Momento de inercia de las partículas: problemas y soluciones.

Momento de inercia de las partículas: problemas y soluciones.

1. Dos bolas conectadas por una varilla, como se muestra en la figura siguiente. Ignore la masa de la varilla . La masa de la bola P es de 600 gramos y la de la bola Q es de 400 gramos. ¿Cuál es el momento de inercia del sistema respecto al eje AB?

Conocido :

El eje de rotación es AB.

m _p = 600 gramos = 0.6 kg, m _q = 400 gramos = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Se busca: El momento de inercia del sistema

solución:

I = m _p r _p ² + m _q r _q ²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m ² ) + (0.4 kg)(0.25 m ² )

I = 0.024 kg m ² + 0.1 kg m ²

I = 0.124 kg m ²

2. La barra AB, con una masa de 2 kg, gira alrededor del punto A. El momento de inercia de la barra es de 8 kg m.². Si se gira alrededor del punto O (AO = OB), ¿cuál es el momento de inercia de la barra?

Conocido :

Masa de la barra AB (m) = 2 kg

Si se gira alrededor del punto A de manera que el radio de rotación (r) = longitud de AB = r, entonces el momento de inercia (I) = 8 kg m²

Querido: Si se gira alrededor del punto O de manera que el radio de rotación (r) = longitud de AO = longitud de OB = 1/2 r, entonces ¿cuál es el momento de inercia de la barra?

solución:

Yo = Sr. ²

8 kg m ² = (2 kg) r ²

8 m ² = (2) r ²

r ² = 8 m ² / 2

r ² = 4 m ²

r = 2 metros

Si se gira alrededor del punto O de modo que ½ r = 1 metro, entonces el momento de inercia es:

I = mr ² = (2 kg)(1 m ) ² = (2 kg)(1 m ² ) = 2 kg m ²

3. Dos bolas están conectadas por una varilla, como se muestra en la figura siguiente. Ignore la masa de la varilla. ¿Cuál es el momento de inercia del sistema?

Conocido :

Masa de la bola A (m_A) = 200 gramos = 0.2 kg

Masa de la bola B (m _B ) = 400 gramos = 0.4 kg

Distancia entre la bola A y el eje de rotación (r_A) = 0

Distancia entre la bola B y el eje de rotación (r_B) = 25 cm = 0.25 m

Buscado : Momento de inercia del sistema

solución:

El momento de inercia de la bola A:

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

El momento de inercia de la bola B:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

El momento de inercia del sistema:

Yo = yo_A + I_B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² = 25 x 10^-3 kg·m²

4. Cuatro partículas con masas diferentes, mostradas en la figura siguiente. Determine el momento de inercia del sistema con respecto a la línea horizontal P.

Solución

El eje de rotación es la línea horizontal P.

Conocido :

Masa de la partícula A (m_A) = metro

Masa de la partícula B (m_B) = 2 m

Masa de la partícula C (m_C) = 3 m

Paso de la partícula D (m_D) = 4 m

Distancia entre la partícula A y el eje de rotación (r_A) = b

Distancia entre la partícula B y el eje de rotación (r_B) = b

Distancia entre la partícula C y el eje de rotación (r_C) = 2b

Distancia entre la partícula D y el eje de rotación (r_D) = 2b

Buscado : El momento de inercia del sistema respecto a la línea horizontal P

solución:

Yo = m_A r_A² +m_B r_B² +m_C r_C² +m_D r_D²

Yo = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

Yo = mb² + 2 MB² + (3m)(4b²) + (4m)(4b²)

Yo = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 mb ²

5. Cuatro partículas conectadas por una varilla. Ignore la masa de la varilla. Determine el momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por la partícula m.₁ y M₂, como se muestra en la figura siguiente.

Conocido

Masa de la partícula 1 (m₁) = 1/4 kg

Masa de la partícula 2 (m₂) = 1/2 kg

Masa de la partícula 3 (m₃) = 1/4 kg

Masa de la partícula 4 (m₄) = 1/4 kg

Distancia entre la partícula 1 y el eje de rotación (r₁) = 0

Distancia entre la partícula 2 y el eje de rotación (r₂) = 0

Distancia entre la partícula 3 y el eje de rotación (r₃) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Distancia entre la partícula 4 y el eje de rotación (r₄) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Buscado : El momento de inercia

solución:

Yo = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² +m₄ r₄²

I = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 kg· ^m²

1. ¿Cuál es el momento de inercia de una partícula?
   • Respuesta: Para una sola partícula de masa $m$ a una distancia $r$ desde un eje de rotación, su momento de inercia $I$ es dado por I=m×r².
2. ¿Por qué se suele hacer referencia al momento de inercia como el “análogo rotacional” de la masa?
   • RespuestaAsí como la masa es una medida de la resistencia de un objeto a los cambios en su movimiento de traslación (debido a la segunda ley de Newton), el momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a los cambios en su movimiento de rotación.
3. ¿Cómo afecta el cambio de la distancia de una partícula a su eje de rotación a su momento de inercia?
   • RespuestaEl momento de inercia es proporcional al cuadrado de la distancia al eje de rotación. Si se duplica la distancia, el momento de inercia se cuadruplica.
4. ¿Por qué el cuadrado de la distancia (r) es el cuadrado de la distancia (r)?²) ¿se utiliza en la fórmula del momento de inercia en lugar de solo la distancia?
   • RespuestaSe utiliza el cuadrado de la distancia debido a la forma en que funciona la energía cinética en la rotación. En el movimiento de rotación, cada partícula de un objeto contribuye a la energía cinética rotacional en función de su masa y del cuadrado de su distancia al eje.
5. ¿Cómo cambia el momento de inercia de una partícula si su masa se triplica manteniendo constante la distancia al eje?
   • RespuestaSi la masa se triplica y la distancia se mantiene constante, el momento de inercia también se triplicará porque es directamente proporcional a la masa.
6. ¿Puede una partícula tener un momento de inercia cero? Si es así, ¿bajo qué condiciones?
   • RespuestaSí, una partícula tendrá un momento de inercia cero si se encuentra directamente sobre el eje de rotación, haciendo que su distancia $r$ desde el eje igual a cero.
7. ¿Por qué diferentes objetos con la misma masa y tamaño tienen diferentes momentos de inercia al girar alrededor de diferentes ejes?
   • RespuestaLa distribución de la masa alrededor del eje de rotación determina el momento de inercia. Incluso si dos objetos tienen la misma masa y tamaño, sus distribuciones de masa con respecto al eje de rotación pueden ser diferentes, lo que da lugar a momentos de inercia distintos.
8. ¿El momento de inercia es una magnitud escalar o vectorial?
   • RespuestaEl momento de inercia es una magnitud escalar. Sin embargo, para cuerpos rígidos con formas complejas y múltiples ejes de rotación, se representa mediante un tensor.
9. Si dos partículas, cada una de masa $m$, se encuentran a distancias r_1​ y r₂​ ¿Cuál es el momento de inercia combinado con respecto al eje de rotación?
   • Respuesta: El momento de inercia es aditivo para partículas separadas. Por lo tanto, el momento de inercia combinado I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. ¿Cómo se relaciona el momento de inercia con la conservación del momento angular?

    • RespuestaMomento angular $L$ es el producto del momento de inercia $I$ y velocidad angular $\omega$, representada por la ecuación $L=I\times \omega$Si no actúan pares externos sobre un sistema, el momento angular permanecerá constante. Esto significa que si el momento de inercia cambia (como cuando un patinador artístico junta los brazos), la velocidad angular debe ajustarse para mantener el producto constante.