Artikolo pri la adicio de vektoroj
1. Kvantoj de vektoro kaj skalaro
Aldone al la fundamentaj kaj derivitaj kvantoj, fizikaj kvantoj ankoraŭ povas esti dividitaj en du aliajn tipojn, nome skalaraj kvantoj kaj vektoraj kvantoj. Kvantoj kiel maso, distanco, tempo kaj volumeno estas skalaraj kvantoj, kvantoj kiuj havas nur magnitudon sed ne havas direkton. Dum grandecoj kiel delokiĝo, rapido, akcelo kaj forto estas vektoraj kvantoj, kvantoj kiuj havas magnitudon kaj ankaŭ havas direkton.
a. Diferenco inter s- kvanto kaj vektora kvanto
Se vi diras, ke la maso de pilko estas 400 gramoj, tiu aserto sufiĉas por ke vi sciu la mason de la pilko. Vi ne bezonas direkton por ekscii la mason de la pilko. Same kun tempo, temperaturo, volumeno, denseco, ktp. Ekzistas pluraj fizikaj kvantoj, kiujn oni ne povas esprimi nur per grando. Se vi diras, ke infano moviĝas ĝis 100 metrojn, tiam tiu aserto ne sufiĉas. Vi eble demandos, kien li moviĝis? Ĉu norden, suden, orienten aŭ okcidenten? Simile, se vi diras, ke vi puŝas la tablon per forto de 200 N.
Kien vi veturas? Nu, tiaj kvantoj nomiĝas vektoraj kvantoj, kiuj postulas klarigon pri la grando kaj direkto. Ekzemploj de vektoraj kvantoj estas delokiĝo, akcelo, impulso, movokvanto , ktp. Vi povas kompreni ĝin pli klare studante temojn rilatajn al tiuj kvantoj.
b. Desegnu vektoron
Vektoro estas indikita per sago. La sago ĉiam estas desegnita tiel, ke ĝi montras en la direkto de la vektoro. La longo de la sago estas priskribita kiel la grando de la vektoro. Ekzemple, en la figuro de vektoro de forto (F) kun grando de 2 N, kies direkto estas nordorienten aŭ 45 ° ĉirkaŭ la x-akso.
c. Reguloj por skribi kvantojn de vektoro
Ĉe skribado de vektoro, se oni uzas manskribon, la simbolo de vektoro ĝenerale skribas kursive uzante majusklojn, kaj supre oni devas aldoni sagon. Por presitaj libroj, vektoraj simboloj estas skribitaj per majuskloj kaj grasa skribo, ekzemple, F. Por la grando de la vektoro, se ni uzas manskribon, tiam la grando de vektoro estas skribita, ekzemple, |F|. Por presitaj libroj, la grando de vektoro estas skribita kursive, ekzemple , F.
2. Aldono de vektoroj — grafikaj metodoj
Ekzistas pluraj manieroj grafike adicii vektorojn, inkluzive de la metodo de vosto al pinto kaj la metodo de paralelogramo.
a. Metodo de vosto-al-pinto por aldoni vektorojn
Vektoroj A kaj B estas konataj. Vektoro A = 3 cm koincidas kun la x-akso (orienten). Vektoro B = 2 cm formas angulon de 30 ° al la x-akso (nordoriente). Adiciu A kaj B grafike uzante la metodon "vosto-al-pinto". a) R = A + B b) R = A – B
La grando de la rezulta vektoro (R) estas mezurata per regilo. La direkto de la rezulta vektoro estas mezurata per angulilo.
Konataj vektoroj A, B, kaj C. Vektoro A = 3 cm koincidas kun la x-akso (orienten). Vektoro B = 2 cm formas angulon de 30 ° al la x-akso (nordoriente). Vektoro C = 1 cm formas angulon de 60 ° al la x-akso (nordoriente). Adiciu A, B, kaj C grafike uzante la metodon Vosto-al-pinto.
a) R = A + B + C
b) R = A – B – C
La rezulta vektoro (R) estas mezurata per regilo. La direkto de la rezulta vektoro estas mezurata per angulilo.
b. Paralelograma metodo
Konataj vektoroj A, B, kaj C. Vektoro A = 3 cm koincidas kun la x-akso (orienten). Vektoro B = 2 cm formas angulon de 30 ° al la x-akso (nordoriente). Vektoro C = 1 cm formas angulon de 60 ° al la x-akso (nordoriente). Adiciu A, B, kaj C grafike uzante paralelogramon.
a) R = A + B
b) R = A – B
c) R = A + B + C
d) R = A – B – C
La rezulta vektoro (R) estas mezurata per regilo. La direkto de la rezulta vektoro estas mezurata per angulilo.
