Εφαρμογή της αρχής και της εξίσωσης του Bernoulli

Εφαρμογή της αρχής και της εξίσωσης του Bernoulli

Θεώρημα Τοριτσέλι

Μια χρήση της εξίσωσης Bernoulli είναι ο υπολογισμός της ταχύτητας του υγρού που βγαίνει από τον πυθμένα ενός δοχείου.

Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli στο σημείο 1 (την επιφάνεια του δοχείου) και στο σημείο 2 (την επιφάνεια της οπής). Δεδομένου ότι η διάμετρος της οπής στον πυθμένα του δοχείου είναι πολύ μικρότερη από τη διάμετρο του δοχείου, η ταχύτητα του υγρού στην επιφάνεια του δοχείου θεωρείται μηδέν (v1 ₌ 0). Η επιφάνεια του δοχείου και η επιφάνεια της οπής είναι ανοιχτές έτσι ώστε η πίεση να είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση (P1 ₌ P2 ₎ . Έτσι, η εξίσωση Bernoulli για αυτήν την περίπτωση είναι:

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα ροής του υγρού στην οπή στον πυθμένα του δοχείου, τότε η εξίσωση αυτή αλλάζει σε:

Σύμφωνα με αυτήν την εξίσωση, ο ρυθμός ροής του νερού μέσω μιας οπής σε απόσταση h από την επιφάνεια του δοχείου είναι ίσος με τον ρυθμό ροής του νερού που πέφτει ελεύθερα σε απόσταση h (συγκρίνετε την Κίνηση Ελεύθερης Πτώσης). Αυτό είναι γνωστό ως Θεώρημα του Torricelli . Αυτό το θεώρημα ανακαλύφθηκε από τον Torricelli, μαθητή του Gallileo, έναν αιώνα πριν ο Bernoulli ανακαλύψει την εξίσωσή του.

Φαινόμενο Βεντούρι 

Εκτός από το θεώρημα του Torricelli, η εξίσωση του Bernoulli μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε άλλες ειδικές περιπτώσεις, δηλαδή όταν το ρευστό ρέει σε τμήματα σωλήνων που βρίσκονται σχεδόν στο ίδιο ύψος (μικρή διαφορά ύψους). Για να κατανοήσουμε... στυλόjΓια αυτόν τον λόγο, παρατηρήστε την εικόνα. 

Στην παραπάνω εικόνα, φαίνεται ότι το ύψος του σωλήνα, τόσο του τμήματος με τη μεγάλη διατομή όσο και του τμήματος με τη μικρή διατομή, είναι σχεδόν το ίδιο, επομένως θεωρούνται ότι έχουν το ίδιο ύψος. Όταν εφαρμόζεται σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση Bernoulli αλλάζει σε:

Όταν το ρευστό διέρχεται από ένα τμήμα σωλήνα με μικρή διατομή (A₂), τότε η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται. Σύμφωνα με την αρχή του Bernoulli, εάν η ταχύτητα του ρευστού αυξηθεί, η πίεση του ρευστού μειώνεται. Η πίεση του ρευστού στο στενό τμήμα του σωλήνα είναι μικρότερη αλλά ο ρυθμός ροής του ρευστού είναι μεγαλύτερος.

Αυτό είναι γνωστό ως φαινόμενο Venturi και καταδεικνύει ποσοτικά ότι εάν ο ρυθμός ροής του ρευστού είναι υψηλός, η πίεση του ρευστού θα είναι χαμηλή. Αντίθετα, εάν ο ρυθμός ροής του ρευστού είναι χαμηλός, η πίεση του ρευστού θα είναι υψηλή.

Βεντούρι μετρητής

Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή του φαινομένου βεντούρι είναι το μετρητή βεντούρι. Αυτό το όργανο χρησιμοποιείται για τη μέτρηση των ρυθμών ροής ρευστών, όπως για τον υπολογισμό του ρυθμού ροής νερού ή λαδιού μέσω ενός σωλήνα. Υπάρχουν δύο τύποι μετρητών βεντούρι: αυτοί χωρίς μανόμετρο και αυτοί που χρησιμοποιούν μανόμετρο γεμάτο με άλλο υγρό, όπως υδράργυρο. Η αρχή λειτουργίας είναι η ίδια.

Μετρητής Venturi χωρίς μανόμετρο

Η παρακάτω εικόνα δείχνει ένα μετρητή βεντούρι που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ροής υγρού σε έναν σωλήνα.

