Näidisküsimus 1: Voolutugevuse määramine teatud ajahetkel
Küsimus:
Arvestades vahelduvvoolu võrrandit i(t) = 10 ∈ sin(100 ∈ t + ∈ 3)), määrake voolu suurus ajahetkel t = 0.01 ∈ sekundit.
Arutelu:
On teada:
\[ I_m = 10 \, \text{A} \]
\[ \omega = 100\pi \, \text{rad/s} \]
\[ \phi = \pi/3 \]
\[t = 0.01 \, \text{sekundit} \]
Asendage need väärtused praegusesse võrrandisse:
\[i(0.01) = 10 \sin(100 \pi × 0.01 + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(\pi + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(4\pi/3) \]
Märkis, et:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sin(\pi/3) \]
\[ \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2 \]
Seega:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sqrt{3}/2 \]
\[i(0.01) = 10 × -\sqrt{3}/2 \]
\[i(0.01) = -5\qrt{3} \]
\[i(0.01) \umbes -8.66 \, \text{A} \]
Seega on voolutugevus ajahetkel \(t = 0.01 \) sekundit ligikaudu \(-8.66 \, \text{A} \).
Näidisküsimus 2: Nurkkiiruse ja sageduse määramine
Küsimus:
Vahelduvvoolu jaoks, mida väljendatakse võrrandiga \(i(t) = 5 \cos(200\pi t – \pi/4) \), määrake voolu nurkkiirus (ω) ja sagedus (f).
Arutelu:
Arvestades:
\[i(t) = 5 \cos(200\pi t – \pi/4) \]
Nurkkiirus (\( \omega \)) on koosinusfunktsiooni t kordaja, mis on \(200 \pi).
\[ \omega = 200\pi \, \text{rad/s} \]
Sageduse (f) saab leida järgmise seose abil:
\[ \omega = 2 \pi f \]
\[f = \frac{\omega}{2\pi} \]
Asenda nurkkiiruse väärtus:
\[f = \frac{200\pi}{2\pi} \]
\[f = 100 \, \text{Hz} \]
Seega on voolu nurkkiirus \(200\pi \, \text{rad/s} \) ja voolu sagedus on \(100 \, \text{Hz} \).
Näidisküsimus 3: RMS-väärtuse määramine
Küsimus:
Vahelduvvoolu puhul, mis on antud valemiga i(t) = 7 ∈ sin(50t), määrake RMS (ruutkeskmine) väärtus.
Arutelu:
On teada:
\[i(t) = 7 \sin(50t) \]
Sinusoidaalse voolu RMS-väärtus on:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\qrt{2}} \]
kus \(I_m \) on tippvoolu väärtus.
Voolu tippväärtus \(I_m \) on 7 A.
Seega:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7}{\qrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7 \qrt{2}}{2} \]
\[ I_{\text{RMS}} \umbes 4.95 \, \text{A} \]
Seega on selle voolu RMS-väärtus umbes 4.95 A.
Näidisküsimus 4: Keskmise võimsuse arvutamine
Küsimus:
Elektriahel koosneb 10-oomisest takistist ja selles on vahelduvvool \(i(t) = 6 \sin(120\pi t) \). Arvuta takisti keskmine tarbitav võimsus.
Arutelu:
Arvestades praegust olukorda:
\[i(t) = 6 \sin(120\pi t) \]
Tippvoolu väärtus (\(I_m \)) on 6 A.
Voolu RMS-väärtus on:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\qrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{6}{\qrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = 3\sqrt{2} \]
Takisti (\(R \)) = 10 oomi.
Takisti keskmist võimsust (\(P \)) saab arvutada järgmiselt:
\[P = I_{\text{RMS}}^2 \x R \]
\[P = (3 qrt{2})^2 korda 10]
\[P = 18 korda 10 \]
\[ P = 180 \, \text{W} \]
Seega on takisti keskmine tarbitav võimsus 180 W.
Sulgemine
Selles artiklis oleme käsitlenud mitmeid näidisülesandeid ja arutanud vahelduvvoolu võrrandeid. Teadmine, kuidas arvutada voolutugevust ajaühiku kohta, nurkkiirust, sagedust, RMS-väärtust ja keskmist võimsust, on vahelduvvoolu ja selle igapäevaelus rakendamise mõistmiseks ülioluline. Nende mõistete mõistmine aitab meil kavandada ja analüüsida erinevaid vahelduvvoolu kasutavaid elektriahelaid.
