Αρχή και Υλικό Εξίσωσης του Bernoulli
Όταν οδηγούμε μια μοτοσικλέτα αρκετά γρήγορα, τα ρούχα που φοράμε φουσκώνουν στο πίσω μέρος. Αν δεν μπορείτε να οδηγήσετε ακόμα μοτοσικλέτα, δώστε προσοχή στους γονείς ή τους φίλους σας που οδηγούν μοτοσικλέτες. Το πίσω μέρος των ρούχων τους συνήθως φουσκώνει στο πίσω μέρος όταν η μοτοσικλέτα πηγαίνει γρήγορα. Μερικές φορές, όταν φυσάει δυνατά, η πόρτα του σπιτιού μπορεί να κλείσει μόνη της. Ακόμα κι αν φυσάει έξω από το σπίτι, ενώ η πόρτα βρίσκεται μέσα στο σπίτι.
Αυτό μπορεί να εξηγηθεί χρησιμοποιώντας την αρχή του Μπερνούλι. Ο Ντάνιελ Μπερνούλι (1700–1782) ανακάλυψε μια αρχή που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει ορισμένα από τα παραπάνω.
Αρχή του Μπερνούλι
Η αρχή του Bernoulli ορίζει ότι όπου η ταχύτητα ροής του ρευστού είναι υψηλή, η πίεση του ρευστού είναι χαμηλή. Αντίθετα, εάν η ταχύτητα ροής του ρευστού είναι χαμηλή, η πίεση γίνεται υψηλή. Όταν μια μοτοσικλέτα κινείται γρήγορα, η ταχύτητα του αέρα μπροστά και δίπλα στο σώμα σας είναι υψηλή. Έτσι, η πίεση του αέρα γίνεται χαμηλή. Το πίσω μέρος του σώματός σας μπλοκάρεται από το μπροστινό μέρος του σώματός σας, επομένως η ταχύτητα του αέρα πίσω από το σώμα σας δεν αλλάζει σε υψηλή (ακριβώς πίσω από το σώμα σας). Ως αποτέλεσμα, η πίεση του αέρα πίσω από το σώμα σας γίνεται μεγαλύτερη. Επειδή υπάρχει διαφορά στην πίεση του αέρα, όπου η πίεση του αέρα ακριβώς πίσω από το σώμα σας είναι μεγαλύτερη, ο αέρας σπρώχνει το πουκάμισό σας προς τα πίσω, κάνοντάς το να φαίνεται σαν να είναι φουσκωμένο στο πίσω μέρος.
Τι γίνεται με μια πόρτα που κλείνει μόνη της όταν φυσάει δυνατός άνεμος έξω; Ο αέρας έξω κινείται πιο γρήγορα από τον αέρα μέσα. Ως αποτέλεσμα, η πίεση του αέρα έξω είναι χαμηλότερη από την πίεση του αέρα μέσα. Λόγω αυτής της διαφοράς πίεσης, όπου η πίεση του αέρα μέσα είναι υψηλότερη, η πόρτα ωθείται προς τα έξω. Με άλλα λόγια, η πόρτα μετακινείται από ένα σημείο με υψηλότερη πίεση αέρα σε ένα σημείο με χαμηλότερη πίεση αέρα.
Η εξίσωση του Μπερνούλι
Προηγουμένως, μάθαμε για την αρχή του Bernoulli. Ο Bernoulli ανέπτυξε επίσης αυτήν την αρχή ποσοτικά. Για να εξαγάγουμε την εξίσωση Bernoulli, υποθέτουμε σταθερή, στρωματική ροή ρευστού, ασυμπίεστοτητα και χαμηλό ιξώδες, τα οποία μπορούν να αγνοηθούν.
Στη συζήτηση της Εξίσωσης Συνέχειας, μάθαμε ότι ο ρυθμός ροής ρευστού μπορεί επίσης να ποικίλλει ανάλογα με την εγκάρσια διατομή του σωλήνα ροής. Με βάση την αρχή Bernoulli που εξηγήθηκε παραπάνω, η πίεση του ρευστού μπορεί επίσης να ποικίλλει ανάλογα με τον ρυθμό ροής του ρευστού. Η πίεση του ρευστού μπορεί επίσης να ποικίλλει ανάλογα με το ύψος του ρευστού. Η σχέση μεταξύ πίεσης, ρυθμού ροής και ύψους ροής μπορεί να ληφθεί από την εξίσωση Bernoulli.
Η εξίσωση Bernoulli είναι πολύ σημαντική επειδή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση πτήσης αεροσκαφών, υδροηλεκτρικών σταθμών, συστημάτων σωληνώσεων κ.λπ. Για να εφαρμόσουμε γενικά την εξίσωση Bernoulli που θα εξαγάγουμε, θα υποθέσουμε ότι το ρευστό ρέει μέσω ενός σωλήνα ροής με άνισες διατομές και επίσης διαφορετικά ύψη (δείτε το παρακάτω σχήμα). Για να εξαγάγουμε την εξίσωση Bernoulli, εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου και ενέργειας στο ρευστό στην περιοχή του σωλήνα ροής. Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε την ποσότητα του ρευστού και το έργο που παράγεται για την κίνηση του ρευστού.