3. Adicio de vektoroj – aanaliza metodo
Determini la magnitudon kaj direkton de la rezulta vektoro per la grafika metodo estas unu aliro. La precizeco de la rezultoj dependas de via precizeco kaj precizeco en desegnado kaj legado de la skalo. La magnitudo kaj direkto de la rezulta vektoro estas pli precize akiritaj per matematikaj kalkuloj.
a. Kalkulado de la sumo de 2 vektoroj uzante la kosinusregulon
La formulo por determini la grandon de la rezulta vektoro:
La formulo por determini la direkton de la rezulta vektoro:
C = rezulta vektoro
A = vektoro 1
B = vektoro 2
cos ∠(A, B) = angulo formita de vektoroj A kaj B
Ekzempla problemo 1:
F₁ = 2 N formas angulon de 30° ĉirkaŭ la x-akso, F₂ = 3 N formas angulon de 60 ° ĉirkaŭ la x-akso, θ = 30 °.
Ekzempla problemo 2:
F₁ = 2 N koincidas kun la x-akso, F₂ = 3 N formas angulon de 90 ° ĉirkaŭ la x-akso, θ = 90 °.
b. Aldonado de vektoroj laŭ komponantoj
Reviziu vektoron F kiu formas certan angulon ĉirkaŭ la x-akso, kiel montrite en la suba figuro. Fx kaj Fy estas komponantaj vektoroj de vektoro F.
La grando de la komponanta vektoro estas determinita per la formulo:
F x = F cos θ
F y = F sin θ
Reviziu la du vektorojn F1 kaj F2 kiu formas certan angulon ĉirkaŭ la x-akso, kiel montrite en la suba figuro. F1x kaj F1y estas komponantoj de vektoro F1, do F2x kaj F2y estas komponantoj de vektoro F2.
La komponanta vektoro estas determinita per la formulo:
F1x =F1 cos θ
F 1y = F 1 sin θ
F²x = F² cosθ
F 1y = F 1 sin θ
Aldonante la komponantajn vektorojn:
Fx = F1x + F2x
Fy = F1y + F2y
La rezulta vektoro estas determinita per la formulo:
La direkto de la rezulta vektoro estas determinita per la formulo:
Ekzempla problemo 1:
Difinu la komponantojn de vektoro F, kies magnitudo estas 20 N kaj formas angulon de 30 ° ĉirkaŭ la x-akso.
F x = (20 N)(cos 30 o ) = 17 N
F y = (20 N)(sin 30 o ) = 10 N
Ekzempla problemo 2:
F1 = 20 N formas angulon de 30 ° ĉirkaŭ la x-akso kaj F2 = 15 N formas angulon de 180° ĉirkaŭ la x-akso. Difinu la magnitudon kaj direkton de la rezulta vektoro.
F 1x = (20 N)(cos 30 o ) = 17 N
F²x = F¹ = – 15 N
F 1y = (20 N)(sin 30 o ) = 10 N
F²y = 0
Aldonante la komponantajn vektorojn:
Fx = F1x – F2x = 17 N – 15 N = 2 N
Fy = 10 N
La rezulta vektoro:
F₂ = F₂x₂ + F₂y₂ = 2² + 10² = 4 + 100 = 10⁴
F = 10.2N
Direkto de la rezulta vektoro:
θ = tan −15 = 78.7 o ĉirkaŭ la abscisa akso
Ekzempla problemo 3:
F1, F2, kaj F3 estas 20 N, 30 N kaj 40 N. F1 formas angulon de 60o ĉirkaŭ la x-akso, F2 formas angulon de 150o ĉirkaŭ la x-akso, kaj F3 formas angulon de 315o ĉirkaŭ la x-akso. Difinu la magnitudon kaj direkton de la rezulta vektoro.
F 1x = (20 N)(cos 60 ° ) = 10 N
F 1y = (20 N)(sin 60 o ) = 17 N
F 2x = (30 N)(cos 30 o ) = -26 N
F 2y = (30 N)(sin 30 o ) = 15 N
F 3x = (40 N)(cos 45 o ) = 28 N
F 3y = (40 N)(sin 45 o ) = -28 N
Aldonante la komponentan vektoron:
Fx = F1x – F2x + F3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N
F y = F 1y + F 2y – F 3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N
Rezulta vektoro:
F₂ = F₂x₂ + F₂y₂ = 12² + 4² = 144 + 16 = 160
F = 13N
Direkto de la rezulta vektoro:
θ = tan −1 0.3 = 17 o ĉirkaŭ la x-akso