Όταν το υγρό διέρχεται από ένα τμήμα σωλήνα με μικρή διατομή (A2 ₎ , η ταχύτητα του υγρού αυξάνεται. Σύμφωνα με την αρχή του Bernoulli, εάν η ταχύτητα του υγρού αυξηθεί, η πίεση του υγρού μειώνεται. Έτσι, η πίεση του υγρού στη μεγάλη διατομή είναι μεγαλύτερη από την πίεση του υγρού στη μικρή διατομή (P1 _> P2 ₎ . Αντίστροφα, _v2 > _v1

Αυτό που αναζητείται είναι ο ρυθμός ροής του υγρού σε μεγάλη διατομή (v1 ₎ . Αντικαθιστούμε το v2 _στην εξίσωση 1 με το v2 _στην εξίσωση 2.

Για να υπολογίσετε την πίεση του ρευστού σε ένα ορισμένο βάθος, χρησιμοποιήστε την εξίσωση:

p = ρgh → Εξίσωση a

Εάν η διαφορά στις πυκνότητες των ρευστών είναι πολύ μικρή, τότε χρησιμοποιήστε αυτήν την εξίσωση για να προσδιορίσετε τη διαφορά πίεσης σε διαφορετικά ύψη. Έτσι, η εξίσωση a μπορεί να τροποποιηθεί ως εξής:

Δ p = ρ g Δh

Για την παραπάνω περίπτωση, η εξίσωση αυτή μπορεί να μετατραπεί ως εξής:

p ₁ − p ₂ = ρ gh → Εξίσωση β

Τώρα αντικαθιστούμε το p1 _- p2 _στην εξίσωση 3, με το p1 _- p2 _στην εξίσωση β:

Δεδομένου ότι τα υγρά είναι τα ίδια, οι πυκνότητες πρέπει επίσης να είναι ίδιες. Αφαιρέστε το ρ από την εξίσωση.

Σωλήνας Pitot

Εάν χρησιμοποιείται μετρητής βεντούρι για τη μέτρηση του ρυθμού ροής υγρών, τότε χρησιμοποιείται σωλήνας pitot για τη μέτρηση του ρυθμού ροής αερίων ή αέρα. Η οπή στο σημείο 1 είναι παράλληλη με τη ροή του αέρα. Η θέση αυτών των δύο οπών γίνεται αρκετά μακριά από το το άκρο του σωλήνα pitot, έτσι ώστε η ταχύτητα και η πίεση του αέρα έξω από την οπή να είναι ίδιες με την ταχύτητα και την πίεση του ελεύθερα ρέοντος αέρα. Σε αυτήν την περίπτωση, v₁ = ελεύθερη ροή αέρα (αυτό θα μετρήσουμε) και η πίεση στο αριστερό σκέλος του μανομέτρου (αριστερός σωλήνας) = ελεύθερη ροή αέρα (P₁).

Η οπή που οδηγεί στο δεξί σκέλος του μανομέτρου είναι κάθετη στη ροή του αέρα. Επομένως, η ταχύτητα ροής του αέρα μέσω αυτής της οπής (το μεσαίο τμήμα) μειώνεται και ο αέρας σταματά όταν φτάσει στο σημείο 2. Σε αυτήν την περίπτωση, v2 ₌ 0. Η πίεση στο δεξί σκέλος του μανομέτρου είναι ίση με την πίεση του αέρα στο σημείο 2 (P2 ₎ . Τα ύψη των σημείων 1 και 2 είναι σχεδόν τα ίδια (η διαφορά δεν είναι πολύ μεγάλη), επομένως μπορεί να αγνοηθεί.

Διαφορά πίεσης (P2 _- P1 ₎ = υδροστατική πίεση του υγρού στο μανόμετρο (το μαύρο χρώμα στο μανόμετρο είναι το υγρό, ο υδράργυρος). Μαθηματικά, μπορεί να γραφτεί ως εξής:

p ₂ − p ₁ = ρ ' gh → Εξίσωση 2

ρ' = πυκνότητα υγρού στο μανόμετρο

Εξετάστε την εξίσωση 1 και την εξίσωση 2. Η αριστερή πλευρά ισούται με (P2 _- P1 ₎ . Επομένως, οι εξισώσεις 1 και 2 μπορούν να αλλάξουν ώστε να μοιάζουν ως εξής:

Ψεκαστήρας αρώματος

Αυτή είναι μια γενική επισκόπηση, ωστόσο κάθε εργοστάσιο έχει διαφορετικό σχεδιασμό.

