Momento angular

Momento angular

La magnitud del movimiento de rotación, que es idéntica a la masa (m) en el movimiento lineal, es el momento de inercia (I). La magnitud del movimiento de rotación, que es idéntica a la velocidad (v) en el movimiento lineal, es la velocidad angular (ω). Por lo tanto, el objeto en rotación tiene un momento angular que se puede calcular mediante la ecuación:

L = I ω

L = momento angular (kg m² ^/ s), I = momento de inercia (kg m² ⁾ , ω = velocidad angular (rad/s)

Ejemplos de problemas del momento angular

Problema de ejemplo 1.

Una partícula con una masa de 0.5 gramos se mueve en círculo con una velocidad angular constante de 2 rad/s. Determine el momento angular de la partícula si el radio de su trayectoria es de 10 cm.

La Solución:

El momento de inercia de la partícula:

I = mr ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-1 m) ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-2 m ² ) = 0.5 x 10 ^-5 kg ​​​​m ²

La velocidad angular de la partícula:

ω = 2 rad/s

El momento angular de la partícula:

L = (0.5 x 10⁻⁵ ^kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁵ kg m² ^/ s

La ley de conservación del momento angular

La ley de conservación del momento angular establece que si el momento resultante de la fuerza sobre un cuerpo rígido en rotación es cero, entonces el momento angular de dicho cuerpo en rotación es siempre constante. Esta ley se puede derivar matemáticamente modificando la ecuación de la segunda ley de Newton sobre el momento angular. A continuación, se presenta la ecuación de la segunda ley de Newton sobre el momento angular:

Si el momento resultante de la fuerza es cero, entonces la ecuación anterior cambia a:

I _t = el momento de inercia final, I _o = el momento de inercia inicial, ω _t = la velocidad angular final, ω _o = la velocidad angular inicial, L _t = el momento angular final, L _o = el momento angular inicial.

Ejemplos de problemas sobre la ley de conservación del momento angular

Problema de ejemplo 1.

Un disco cilíndrico sólido homogéneo gira inicialmente sobre su eje con una velocidad de 4 rad/s. La masa y el radio del disco son 1 kg y 0.5 m. Si sobre el disco se coloca un anillo que tiene una masa y un radio de 0.2 kg y 0.1 m y el centro del anillo,

justo encima del centro del disco, entonces el disco y el anillo girarán juntos con la velocidad angular de…

La Solución:

Momento de inercia de un cilindro sólido: I = 1/2 mr² ⁼ 1/2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Momento de inercia del anillo: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Momento angular inicial (L ₁ ) = Momento angular final (L ₂ )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m ² )(4 rad/s) = (0.125 kg m ² + 0.002 kg m ² )(ω ₂ )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 rad/s

