Εξίσωση συνέχειας

Υλικό Εξίσωσης Συνέχειας

Δοκιμάστε να ανοίξετε αργά τη βρύση νερού παρατηρώντας τη ροή του νερού που βγαίνει από τη βρύση. Μόλις η βρύση σταματήσει να περιστρέφεται, φράξτε τη μερικώς με το χέρι σας. Τώρα συγκρίνετε ποια ροή νερού είναι μεγαλύτερη. Όταν είναι μερικώς φραγμένη ή ξεμπλοκαρισμένη; Αν έχετε λάστιχο που χρησιμοποιείται συνήθως για το πότισμα λουλουδιών, αφήστε το νερό να ρέει μέσα από αυτόν. Φράξτε μερικώς τον λάστιχο με το χέρι ή το δάχτυλό σας. Όσο μεγαλύτερο μέρος του λάστιχου είναι φραγμένο, τόσο πιο γρήγορα θα ρέει το νερό. Αντίθετα, αν ο λάστιχο δεν είναι φραγμένος, το νερό θα ρέει λιγότερο γρήγορα. Γιατί συμβαίνει αυτό; Για να το κατανοήσετε αυτό, μελετήστε την εξίσωση συνέχειας.

Ρευματοειδείς σωλήνες και σωλήνες ροής

Αρχικά, ας κατανοήσουμε τις έννοιες των γραμμών ροής και των σωλήνων ροής. Αυτή η έννοια είναι σημαντική επειδή θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε την εξίσωση συνέχειας.

Γραμμή ροής

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα, η μπλε γραμμή είναι η Streamline.

Σε σταθερή ροή, η ταχύτητα κάθε σωματιδίου ρευστού σε ένα σημείο, ας πούμε στο σημείο Α, παραμένει σταθερή. Καθώς περνάει από το σημείο Β, η ταχύτητα των σωματιδίων ρευστού μπορεί να αλλάξει. Ωστόσο, κατά την άφιξη στο σημείο Β, τα σωματίδια ρευστού που ακολουθούν συνεχίζουν να ρέουν με την ίδια ταχύτητα με τα σωματίδια ρευστού που προηγήθηκαν. Το ίδιο ισχύει και κατά την άφιξη στο σημείο C, και ούτω καθεξής. Η γραμμή ροής είναι η καμπύλη που συνδέει τα σημεία A, B και C.

Σωλήνας ροής

Ουσιαστικά, μπορούμε να σχεδιάσουμε κάθε γραμμή ροής μέσα από κάθε σημείο της ροής του ρευστού. Αν θεωρήσουμε σταθερή ροή ρευστού, ένας αριθμός γραμμών ροής που διέρχονται από μια ορισμένη γωνία σε μια φανταστική επιφάνεια (φανταστική επιφάνεια) σχηματίζουν έναν σωλήνα ροής. Κανένα σωματίδιο ρευστού δεν τέμνεται μεταξύ του, αλλά είναι πάντα παράλληλα, και ο σωλήνας ροής θα μοιάζει με σωλήνα που έχει πάντα το ίδιο σχήμα. Το ρευστό που εισέρχεται από το ένα άκρο του σωλήνα θα εξέλθει από τον σωλήνα από το άλλο άκρο.

Χρέωση

Η παροχή υποδεικνύει τον όγκο ενός ρευστού που ρέει μέσω μιας συγκεκριμένης διατομής σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Μαθηματικά, μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

Για να κατανοήσετε καλύτερα, ας χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι ένα ρευστό ρέει μέσα από έναν σωλήνα. Οι σωλήνες είναι συνήθως κυλινδρικοί και έχουν μια συγκεκριμένη διατομή. Ο σωλήνας έχει επίσης ένα μήκος.

Όταν το ρευστό ρέει στον σωλήνα μέχρι το L, τότε ο όγκος του ρευστού στον σωλήνα είναι V = AL (V = όγκος ρευστού, A = επιφάνεια διατομής και L = μήκος σωλήνα). Επειδή κατά τη ροή στον σωλήνα κατά μήκος του L το ρευστό διανύει ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, τότε μπορούμε να πούμε ότι το μέγεθος της εκροής του ρευστού είναι:

Επειδή v = s/t = L/t —> L = vt, η παραπάνω εξίσωση αλλάζει ως εξής:

Έτσι, όταν ρευστό ρέει μέσω ενός σωλήνα που έχει μια συγκεκριμένη διατομή και μήκος για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, το μέγεθος της εκροής ρευστού (Q) είναι ίσο με την επιφάνεια διατομής (A) πολλαπλασιασμένη με την ταχύτητα ροής ρευστού (v).

Εξίσωση Συνέχειας

Θεωρήστε τη ροή ρευστού σε έναν σωλήνα με διαφορετικές διαμέτρους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Αυτή η εικόνα δείχνει τη ροή ρευστού από αριστερά προς τα δεξιά (ρευστό ρέει από έναν σωλήνα μεγάλης διαμέτρου σε έναν σωλήνα μικρής διαμέτρου). Οι διακεκομμένες γραμμές είναι γραμμές ροής.

