Producto vectorial utilizando componentes de vectores unitarios.

Material sobre la multiplicación cruzada utilizando componentes de vectores unitarios.

Podemos calcular el producto vectorial directamente si conocemos las componentes de los vectores. El procedimiento es el mismo que para el producto escalar . Primero, multiplicamos los vectores unitarios i , j y k . El producto vectorial entre vectores unitarios iguales es cero.

i x i = j x j = k x k = 0

Haciendo referencia a la ecuación de multiplicación vectorial derivada previamente (A x B = AB el pecado θ) y la propiedad anticonmutativa de la multiplicación de vectores (A x B = - B x A), entonces obtenemos:

i x j = -j x i = k

j x k = -k x j = i

k x i = – i x k = j

Ahora expresamos los vectores A y B en términos de sus componentes, descomponemos su producto y utilizamos el producto de vectores unitarios.

A x B = (A_xi + A_yj + A_zk) X (B_xi + B_yj + B_zk)

A x B = A_xi x B_xi + A_xi x B_yj + A_xi x B_zk +

A_yj x B_xi + A_yj x B_yj + A_yj x B_zk +

A_zk x B_xi + A_zk x B_yj + A_zk x B_zk

A x B = A_xB_x (i x i) + A_xB_y (i x j) + A_x B_z (i x k) +

A_yB_x (j x i) + A_yB_y (j x j) + A_yB_z (j x k) +

A_zB_x (k x i) + A_zB_y (k x j) + A_zB_z (k x k)

Karena i x i = j x j = k x k = 0 Dan i x j = -j x i = k,  j x k = -k x j = i, k x i = –i x k = j, entonces :

A x B = A_xB_x (0) + A_xB_y (k) + A_x B_z (-j) +

A_yB_x (-k) + A_yB_y (0) + A_yB_z (i) +

A_zB_x (j) + A_zB_y (-i) + A_zB_z (0)

A x B = A_xB_y (k) + A_x B_z (-j) +

A _y B _x ( -k ) + A _y B _z ( i ) +

A _z B _x ( j ) + A _z B _y ( -i )

A x B = A_xB_y (k) + A_x B_z (-j) + A_yB_x (-k) + A_yB_z (i) + A_zB_x (j) + A_zB_y (-i)

A x B = (A_yB_z – A_zB_y)i + (A_zB_x – A_x B_z)j + (A_xB_y – A_yB_x )k

Si C = A x B , entonces los componentes de C son los siguientes:

_Cx = A _y B _z – A _z B _y

_Cy = A _z B _x – A _x B _z

_Cz = A _x B _y – A _y B _x