Preguntas y respuestas conceptuales

1. ¿Qué es el momento angular?
   Respuesta El momento angular es una medida de la cantidad de rotación que tiene un objeto, considerando su masa y forma. Es el análogo rotacional del momento lineal.
2. ¿Cómo se determina matemáticamente el momento angular?
   Respuesta El momento angular (L) se define como $L=r\times p$, donde $r$ es el vector de posición desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación, y $p$ es el momento lineal.
3. ¿El momento angular es una magnitud escalar o vectorial?
   Respuesta El momento angular es una magnitud vectorial.
4. ¿Cuál es la unidad de momento angular en el Sistema Internacional de Unidades (SI)?
   Respuesta La unidad de momento angular en el sistema SI es kilogramo-metro cuadrado por segundo (kg·m²).²/ s).
5. ¿Cómo se conserva el momento angular?
   Respuesta En un sistema cerrado sin pares externos, el momento angular total permanece constante.
6. ¿Cuál es el principio de conservación del momento angular?
   Respuesta El principio establece que el momento angular total de un sistema cerrado permanece constante a menos que actúe sobre él un par externo.
7. ¿Cómo se relaciona el giro de un patinador artístico con el momento angular?
   Respuesta Cuando un patinador artístico acerca los brazos y las piernas al cuerpo durante un giro, disminuye su momento de inercia, lo que provoca que gire más rápido. Esto demuestra la conservación del momento angular.
8. ¿Cuál es la relación entre el torque y el momento angular?
   Respuesta par ($\tau$) es la tasa de cambio del momento angular. Matemáticamente, τ=dL/seg​.
9. ¿Es posible que un objeto tenga momento angular sin velocidad angular?
   Respuesta No, si un objeto tiene momento angular, tiene velocidad angular. La magnitud y la dirección del momento angular dependen tanto del momento de inercia como de la velocidad angular.
10. ¿Cómo afecta el momento de inercia al momento angular?
    Respuesta El momento angular (L) es el producto del momento de inercia (I) y la velocidad angular (ω). $L=I\omega$Un aumento en el momento de inercia para una velocidad angular dada aumentará el momento angular.
11. ¿Cuál es la diferencia entre el momento angular de espín y el momento angular orbital en mecánica cuántica?
    Respuesta El momento angular de espín es una propiedad intrínseca de las partículas, como los electrones, y no surge del movimiento en el espacio. El momento angular orbital, en cambio, surge del movimiento de una partícula alrededor de un punto central.
12. ¿Qué papel desempeña el momento angular en la formación de los sistemas planetarios?
    Respuesta Cuando una nube molecular colapsa para formar estrellas y planetas, la conservación del momento angular provoca que el material se aplane formando un disco alrededor de la estrella recién nacida, a partir del cual pueden formarse planetas.
13. ¿Cómo mantiene un giroscopio su orientación en el espacio?
    Respuesta Un giroscopio giratorio posee momento angular. Cuando un par externo intenta cambiar su orientación, el giroscopio precesa, es decir, cambia su eje de rotación, en una dirección perpendicular al par aplicado debido a la conservación del momento angular.
14. ¿Qué causa la precesión en una peonza?
    Respuesta La precesión en una peonza se produce por el torque que ejerce la gravedad sobre su centro de masa, el cual se encuentra desplazado de su punto de pivote. Este torque provoca un cambio en la dirección del momento angular de la peonza, lo que causa su precesión.
15. ¿Por qué las estrellas se aplanan en sus polos?
    Respuesta A medida que las estrellas giran, experimentan una fuerza centrífuga que empuja la materia hacia afuera. Este efecto es más fuerte en el ecuador que en los polos, lo que da como resultado una forma achatada o oblata.
16. ¿Cómo se relaciona el momento angular con la segunda ley de Kepler?
    Respuesta La segunda ley de Kepler establece que un segmento de línea que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto es consecuencia de la conservación del momento angular.
17. ¿Por qué un gato siempre cae de pie cuando se cae?
    Respuesta Los gatos utilizan la conservación del momento angular. Al girar sus cuerpos y cambiar sus momentos de inercia en el aire, pueden reorientarse para aterrizar de pie sin violar las leyes de conservación.
18. ¿Cómo se relaciona el momento magnético con el momento angular en los electrones?
    Respuesta El momento magnético de un electrón surge de su espín y momento angular orbital. El momento magnético es proporcional al momento angular del electrón.
19. ¿Qué es el momento angular en términos de coordenadas polares?
    Respuesta En coordenadas polares, momento angular $L$ para una masa puntual se puede expresar como $L=mrv$, donde $m$ es la masa, $r$ es la distancia radial, y $v$ es la velocidad tangencial.
20. ¿Qué ocurre con el momento angular de un sistema cerrado cuando dos objetos colisionan?
    Respuesta En un sistema cerrado donde dos objetos colisionan, el momento angular total antes de la colisión es igual al momento angular total después de la colisión, suponiendo que no actúan pares externos sobre el sistema.

Problemas y soluciones

1. Problema: Una masa puntual m = 2 kg se mueve con una velocidad v = 3 m/s en un círculo de radio r = 4 m. Calcula su momento angular respecto al centro del círculo.

Solución: $L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 kg· ^m² /s

2. Problema: Una esfera sólida de masa 3 kg y radio 0.5 m gira alrededor de su diámetro con una velocidad angular ω = 2 rad/s. ¿Cuál es su momento angular?

Solución: Para una esfera sólida, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Problema: Una masa puntual de 3 kg se mueve con una velocidad de 4 m/s en línea recta. ¿Cuál es su momento angular respecto a un punto situado a 5 m de su trayectoria?

La Solución:

$L=m\times v\times r$

L = 3 × 4 × 5 = 60 kg ^m² /s

4. Problema: Un disco de masa 5 kg y radio 3 m gira con una velocidad angular de 2 rad/s. Calcula su momento angular.

Solución: Para un disco, I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Problema: Una varilla de 4 m de longitud y 2 kg de masa gira alrededor de un extremo con una velocidad angular de 3 rad/s. Calcula su momento angular.

Solución: Para una varilla alrededor de un extremo, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problema: ¿Cuál es el cambio en el momento angular si un cuerpo en rotación duplica su velocidad angular?

