Ekzemplo de diskuta demando pri la derivaĵo de algebra funkcio
La derivaĵo en kalkulo estas fundamenta koncepto uzata por priskribi kiel funkcio ŝanĝiĝas, aŭ la deklivon de funkcio ĉe punkto. Derivaĵoj estas utilaj en diversaj kampoj kiel fiziko, ekonomiko kaj inĝenierarto ĉar ili provizas informojn pri la ŝanĝrapideco. En ĉi tiu artikolo, ni diskutos plurajn ekzemplojn de derivaĵoj de algebraj funkcioj kaj kiel solvi ilin.
Ekzemplo 1: Derivaĵo de Polinoma Funkcio
Demando: Konsiderante la funkcion ∫(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7). Difinu la derivaĵon de la funkcio!
Solvo:
Uzante la bazan regulon de derivaĵoj por polinomaj funkcioj, nome \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), ni kalkulos la derivaĵon de ĉiu termo de la funkcio unu post la alia.
\[
\begin{align }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) & = 3 ⋅ 3x^{3-1} – 5 ⋅ 2x^{2-1} + 2 ⋅ 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{vicigi }
\]
Do, la derivaĵo de (f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7) estas (f'(x) = 9x^2 – 10x + 2)).
Ekzemplo 2: Derivaĵo de funkcio kun frakciaj eksponentoj
Demando: Difinu la derivaĵon de la funkcio \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Solvo:
Uzante la saman regulon de derivado, tio estas \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) & = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{vicigi }
\]
Do, la derivaĵo de (g(x) = x^{3/2} + x^{1/2}) estas (g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}).
Ekzemplo 3: Derivaĵoj de Eksponentaj kaj Trigonometriaj Funkcioj
Demando: Difinu la derivaĵon de la funkcio h(x) = e^x \cdot \sin(x)
Solvo:
Por solvi ĉi tiun derivaĵon, ni bezonas la Produktan Regulon, kiu deklaras (uv)' = u'v + uv'). Supozu u(x) = e^x kaj v(x) = sin(x), tiam:
\[
\begin{align }
u'(x) &= e^x, & \text{ĉar la derivaĵo de } e^x \text{ estas } e^x \\
v'(x) &= ∫cos(x), & ∫ĉar la derivaĵo de ∫sin(x) ∫ estas ∫cos(x).
\end{vicigi }
\]
Uzante la derivitan regulon por produktoj:
\[
\begin{align }
h'(x) & = (e^x ⋅ sin(x))' \\
& = e^x ∫ (sin(x))' + sin(x) ∫ (e^x)'
& = e^x ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ e^x
& = e^x (cos(x) + sin(x)).
\end{vicigi }
\]
Do, la derivaĵo de h(x) = e^x sin(x) estas h'(x) = e^x (cos(x) + sin(x)).
Ekzemplo 4: Derivaĵo de funkcio uzante la ĉenregulon
Demando: Difinu la derivaĵon de la funkcio k(x) = (3x^2 – x + 4)^5).
Solvo:
Por solvi ĉi tiun derivaĵon, ni bezonas la ĉenregulon, nome \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Supozu \(u(x) = 3x^2 – x + 4 \) kaj \(f(u) = u^5 \), tiam:
\[
\begin{align }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \tekst{do} \\
k(x) kaj f(u(x)) = u^5
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{vicigi }
\]
Uzante la ĉenregulon:
\[
\begin{align }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{vicigi }
\]
Do, la derivaĵo de (k(x) = (3x^2 – x + 4)^5) estas (k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1)).
Ekzemplo 5: Derivaĵo de funkcio kun trigonometriaj identecoj
Demando: Difinu la derivaĵon de la funkcio ∫m(x) = sin(x)∫cos(x)∫
Solvo:
Ni uzos la derivaĵan regulon por produktoj. Supozu ∏(x) = ∏sin(x) kaj ∏v(x) = ∏cos(x)), tiam:
\[
\begin{align }
u'(x) kaj = ∫cos(x),
v'(x) & = -sin(x).
\end{vicigi }
\]
Uzante la derivitan regulon por produktoj:
\[
\begin{align }
m'(x) & = (sin(x) ⋅ cos(x))' \\
& = (sin(x))' ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ (cos(x))' \\
& = ⋅cos(x) ⋅cos(x) + ⋅sin(x) ⋅ (-⋅sin(x))
& = ∫cos²(x) – ∫sin²(x).
\end{vicigi }
\]
Uzante la trigonometrian identon \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Do, la derivaĵo de (m(x) = sin(x)⋅ cos(x)) estas (m'(x) = cos(2x)).
Konkludo
La derivaĵo de algebra funkcio estas fundamenta koncepto en kalkulo, kiu estas tre grava kaj utila en diversaj aplikoj. Diversaj reguloj de derivaĵo, kiel la baza derivaĵregulo, la produtoregulo, la ĉenregulo kaj la reguloj por trigonometriaj derivaĵoj, ĉiuj helpas en la kalkulado de la derivaĵoj de pli kompleksaj funkcioj. Komprenante la suprajn ekzemplojn kaj praktikante problemojn, ni povas plibonigi nian komprenon kaj kapablojn en la kalkulado de derivaĵoj de algebraj funkcioj.
