1. Momento de inercia de la partícula
Analicemos una partícula en rotación. A la partícula de masa m se le aplica una fuerza F que la hace girar alrededor del eje O. La partícula se encuentra a una distancia r del eje de rotación. Inicialmente, la partícula está en reposo (v = 0). Tras ser impulsada por la fuerza F, la partícula adquiere una velocidad determinada, lo que le confiere una aceleración tangencial. La relación entre la fuerza (F), la masa (m) y la aceleración tangencial de la partícula se expresa mediante la ecuación 3:
F = ma tan (Ecuación 3)
Las partículas giran de manera que tienen aceleración angular. La relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular se expresa mediante la ecuación 4:
a tan = r α (Ecuación 4)
Sustituya a en la ecuación 3 por a en la ecuación 4:
F = mr α
r F = mr 2 α
τ = (mr 2 ) α (Ecuación 5)
rF es el momento de fuerza y mr2 es el momento de inercia de la partícula. La ecuación 5 establece la relación entre el momento de fuerza, el momento de inercia y la aceleración angular de partículas en rotación. La ecuación 5 corresponde a la segunda ley de Newton para partículas en rotación.
El momento de inercia de una partícula es el producto de la masa de la partícula (m) y el cuadrado de la distancia entre las partículas con el eje de rotación (r 2 ).
I = mr 2 (Ecuación 6)
I = momento de inercia de la partícula, m = masa de la partícula, r = distancia entre la partícula y el eje de rotación. La ecuación 6 se utiliza para determinar el momento de inercia de una partícula.
3.2 Ejemplos de problemas del momento de inercia de la partícula
Problema de ejemplo 1.
Una partícula con una masa de 2 kg se ató a una cuerda de 0.5 metros de longitud y luego se hizo girar. ¿Cuál es el momento de inercia de la partícula al girar?
La Solución:
Yo = Sr. 2
I = (2 kg) (0.5 m) 2
I = 0.5 kg m 2
Problema de ejemplo 2.
Dos partículas, cada una con una masa de 2 kg y 4 kg, están conectadas por un alambre ligero de 2 metros de longitud. Ignore la masa del alambre. Determine el momento de inercia de las dos partículas, si:
a) El eje de rotación se encuentra entre las dos partículas.
La Solución:
I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2
I = (2)(12) + (4)(12)
yo = 2 + 4
I = 6 kg m 2
b) El eje de rotación se encuentra a una distancia de 0.5 metros de la partícula con una masa de 2 kg.
I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2
I = (2)(0.5 2 ) + (4)(1.5 2 )
I = (2)(0.25) + (4)(2.25)
yo = 0.5 + 9
I = 9.5 kg m 2
c) El eje de rotación se encuentra a una distancia de 0.5 metros de la partícula con una masa de 4 kg.
I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2
I = (2)(1.52) + (4)(0.5 2 )
I = (2)(2.25) + (4)(0.25)
yo = 4.5 + 1
I = 5.5 kg m 2
Según los resultados de los cálculos anteriores, el momento de inercia se ve fuertemente influenciado por la ubicación del eje de rotación. Aunque la forma y el tamaño sean los mismos, debido a la diferencia en la ubicación del eje de rotación, el momento de inercia también varía.
Las partículas cercanas al eje de rotación tienen un momento de inercia menor, mientras que las que están lejos del eje de rotación tienen un momento de inercia mayor. Si suponemos que las dos partículas anteriores son objetos rígidos, entonces cada una se encuentra cerca del eje de rotación.
tiene un momento de inercia menor que el momento de inercia de la partícula más alejada del eje de rotación.
3.3 Momento de inercia de un cuerpo rígido homogéneo
Los objetos rígidos están compuestos de muchas partículas. El momento de inercia de un cuerpo rígido es la suma de los momentos de inercia de cada partícula que lo compone.
I = Σ mr 2
Yo = m1 r12 +m2 r22 +m3 r32 + ….. + mn rn2
Para determinar el momento de inercia de un objeto rígido, es necesario analizar su rotación, ya que la posición del eje de rotación afecta dicho momento. El momento de inercia (I) de cada partícula depende de su masa (m) y del cuadrado de la distancia (r²) que la separa del eje de rotación. La masa total del objeto es la suma de las masas de todas las partículas que lo componen.
El problema es que la distancia de cada partícula al eje de rotación varía.
Repase la disminución en la fórmula del momento de inercia de un anillo delgado con dedos R y masa M.
Si el eje de rotación se encuentra en el centro del anillo, todas las partículas del anillo delgado se ubican respecto a dicho eje. El momento de inercia de un anillo delgado es igual al momento de inercia de todas sus partículas.
I = Σ mr2
Yo = m1 r12 +m2 r22 +m3 r32 + ….. + mn rn2
La masa de todas las partículas = masa del anillo delgado (M)
I = M (r 1 2 + r 2 2 + r 3 2 + ….. + r n 2 )
Cada partícula del anillo delgado está a r del eje de rotación de modo que r 1 = r 2 = r 3 = rn = R
La ecuación del momento de inercia del anillo delgado:
I = MR 2
I = momento de inercia del anillo delgado, M = masa del anillo delgado, R = radio del anillo delgado.
¿Qué ocurre si el eje de rotación no se encuentra en el centro del anillo? Si el eje de rotación no se encuentra en el centro del anillo, la fórmula del momento de inercia del anillo delgado no se puede derivar utilizando el método anterior.
Esto se debe a que la distancia de cada partícula al eje de rotación es diferente. La deducción de la fórmula del momento de inercia para un problema como este no se aborda en este tema.
La fórmula del momento de inercia para algunos objetos rígidos
3.4 Problema de ejemplo del momento de inercia de un cuerpo rígido homogéneo
Problema de ejemplo 1:
El cilindro de varilla AB tiene una masa de 3 kg cuando gira a través de B,
El momento de inercia es 27 kg m² . ¿Cuál es el momento de inercia si...?
¿Giró a través de C?
La Solución:
La Solución:
La fórmula del momento de inercia para una barra sólida homogénea (el eje de rotación se encuentra en el centro de la barra):
I = 1/12 ML 2
27 = (1/12) ML 2
(27)(12) = ML 2
324 = ML 2
La fórmula del momento de inercia de una varilla sólida homogénea (el eje de rotación se encuentra en el borde de la varilla):
I = 1/3 ML 2
I = 1/3 (324)
I = 108 kg m 2
