Näidisküsimused ja arutelu ringide ja akordide kohta
Ring on üks matemaatikas sageli uuritavaid geomeetrilisi põhikujusid. Üks oluline ringidega seotud mõiste on koor, mis on sirge, mis ühendab ringi kahte punkti ilma keskpunkti läbimata. Ringide ja koortide mõistmine on geomeetria uurimisel oluline. See artikkel käsitleb mitmeid ringide ja koortidega seotud näidisülesandeid ja arutelusid, et süvendada meie arusaamist nendest mõistetest.
Põhiteadmised
Ring
Ring on kõigi tasapinna punktide kogum, mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist, mida nimetatakse keskpunktiks. Kui ringi keskpunkt on punkt O ja ringi raadius on r, siis saab ringi Cartesiuse koordinaatide kujul esitada võrrandiga (x – O_x)² + (y – O_y)² = r².
Vibunöör
Ringjoones on akord sirge, mis ühendab ringi kahte punkti. Akordi pikkus sõltub lisaks ringi raadiusele ka selle poole suunatud kesknurga suurusest.
Näidisküsimused ja arutelu
Küsimus 1:
Küsimus: Antud on ring raadiusega 10 cm ja 16 cm pikkune koor AB. Määrake lühim kaugus ringi keskpunktist koordinaadini.
Arutelu:
Ringi keskpunkti ja akordi vahelise kauguse leidmiseks võime kasutada täisnurkse kolmnurga valemit, mis on moodustatud raadiuse, keskpunkti ja akordi vahelise kauguse ja poole akordi pikkuse vahel.
Oletame, et punkt O on ringi keskpunkt ja punkt P on punkt ringjoone AB keskel, mis on risti ringjoonega AB. Seega OP on kaugus ringi O keskpunktist ringjooneni AB.
Kolmnurgas OAP (täisnurkne kolmnurk punktis P) saame rakendada Pythagorase teoreemi:
OP² + AP² = OA²
Me teame, et:
– OA (ringi raadius) = 10 cm
– AB (vibunööri pikkus) = 16 cm, seega AP = 16/2 = 8 cm.
Asendage teadaolevad väärtused võrrandisse:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100–64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6
Seega on lühim kaugus ringi keskpunktist akordini 6 cm.
Küsimus 2:
Küsimus: Ringi keskpunktiga O raadius on 8 cm. Kõõl AB moodustab kesknurga ∠AOB, mis on 120°. Määrake akordi AB pikkus.
Arutelu:
Kesknurka (θ) moodustava akordi pikkuse arvutamiseks saame kasutada järgmist valemit:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Kus:
– r on ringi raadius (selles ülesandes 8 cm)
– θ on ringi keskpunktis oleva akordi nurk (antud ülesandes 120°)
Asendage teadaolevad väärtused:
AB = 2 × 8 cm × sin (120°/2)
AB = 16 cm × sin(60°)
AB = 16 cm × (√3 / 2)
AB = 8√3 cm
Seega on akordi AB pikkus 8√3 cm.
Küsimus 3:
Küsimus: Ringjoon raadiusega 13 cm ja kõla AB asub ringi keskpunktist 5 cm kaugusel. Määrake kõla AB pikkus.
Arutelu:
Sel juhul saame akordi pikkuse leidmiseks kasutada moodustatud täisnurkset kolmnurka. Oletame, et punkt O on ringi keskpunkt, punkt P on keskpunktile lähim akordi punkt ja AB on akord.
Me teame:
– OA (ringi raadius) = 13 cm
– OP (vibunööri keskpunkti kaugus) = 5 cm.
OAP kolmnurgas:
OP² + AP² = OA²
Leiame AP (pool akordi pikkusest):
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169–25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Seega akordi pikkus AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 cm.
Küsimus 4:
Küsimus: Antud on ring raadiusega 10 cm. Kõõlu AB pikkus on 12 cm. Määrake kesknurga ∠AOB suurus.
Arutelu:
Sel juhul peame kesknurga ∠AOB määramiseks kasutama trigonomeetrilise funktsiooni pöördfunktsiooni. Kesknurka θ sisaldava akordi pikkuse valemi põhjal saame valemi θ arvutamiseks ümber kirjutada:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Kus:
– r on ringi raadius (10 cm)
– AB on vibunööri pikkus (12 cm)
Koostage võrrand sin(θ/2) eraldamiseks:
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
Leidke θ/2 väärtus:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Seega,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Seega on kesknurk ∠AOB 73.74°.
Järeldus
Ringide ja akordide õppimine nõuab geomeetria ja trigonomeetria põhitõdede tundmist. Ülaltoodud näidetes oleme näinud, kuidas kasutada probleemide lahendamiseks erinevaid valemeid ja teoreeme, näiteks Pythagorase teoreemi, trigonomeetrilisi funktsioone ja ringide põhiomadusi.
Nende harjutusülesannete abil loodetakse saavutada sügavam arusaam raadiuse, akordipikkuse ja sellest tuleneva kesknurga vahelisest seosest. Selle kontseptsiooni mõistmine on kasulik mitte ainult koolimatemaatikas, vaid ka igapäevastes rakendustes erinevates teaduse ja tehnika valdkondades.