Solución: La relación entre el momento angular (L) y la velocidad angular (ω) es $L=I\times \omega$ . Si ω se duplica, el momento angular también se duplicará.

7. Problema: Si el radio de la trayectoria circular de una partícula en movimiento se duplica manteniendo la velocidad constante, ¿en qué factor cambia el momento angular?

Solución: Momento angular, $L=m\times r\times v$ . Si r se duplica, L también se duplicará.

8. Problema: Un niño de 30 kg de masa está parado en el borde de un carrusel que se encuentra en reposo. El radio del carrusel es de 2 m. Si el niño comienza a correr a una velocidad de 2 m/s con respecto al suelo a lo largo del borde, calcule el momento angular del niño con respecto al centro.

Solución: $L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 kg· ^m² /s

9. Problema: Un cilindro de masa 6 kg y radio 2 m gira alrededor de su eje central con una velocidad angular de 5 rad/s. Calcula su momento angular.

Solución: Para un cilindro, I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$ = 1/2 × 6 × 2² ^× 5 = 120 kg· ^m² /s

10. Problema: ¿Cuál será el nuevo momento angular de un cuerpo si su momento de inercia se reduce a la mitad y su velocidad angular se triplica?

Solución: Dado $L=I\times \omega$ , si $I$ se reduce a la mitad y $\omega$ se triplica, el nuevo $L$ será 1/2×3=1.5 × el original.

11. Problema: Un aro de masa 2 kg y radio 1 m gira con una velocidad angular de 4 rad/s. Calcula su momento angular.

Solución: Para un aro, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L = 2 × 1 / ² × 4 = 8 kg ^·m² /s

12. Problema: Un ventilador tiene aspas de 0.5 m de longitud y una masa total de 1 kg. Si gira con una velocidad angular de 10 rad/s, determine su momento angular.

Solución: Suponiendo que las aspas del ventilador son como varillas que giran alrededor de un extremo, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ = 1/3 × 1 × 0.5² ^× 10 = 0.833 kg· ^m² /s

13. Problema: Calcular el momento angular de la Tierra alrededor ^de su propio eje debido a su rotación. Datos: Masa de la Tierra = 5.972 × 10²⁴ ^kg , Radio $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁵rad\text{/s}$.

Solución: Suponiendo que la Tierra es una esfera sólida, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problema: Un niño se mueve hacia el centro de una plataforma giratoria. ¿Aumenta, disminuye o permanece igual el momento angular?

Solución: El momento angular se conserva. A medida que el niño se mueve hacia el centro, el momento de inercia disminuye. Para conservar el momento angular, la velocidad angular aumenta. Por lo tanto, el momento angular permanece constante.

15. Problema: Si la energía cinética de un cuerpo en rotación se duplica, ¿en qué factor cambia su momento angular?

Solución: La energía cinética K = 1/2 ​I ω ² y el momento angular $L=I\omega$ . Si la energía cinética se duplica y $I$ permanece constante, ω ² se duplica. Esto implica que $\omega$ aumenta en un factor de √ 2 ​.$Por\; lo\; tanto,\; L$ también aumenta en un factor de √ 2 ​.

16. Problema: Una rueda de bicicleta de radio 0.3 m tiene una llanta de masa 1.5 kg. Si gira con una velocidad angular de 5 rad/s, calcule su momento angular.

Solución: Suponiendo que el borde es un aro, I = m r ²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg· ^m² /s

L = 1.5 × 0,3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s​

17. Problema: Una patinadora sobre hielo acerca los brazos al cuerpo mientras gira. ¿Qué le sucede a su momento angular?

Solución: El momento angular de la patinadora se conserva. Al acercar los brazos al cuerpo, disminuye su momento de inercia y, por lo tanto, gira más rápido (aumenta su velocidad angular) para conservar su momento angular.

18. Problema: Un volante tiene un momento de inercia de 0.2 $\text{m²}$ y gira con una velocidad angular de 10 rad/s. Calcula su momento angular^.

La Solución:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg· ^m² /s

L = 0.2 × 10 = 2 kg· ^m² / s

19. Problema: Un sistema tiene un torque externo neto de cero actuando sobre él. ¿Qué puedes decir sobre su momento angular?

Solución: Si el torque externo neto es cero, entonces, según la conservación del momento angular, el momento angular total del sistema permanece constante.

20. Problema: Una masa puntual m = 5 kg se mueve con una velocidad v = 3 m/s perpendicular a la línea que la une a un punto P. Si la distancia desde el punto P es de 4 m, calcule su momento angular con respecto al punto P.

La Solución:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s