Λεζάντα εικόνας: A1 ₌ διατομή του τμήματος σωλήνα μεγάλης διαμέτρου, A2 ₌ διατομή του τμήματος σωλήνα μικρής διαμέτρου, v1 ₌ ταχύτητα ροής ρευστού στο τμήμα σωλήνα μεγάλης διαμέτρου, v2 ₌ ταχύτητα ροής ρευστού στο τμήμα σωλήνα μικρής διαμέτρου, L = απόσταση που διανύει το ρευστό.

Στην εισαγωγή στη ρευστοδυναμική, εξηγήθηκε ότι στη ρευστοδυναμική συζητάμε τη ροή ρευστών που είναι ασυμπίεστα, μη ιξώδη, μη τυρβώδη και σταθερά. Σε σταθερή ροή, η ταχύτητα των σωματιδίων του ρευστού σε ένα σημείο είναι η ίδια με την ταχύτητα άλλων σωματιδίων του ρευστού που διέρχονται από αυτό το σημείο. Οι ροές των ρευστών επίσης δεν τέμνονται μεταξύ τους (οι γραμμές ροής είναι παράλληλες). Επομένως, η μάζα του ρευστού που εισέρχεται στο ένα άκρο του σωλήνα πρέπει να είναι ίση με τη μάζα του ρευστού που εξέρχεται από το άλλο άκρο. Εάν ένα ρευστό με μια ορισμένη μάζα εισέλθει σε έναν σωλήνα με μεγάλη διάμετρο, τότε το ρευστό θα εξέλθει από τον σωλήνα με μικρή διάμετρο και σταθερή μάζα.

Τώρα, κοιτάξτε την εικόνα του σωλήνα παραπάνω. Κοιτάξτε το μέρος του σωλήνα με τη μεγάλη διάμετρο και το μέρος του σωλήνα με τη μικρή διάμετρο.

Κατά τη διάρκεια ενός ορισμένου χρονικού διαστήματος, μια ορισμένη ποσότητα ρευστού ρέει μέσω ενός τμήματος σωλήνα με μεγάλη διάμετρο (Α).₁) μέχρι το L₁ (L₁ = v₁ τ). Ο όγκος του ρευστού που ρέει είναι V₁ = A₁ L₁ = A₁ v₁ τ. Κατά το ίδιο χρονικό διάστημα, μια άλλη ποσότητα ρευστού ρέει μέσω ενός τμήματος σωλήνα με μικρότερη διάμετρο (Α).₂) μέχρι το L₂ (L₂ = v₂ τ). Ο όγκος του ρευστού που ρέει είναι V₂ = A₂ L₂ = A₂ v₂ t.

Εξίσωση Συνέχειας για Ασυμπίεστα Ρευστά (ασυμπίεστος)

Αρχικά, ας εξετάσουμε την περίπτωση ενός ασυμπίεστου ρευστού. Σε ένα ασυμπίεστο ρευστό, η πυκνότητα ή η μάζα του ρευστού είναι πάντα η ίδια σε κάθε σημείο από το οποίο διέρχεται. Η μάζα του ρευστού που ρέει σε έναν σωλήνα με διατομή A1 ₍ η μεγάλη διάμετρος του σωλήνα) κατά τη διάρκεια ενός ορισμένου χρονικού διαστήματος είναι:

Ομοίως, η μάζα του ρευστού που ρέει σε έναν σωλήνα με διατομή A2 ₍ μικρή διάμετρος σωλήνα) κατά τη διάρκεια ενός ορισμένου χρονικού διαστήματος είναι:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι σε σταθερή ροή, η μάζα του εισερχόμενου ρευστού είναι η ίδια με τη μάζα του εξερχόμενου ρευστού, τότε:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (η πυκνότητα του ρευστού και το χρονικό διάστημα είναι τα ίδια, επομένως εξουδετερώνονται)

Α ₁ v ₁ = Α ₂ v ₂

Έτσι, σε ασυμπίεστα ρευστά, ισχύει η εξίσωση συνέχειας:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂ — Εξίσωση 1

Πληροφορίες:

A ₁ = επιφάνεια διατομής 1, A ₂ = επιφάνεια διατομής 2, v ₁ = ταχύτητα ροής ρευστού στη διατομή 1, v ₂ = ταχύτητα ροής ρευστού στη διατομή 2, A v = ρυθμός ροής όγκου V/t ή αλλιώς παροχή

Η Εξίσωση 1 δείχνει ότι ο ρυθμός ροής όγκου, γνωστός και ως παροχή, είναι πάντα ο ίδιος σε κάθε σημείο κατά μήκος ενός σωλήνα ή σωλήνα ροής. Καθώς η διατομή του σωλήνα μειώνεται, ο ρυθμός ροής του ρευστού αυξάνεται. Αντίστροφα, καθώς η διατομή του σωλήνα αυξάνεται, ο ρυθμός ροής του ρευστού μειώνεται.