Το αδιαφανές χρώμα στον σωλήνα ροής στην εικόνα υποδεικνύει ροή ρευστού, ενώ το λευκό χρώμα υποδεικνύει την απουσία ρευστού.
Το ρευστό στην διατομή 1 (αριστερή πλευρά) ρέει κατά απόσταση L1 και αναγκάζει το ρευστό στην διατομή 2 (δεξιά πλευρά) να μετακινηθεί κατά απόσταση L2 . Επειδή η διατομή 2 στη δεξιά πλευρά είναι μικρότερη, ο ρυθμός ροής του ρευστού στη δεξιά πλευρά του σωλήνα ροής είναι μεγαλύτερος (Θυμηθείτε την εξίσωση συνέχειας). Αυτό προκαλεί διαφορά πίεσης μεταξύ της διατομής 2 (δεξιά πλευρά του σωλήνα ροής) και της διατομής 1 (αριστερή πλευρά του σωλήνα ροής) - Θυμηθείτε την αρχή του Bernoulli. Το ρευστό στην αριστερή πλευρά της διατομής 1 ασκεί πίεση P1 στο ρευστό στη δεξιά πλευρά και εκτελεί το έργο:
Τότε η εξίσωση W1 μπορεί να γραφτεί ως:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Στη διατομή 2 (δεξιά πλευρά του σωλήνα ροής), το έργο που παράγεται στο ρευστό είναι:
W2 = − p2A2L2
Το αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι η ασκούμενη δύναμη είναι αντίθετη από την κατεύθυνση κίνησης. Έτσι, το ρευστό παράγει έργο στα δεξιά της διατομής 2. Επιπλέον, η δύναμη της βαρύτητας παράγει επίσης έργο στο ρευστό. Στην παραπάνω περίπτωση, μια ορισμένη μάζα ρευστού μετακινείται από τη διατομή 1 μέχρι το L1 στη διατομή 2 μέχρι το L2, όπου ο όγκος του ρευστού στη διατομή 1 (A1L1) = ο όγκος του ρευστού στη διατομή 2 (A2L2 ) . Το έργο που παράγεται από τη βαρύτητα είναι :
W3 = − mg ( h2 − h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στη ροή του ρευστού προς τα πάνω, αντίθετα από την κατεύθυνση της βαρύτητας. Έτσι, το συνολικό έργο που παράγεται στο ρευστό, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, είναι:
W = W1 + W2 + W3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Το θεώρημα έργου-ενέργειας δηλώνει ότι το συνολικό έργο που παράγεται σε ένα σύστημα είναι ίσο με την μεταβολή της κινητικής του ενέργειας. Έτσι, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το Έργο (W) με την μεταβολή της κινητικής ενέργειας (EK2 - EK1 ).
Μπορούμε να ξαναγράψουμε την παραπάνω εξίσωση ως εξής:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Μάζα ρευστού που ρέει σε απόσταση L1 σε διατομή A1 = μάζα ρευστού που ρέει σε απόσταση L2 ( τομή A2 ) . Μια μάζα ρευστού, ας πούμε m , έχει όγκο A1L1 και A2L2 όπου A1L1 = A2L2 ( το L2 είναι μεγαλύτερο από το L1 ).
Τώρα αντικαθιστούμε, ή αντικαθιστούμε το m στην παραπάνω εξίσωση, με m = ρAL:
Αυτή είναι η εξίσωση Bernoulli. Εξαγάγαμε την εξίσωση Bernoulli με βάση την αρχή έργου-ενέργειας, επομένως αποτελεί μια μορφή του Νόμου Διατήρησης της Ενέργειας.
Πληροφορίες:
P = Πίεση
ρ = Πυκνότητα ρευστού
v = Ταχύτητα ροής ρευστού
g = Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας
h = Ύψος του σωλήνα/σωλήνα ροής από την επιφάνεια του εδάφους
Η αριστερή και η δεξιά πλευρά της παραπάνω εξίσωσης Bernoulli μπορούν να αναφέρονται σε οποιαδήποτε δύο σημεία κατά μήκος του σωλήνα ροής, επομένως μπορούμε να ξαναγράψουμε την παραπάνω εξίσωση ως:
Αυτή η εξίσωση δηλώνει ότι το συνολικό άθροισμα των ποσοτήτων στην εξίσωση έχει την ίδια τιμή σε όλο τον σωλήνα ροής.
Ας εξετάσουμε τώρα την εξίσωση Bernoulli για ορισμένες περιπτώσεις.
Η εξίσωση Bernoulli για ρευστά σε ηρεμία
Μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης Bernoulli είναι για ρευστά σε ηρεμία (στατικά ρευστά). Όταν ένα ρευστό βρίσκεται σε ηρεμία, δεν έχει ταχύτητα. Έτσι, v 1 = v 2 = 0. Στην περίπτωση ενός ρευστού σε ηρεμία, η εξίσωση Bernoulli μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:
Αν h2 - h1 = h, τότε η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφτεί ως εξής:
p1 − p2 = ρg ( h2 − h1 )
p 1 − p 2 = ρgh
Η εξίσωση Bernoulli για σωλήνες ροής ή σωλήνες ίδιου ύψους
Εάν το ύψος του σωλήνα ροής ή του αγωγού είναι το ίδιο, τότε η εξίσωση Bernoulli αλλάζει σε:
