Momento de inercia de partículas y cuerpos rígidos: problemas y soluciones.

El momento de inercia de la partícula

1. Una bola de 100 gramos está unida a un extremo de una cuerda de 30 cm de longitud. ¿Cuál es el momento de inercia de la bola respecto al eje de rotación AB? Ignore la masa de la cuerda.

Conocido :

El eje de rotación en AB

Masa de la bola (m) = 100 gramos = 100/1000 = 0.1 kg

La distancia entre la bola y el eje de rotación (r) = 30 cm = 0.3 m

Se busca: Momento de inercia de la bola (I)

solución:

I = mr ² = (0.1 kg)(0.3 m) ²

I = (0.1 kg)(0.09 m ² )

I = 0.009 kg m ²

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_{2. Una bola de} 100 gramos, m₁ , y otra _de 200 gramos, m₂ , están conectadas por una varilla de 60 cm de longitud. Se ignora la masa de la varilla. El eje de rotación se encuentra en el centro de la varilla. ¿Cuál es el momento de inercia de la bola respecto al eje de rotación?

Conocido :

Masa de la bola 1 (m ₁ ) = 100 gramos = 100/1000 = 0.1 kg

La distancia entre la bola 1 y el eje de rotación (r ₁ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Masa de la bola (m² ₎ = 200 gramos = 200/1000 = 0.2 kg

La distancia entre la bola 2 y el eje de rotación (r ₂ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Se busca: momento de inercia de las bolas

Respuesta :

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.2 kg)( 0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.2 kg)( 0.09 m ² )

I = 0.009 kg m ² + 0.018 kg m ²

I = 0.027 kg m ²

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3. Una bola de 200 gramos, m₁ _{, y una bola de} 100 gramos, m₂ _, están conectadas por una varilla de 60 cm de longitud. Ignore la masa de la varilla. El eje de rotación se encuentra en la bola m₂ . ¿Cuál es el momento de inercia de las bolas? Ignore la masa de la varilla.

Conocido :

Masa de la bola 1 (m ₁ ) = 200 gramos = 200/1000 = 0.2 kg

La distancia entre la bola 1 y el eje de rotación (r ₁ ) = 60 cm = 60/100 = 0.6 m

Masa de la bola 2 (m ₂ ) = 100 gramos = 100/1000 = 0.1 kg

La distancia entre la bola 2 y el eje de rotación (r ₂ ) = 0 m

Se busca: Momento de inercia de las bolas

solución:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.2 kg)( 0,6 m) ² + (0.2 kg)(0 ) ²

I = (0.2 kg)( 0.36 m ² ) + 0

I = 0.072 kg m ²

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4. Cada bola tiene una masa de 100 gramos y está unida por una cuerda de 60 cm de largo y 30 cm de ancho. ¿Cuál es el momento de inercia de la bola respecto al eje de rotación? Ignore la masa de la cuerda.

Conocido :

Masa de la bola = m ₁ = m ₂ = m ₃ = m ₄ = 100 gramos = 100/1000 = 0.1 kg

La distancia entre la bola y el eje de rotación (r ₁ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

La distancia entre la bola 2 y el eje de rotación (r ₂ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

La distancia entre la bola 3 y el eje de rotación (r ₃ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

La distancia entre la bola 4 y el eje de rotación (r ₄ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Conocido: Momento de inercia

solución:

Yo = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² +m₄ r₄²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² )

I = 0.036 kg m ²

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El momento de inercia de un objeto rígido

5. ¿Cuál es el momento de inercia de una varilla uniforme de 2 kg de masa y 2 m de longitud? El eje de rotación se encuentra en el centro de la varilla.

Conocido :

Masa de la varilla (M) = 2 kg

La longitud de la varilla (L) = 2 m

Se busca: Momento de inercia

solución:

La fórmula del momento de inercia cuando el eje de rotación se encuentra en el centro de la varilla larga y uniforme:

I = (1/12) ML ²

I = (1/12) (2 kg)( 2 m) ²

I = (1/12) (2 kg)(4 m ² )

I = (1/12)(8 kg m ² )

I = 8/12 kg m ²

I = 2/3 kg m ²

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6. ¿Cuál es el momento de inercia de una varilla uniforme de 2 kg de masa y 2 m de longitud? El eje de rotación se encuentra en un extremo de la varilla.

Conocido :

Masa de la varilla (M) = 2 kg

La longitud de la varilla rígida (L) = 2 m

Se busca: Momento de inercia

solución:

La fórmula para el momento de inercia cuando el eje de rotación se encuentra en un extremo de la varilla:

I = (1/3) ML ²

I = (1/3) (2 kg)( 2 m) ²

I = (1/3) (2 kg)(4 m ² )

I = (1/3)(8 kg m ² )

I = 8/3 kg m ²

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7. Un cilindro sólido de 10 kg con un radio de 0.1 m. El eje de rotación se encuentra en el centro del cilindro, como se muestra en la figura siguiente. ¿Cuál es el momento de inercia del cilindro?

Conocido :

Masa del cilindro sólido (M) = 10 kg

Radio del cilindro (L) = 0.1 m

Se busca: El momento de inercia

Se busca: El momento de inercia

solución:

La fórmula del momento de inercia cuando el eje de rotación se encuentra en el centro del cilindro:

I = (1/2) MR ²

I = (1/2) (10 kg)(0.1 m) ²

I = (1/2) (10 kg)(0.01 m ² )

I = (1/2)(0.1 kg m ² )

I = 0.05 kg m ²

8. Una esfera uniforme de 20 kg con una longitud de 0.1 m. El eje de rotación situado en el centro de la esfera se muestra en la figura siguiente.

Conocido :

Masa de la esfera (M) = 20 kg

El radio de la esfera (L) = 0.1 m

Se busca: un momento de inercia

solución:

La fórmula del momento de inercia cuando el eje de rotación se encuentra en el centro de la esfera:

I = (2/5) MR ²

I = (2/5)(20 kg)(0.1 m) ²

I = (2/5)(20 kg)(0.01 m ² )

I = (2/5)(0.2 kg m ² )

I = 0.4/5 kg m ²

I = 0.08 kg m ²

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9. Una placa rectangular delgada de 2 kg de masa, 0.5 m de longitud y 0.2 m de ancho. El eje de rotación se encuentra en el centro de la placa rectangular, como se muestra en la figura siguiente. ¿Cuál es el momento de inercia del rectángulo?

Conocido :

Masa de la placa rectangular (M) = 2 kg

La longitud de la placa (a) = 0.5 m

El ancho de la placa (b) = 0.2 m

Se busca: Momento de inercia

solución:

Fórmula del momento de inercia cuando el eje de rotación se encuentra en el centro de la placa:

I = (1/ 12 ) M (a ² + b ² )

I = (1/12)(2)( ^0.5² + ^0.2² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg m ²