Γενικά, η αρχή λειτουργίας ενός ψεκαστήρα αρώματος μπορεί να περιγραφεί ως εξής (κοιτάζοντας την εικόνα). Όταν η λαστιχένια μπάλα πιέζεται, ο αέρας μέσα σε αυτήν εκτοξεύεται έξω μέσω του σωλήνα 1. Επομένως, ο αέρας στον σωλήνα 1 έχει μεγαλύτερη ταχύτητα. Επειδή η ταχύτητα του αέρα είναι υψηλή, η πίεση του αέρα στον σωλήνα 1 μειώνεται. Αντίθετα, ο αέρας στον σωλήνα 2 έχει χαμηλότερη ταχύτητα. Η πίεση του αέρα στον σωλήνα 2 είναι υψηλότερη. Ως αποτέλεσμα, το υγρό αρώματος ωθείται προς τα πάνω. Όταν το υγρό αρώματος φτάσει στον σωλήνα 1, ο αέρας που εκτοξεύεται από το εσωτερικό της λαστιχένιας μπάλας το σπρώχνει έξω... Το υγρό αρώματος τελικά ψεκάζεται έξω, βρέχοντας το σώμα...

Συνήθως οι τρύπες είναι μικρές, επομένως το άρωμα γλιστράει γρήγορα.

Πίνετε με πιπέτα ή σιφόνι

Έχετε πιει ποτέ παγωμένο τσάι ή σιρόπι χρησιμοποιώντας πιπέτα; Όταν ρουφάμε ή ρουφάμε νερό χρησιμοποιώντας μια πιπέτα, στην πραγματικότητα κάνουμε τον αέρα στην πιπέτα να κινείται πιο γρήγορα. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αέρας στην πιπέτα που είναι προσαρτημένη στο στόμα μας έχει μεγαλύτερη ταχύτητα. Ως αποτέλεσμα, η πίεση του αέρα στο μέρος της πιπέτας μειώνεται. Ο αέρας στο μέρος της πιπέτας που είναι πιο κοντά στο ποτό έχει χαμηλότερη ταχύτητα. Επειδή η ταχύτητά του είναι χαμηλότερη, η πίεση είναι μεγαλύτερη. Αυτή η διαφορά στην πίεση του αέρα είναι που κάνει το νερό ή το ποτό που πίνουμε να ρέει στο στόμα μας. Σε αυτήν την περίπτωση, το υγρό κινείται από το μέρος της πιπέτας με υψηλή πίεση αέρα στο μέρος της πιπέτας με χαμηλή πίεση αέρα.

Καμινάδα

Έχετε δει ποτέ καμινάδα; Αν ζείτε σε μια πόλη όπως η Σουραμπάγια, η Σεμαράνγκ, η Τζακάρτα κ.λπ., πιθανότατα έχετε δει καμινάδες εργοστασίων. Γιατί ανεβαίνει ο καπνός μέσα από μια καμινάδα; Πρώτον, ο καπνός από την καύση είναι ζεστός. Λόγω της υψηλής θερμοκρασίας, η πυκνότητα του αέρα είναι χαμηλή. Ο αέρας με χαμηλή πυκνότητα επιπλέει εύκολα ή ανεβαίνει. Αυτός δεν είναι ο μόνος λόγος... Εμπλέκεται επίσης η αρχή του Μπερνούλι.

Δεύτερον, η αρχή του Bernoulli ορίζει ότι εάν η ροή του αέρα είναι υψηλή, η πίεση είναι χαμηλή και, αντίστροφα, εάν η ροή του αέρα είναι χαμηλή, η πίεση είναι υψηλή. Η κορυφή της καμινάδας βρίσκεται σε εξωτερικό χώρο. Υπάρχει άνεμος που πνέει στην κορυφή της καμινάδας, επομένως η πίεση του περιβάλλοντος αέρα είναι χαμηλότερη. Μέσα σε ένα κλειστό δωμάτιο, δεν υπάρχει άνεμος, επομένως η πίεση του αέρα είναι υψηλότερη. Επομένως, ο καπνός κατευθύνεται προς τα έξω μέσω της καμινάδας. Ο αέρας κινείται από περιοχές υψηλής πίεσης αέρα σε περιοχές χαμηλής πίεσης αέρα.

Οι αρουραίοι γνωρίζουν επίσης την αρχή του Μπερνούλι

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα. Είναι μια εικόνα μιας τρύπας ποντικιού στο έδαφος. Τα ποντίκια επίσης κατανοούν την αρχή του Μπερνούλι.

i. Οι αρουραίοι δεν ήθελαν να πεθάνουν από ασφυξία, γι' αυτό έσκαψαν δύο τρύπες σε διαφορετικά ύψη. Λόγω της διαφοράς στο επίπεδο του εδάφους, ο αέρας συμπιέστηκε ο ένας πάνω στον άλλο. Είναι παρόμοιο με το νερό που ρέει από έναν σωλήνα με μεγάλη διατομή σε έναν σωλήνα με μικρή διατομή. Λόγω της σύνθλιψης, η ταχύτητα του αέρα αυξάνεται και η πίεση του αέρα μειώνεται.

