Material de multiplicación de puntos utilizando componentes de vectores unitarios
Podemos calcular el producto escalar directamente si conocemos las componentes x, y y z de los vectores A y B (los vectores conocidos).
Para realizar un producto escalar de esta manera, primero realizamos un producto escalar de los vectores unitarios, luego expresamos los vectores A y B en sus componentes, descomponemos el producto y utilizamos el producto de los vectores unitarios.
Los vectores unitarios i , j y k son perpendiculares entre sí, lo que facilita los cálculos. Utilizando la ecuación de multiplicación escalar derivada anteriormente ( AB = AB cos θ ), obtenemos:
i. i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Ahora expresamos los vectores A y B en términos de sus componentes, descomponemos su producto y utilizamos el producto de vectores unitarios.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Karena i . i = j . j = k . k = 1 y i . j = i . k = j . k = 0, entonces:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Basándonos en los resultados de este cálculo, se puede concluir que el producto escalar o producto punto de dos vectores es la suma de los productos de sus componentes similares.
Ejemplo de pregunta 1:
Vector grande A Dan B Los valores son respectivamente 5 y 4, como se muestra en la imagen a continuación. El ángulo formado es de 90 grados.oCuéntalo producto escalar ambos vectores.
Discusión
Antes de calcular el producto escalar de los vectores A y B, primero necesitamos conocer las componentes del segundo vector.
A x = (5) porque 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sen 0 o = (5) (0) = 0
Un z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sen 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
El vector A solo tiene componentes vectoriales en el eje x, y el vector B solo tiene componentes vectoriales en el eje y. La componente z es cero porque los vectores A y B se encuentran en el plano xy.
Ahora calculamos el producto escalar entre los vectores A y B utilizando la ecuación del producto escalar con vectores componentes:
A . B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Comparémoslo con el primer método.
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
El resultado es el mismo.
Ejemplo de pregunta 2:
Vector grande A Dan B son 5 y 4 respectivamente, como se muestra en la imagen de abajo. Calcula producto escalar ambos vectores, si el ángulo formado es 30o
Discusión
Antes de calcular el producto escalar de los vectores A y B, primero necesitamos conocer las componentes del segundo vector.
La componente z es cero porque los vectores A y B están en el plano xy.
Ahora calculamos el producto escalar entre los vectores A y B utilizando la ecuación del producto escalar con vectores componentes:
Compárelo con el primer método.