Όταν κλείνουμε μερικώς τη βρύση, η ροή του νερού γίνεται ταχύτερη από ό,τι όταν η βρύση είναι μερικώς κλειστή. Αυτό συμβαίνει επειδή η διατομή της βρύσης μειώνεται όταν η βρύση είναι μερικώς κλειστή, αυξάνοντας τον ρυθμό ροής του νερού (το υγρό ρέει πιο γρήγορα). Το ίδιο ισχύει και για τους εύκαμπτους σωλήνες. Ωστόσο, είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο ρυθμός εκκένωσης ή ογκομετρικής ροής παραμένει ο ίδιος σε όλα τα σημεία κατά μήκος της ροής του νερού, είτε η βρύση είναι μερικώς κλειστή είτε όχι. Αυτό που αλλάζει είναι ο ρυθμός ροής του υγρού.

Τι γίνεται λοιπόν με τη ροή του νερού σε ένα ποτάμι; Τα βαθύτερα τμήματα ενός ποταμού έχουν μεγαλύτερη διατομή από τα πιο ρηχά τμήματα, επομένως ο ρυθμός ροής του νερού σε βαθύτερα τμήματα είναι χαμηλότερος από ό,τι σε πιο ρηχά τμήματα. Αν δείτε μια πολύ ήρεμη ροή ποταμού, αυτό σημαίνει ότι το ποτάμι είναι βαθύ. Αλλά αν το ποτάμι γίνει ξαφνικά ορμητικό, αυτό το τμήμα είναι σίγουρα ρηχό. Ωστόσο, ο ρυθμός ροής του νερού είναι πάντα ο ίδιος, είτε σε βαθιά είτε σε ήρεμα τμήματα του ποταμού.

Εξίσωση Συνέχειας για Συμπιεστά Ρευστά (συμπιεστός)

Στην περίπτωση των συμπιέσιμων ρευστών , η πυκνότητα του ρευστού δεν είναι πάντα η ίδια. Με άλλα λόγια, η πυκνότητα του ρευστού αλλάζει όταν συμπιέζεται. Ενώ στα ασυμπίεστα ρευστά , η πυκνότητα του ρευστού εξαλείφεται από την εξίσωση, σε αυτήν την περίπτωση, η πυκνότητα του ρευστού εξακολουθεί να περιλαμβάνεται. Αναφερόμενοι στην προηγουμένως εξαγόμενη εξίσωση, ας εξαγάγουμε την εξίσωση για τα συμπιέσιμα ρευστά.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι σε σταθερή ροή, η μάζα του εισερχόμενου ρευστού είναι η ίδια με τη μάζα του εξερχόμενου ρευστού, τότε:

m ₁ = m ₂

ρA ₁ v ₁ t = ρA ₂ v ₂ t

Το χρονικό διάστημα ροής του ρευστού είναι το ίδιο, επομένως μπορεί να εξαλειφθεί. Η εξίσωση αλλάζει σε:

ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ → Εξίσωση 2

Αυτή είναι η εξίσωση για ένα συμπιέσιμο ρευστό. Η μόνη διαφορά έγκειται στην πυκνότητα του ρευστού. Όταν ένα ρευστό συμπιέζεται, η πυκνότητά του αλλάζει. Αντίθετα, όταν ένα ρευστό είναι ασυμπίεστο, η πυκνότητά του παραμένει σταθερή και μπορεί να ακυρωθεί.

Παράδειγμα ερώτησης 1:

Το νερό ρέει μέσα από έναν σωλήνα διαμέτρου 10 cm με ταχύτητα 2 m/s. Ποια είναι η παροχή νερού;

Συζήτηση

Είναι γνωστό ότι:

Διάμετρος σωλήνα = 10 cm (αυτή είναι η εσωτερική διάμετρος του σωλήνα)

Ακτίνα σωλήνα (r) = 5 cm = 0,05 m

v νερό = 2 m/s

Ερώτηση: Χρεωστική

Απάντηση:

Q = A v

Q = (π r2 ⁾ (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)

Q = (3,14)(0,0025 m2 ⁾ (2 m/s)

Q = 0,0157 m3 ^/ s

Παράδειγμα ερώτησης 2:

Ένας σωλήνας νερού με διάμετρο 20 cm είναι συνδεδεμένος με έναν άλλο σωλήνα με διάμετρο 10 cm. Αν η ροή του νερού στον σωλήνα διαμέτρου 20 cm = 4 m/s, ποια είναι η ροή του νερού στον σωλήνα διαμέτρου 10 cm;

Συζήτηση

Είναι γνωστό ότι:

Διάμετρος 1 = 20 cm (r ₁ = 10 cm = 0,1 m)

v1 = ₄ m/s

Διάμετρος 2 = 10 cm (r2 ₌ 5 cm = 0,05 m)

Ερώτηση: έκδοση ₁

Απάντηση:

Q1 = _Q2​

Α ₁ v ₁ = Α ₂ v ₂

( π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (v ₂ )

(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² (v ² )

(0,01 m2 ⁾ (4 m/s) = (0,0025 m2 ⁾ ( ^v2 )

(0,04 m3 ^/ s) = (0,0025 m2 ⁾ ( ^v2 )

v2 = ¹⁶ m/s