Λόγω της διαφοράς στην πίεση του αέρα, ο αέρας αναγκάζεται να ρέει μέσα από την τρύπα του ποντικιού. Ο αέρας ρέει από περιοχές υψηλής πίεσης αέρα σε περιοχές χαμηλής πίεσης αέρα.

Δύναμη Άνοδος Αεροσκαφών

Ένας από τους παράγοντες που επιτρέπουν στα αεροπλάνα να πετούν είναι η παρουσία φτερών. Τα φτερά των αεροπλάνων είναι καμπύλα, με το μπροστινό μέρος παχύτερο από το πίσω. Αυτό το σχήμα φτερού ονομάζεται αεροτομή. Αυτή η ιδέα αντιγράφηκε από τα φτερά των πουλιών, τα οποία έχουν επίσης παρόμοιο σχήμα (καμπύλο και παχύτερο μπροστινό μέρος). Η διαφορά είναι ότι τα φτερά των πουλιών μπορούν να χτυπούν, ενώ τα φτερά των αεροπλάνων όχι. Τα πουλιά μπορούν να πετάξουν επειδή χτυπούν τα φτερά τους, δημιουργώντας μια ροή αέρα που διέρχεται και από τις δύο πλευρές των φτερών. Για να επιτραπεί στον αέρα να ρέει και από τις δύο πλευρές των φτερών του αεροπλάνου, το αεροπλάνο πρέπει να κινηθεί προς τα εμπρός. Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν κινητήρες για να κινούν τα αεροπλάνα.

Το μπροστινό μέρος της πτέρυγας έχει σχεδιαστεί ώστε να καμπυλώνεται προς τα πάνω. Ο αέρας που ρέει από κάτω συγκρούεται με τον αντίστοιχο αέρα από πάνω, όπως ακριβώς το νερό που ρέει από έναν σωλήνα με μεγάλη διατομή σε έναν σωλήνα με στενή διατομή. Ως αποτέλεσμα, η ταχύτητα του αέρα πάνω από την πτέρυγα αυξάνεται. Επειδή η ταχύτητα του αέρα αυξάνεται, η πίεση του αέρα μειώνεται. Αντίθετα, η ταχύτητα ροής του αέρα κάτω από την πτέρυγα είναι χαμηλότερη επειδή ο αέρας είναι λιγότερο γεμάτος (η πίεση του αέρα είναι μεγαλύτερη). Αυτή η διαφορά πίεσης προκαλεί την ώθηση των φτερών του αεροπλάνου προς τα πάνω.

Η αρχή του Μπερνούλι είναι μόνο ένας παράγοντας που προκαλεί την ανύψωση ενός αεροπλάνου. Ένας άλλος παράγοντας είναι η ορμή. Συνήθως, τα φτερά των αεροπλάνων έχουν ελαφρά κλίση προς τα πάνω. Ο αέρας που χτυπά την κάτω πλευρά της πτέρυγας εκτρέπεται προς τα κάτω. Επειδή τα αεροπλάνα έχουν δύο φτερά, ένα στα αριστερά και ένα στα δεξιά, ο εκτρεπόμενος αέρας συγκρούεται μεταξύ τους. Η αλλαγή στην ορμή των συγκρουόμενων μορίων αέρα παράγει πρόσθετη άντωση.

Επειδή η πτέρυγα καμπυλώνει προς τα κάτω προς την ουρά, ο αέρας αναγκάζεται από την πτέρυγα να ρέει προς τα κάτω. Σύμφωνα με τον Τρίτο Νόμο του Νεύτωνα, κάθε δύναμη δράσης έχει μια δύναμη αντίδρασης. Επειδή η πτέρυγα ωθεί τον αέρα προς τα κάτω, ο αέρας πρέπει να ωθεί την πτέρυγα προς τα πάνω. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αέρας ασκεί άνωση στην πτέρυγα. Έτσι, η αρχή του Μπερνούλι δεν είναι ο μόνος παράγοντας που προκαλεί την ανύψωση ενός αεροπλάνου.

Οι ψαράδες γνωρίζουν επίσης την αρχή του Μπερνούλι

Έχετε πάει ποτέ σε ιστιοπλοϊκό; Οι ψαράδες ξέρουν επίσης πώς λειτουργεί η αρχή του Μπερνούλι 😉