Ο νόμος της παγκόσμιας βαρύτητας του Νεύτωνα

Άρθρο σχετικά με τον νόμο της παγκόσμιας βαρύτητας του Νεύτωνα

Στο θέμα του νόμου του Νεύτωνα, μάθαμε ότι κάθε αντικείμενο που αρχικά ακινητοποιείται γίνεται κινείται, ή οποιοδήποτε αντικείμενο που αρχικά κινείται γίνεται ακίνητο εάν υπάρχει «κάτι» που κινεί ή σταματά το αντικείμενο. Κάτι ονομάζεται «δύναμη». Γιατί ο καρπός πέφτει ή κινείται προς την επιφάνεια της γης αφού απελευθερωθεί από τον μίσχο; Ο νόμος του Νεύτωνα ορίζει ότι εάν ο καρπός κινείται, πρέπει να υπάρχει μια δύναμη που ασκείται στον καρπό. Η δύναμη που προκαλεί την πτώση του καρπού ή οποιουδήποτε αντικειμένου προς την επιφάνεια της γης ονομάζεται δύναμη της βαρύτητας.

Το πρόβλημα της πτώσης αντικειμένων που σχετίζονται με τη δύναμη της βαρύτητας, το οποίο μελετάτε αυτή τη στιγμή, έχει μελετηθεί από τον Ισαάκ Νεύτωνα, έναν Βρετανό επιστήμονα. Αυτό το ζήτημα, που ο Νεύτωνας πίστευε ότι υπήρχε από την Αρχαία Ελλάδα, έχει μελετηθεί από τους Έλληνες, πολύ πριν γεννηθεί ο Νεύτωνας. Το ερώτημα που τίθεται πάντα είναι γιατί τα πράγματα πέφτουν πάντα στην επιφάνεια της γης και πώς κινούνται οι πλανήτες, συμπεριλαμβανομένου του ήλιου και της σελήνης. Οι Έλληνες εκείνη την εποχή έβλεπαν την ανησυχία για την πτώση αντικειμένων και τις πλανητικές κινήσεις ως δύο διαφορετικά πράγματα. Έτσι, αυτό συνεχίστηκε μέχρι την εποχή του Νεύτωνα. Έτσι, αυτό που δημιούργησε ο Νεύτωνας βασίστηκε στο έργο των ανθρώπων πριν από αυτόν. Αυτό που διακρίνει τον Νεύτωνα και τους ανθρώπους πριν από αυτόν είναι ότι ο Νεύτωνας έβλεπε τη δυσκολία της πτώσης αντικειμένων και της πλανητικής κίνησης που προκαλείται από ένα μόνο πράγμα και πρέπει να υπακούει στον ίδιο νόμο. Με άλλα λόγια, ο Νεύτωνας υποστήριξε ότι η δύναμη που προκαλεί την πτώση αντικειμένων στην επιφάνεια του εδάφους είναι η ίδια δύναμη που προκαλεί τη σελήνη να κινείται γύρω από τη γη.

Η σχέση μεταξύ της δύναμης της βαρύτητας με την απόσταση και τη μάζα

Κατά τη διατύπωση του νόμου της βαρύτητας, ο Νεύτωνας συνέκρινε την επιτάχυνση των φρούτων που πέφτουν κοντά στην επιφάνεια της Γης με την κεντρομόλο επιτάχυνση της σελήνης όταν περιστρέφεται γύρω από τη Γη. Σύμφωνα με τον Νεύτωνα, η επιτάχυνση που βιώνει η πτώση των φρούτων και η κεντρομόλος επιτάχυνση που βιώνει η σελήνη που περιστρέφεται γύρω από τη Γη προκαλούνται από την ίδια δύναμη, τη βαρυτική δύναμη της Γης. Ο Νεύτωνας υποστήριξε ότι η επιτάχυνση της σελήνης όταν περιστρέφεται γύρω από τη Γη είναι ανάλογη με 1/r2 όπου r = η απόσταση μεταξύ του κέντρου της Γης και του κέντρου της σελήνης = 3.84 x 108 m. Η επιτάχυνση των φρούτων που πέφτουν είναι ανάλογη με 1/R2 ^, όπου R = η απόσταση μεταξύ του κέντρου της γης και του κέντρου του καρπού. Ο καρπός βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια της Γης, έτσι ώστε R = RF _, όπου R _E = ακτίνα της γης = 6.37 x 106 ^m . Έτσι, η σύγκριση μεταξύ της επιτάχυνσης της σελήνης (a _M ) και της επιτάχυνσης των φρούτων (g):

Έτσι, η κεντρομόλος επιτάχυνση της σελήνης:

α _Μ = (2.75 x 10-4 ⁾ (g) = (2.75 x 10-4 ⁾ (9.8 m/s² ⁾ = 2.7 x ^10-3 m/ ^s²

Ο Νεύτωνας υπολόγισε επίσης την κεντρομόλο επιτάχυνση της σελήνης με διαφορετικό τρόπο. Είναι γνωστό ότι η σεληνιακή τροχιακή περίοδος ή ο χρόνος που απαιτείται για να κάνει μια περιστροφή ο μήνας = 27.3 ημέρες = 2.36 x 106 ^{δευτερόλεπτα} . Το μήκος της διαδρομής που διανύει η σελήνη = η περιφέρεια της σεληνιακής τροχιάς = 2 (3.14) (r) όπου r = η απόσταση μεταξύ του κέντρου της σελήνης και του κέντρου της Γης. Η κεντρομόλος επιτάχυνση της Σελήνης:

Η κεντρομόλος επιτάχυνση της σελήνης που προκύπτει σε αυτόν τον υπολογισμό είναι σχεδόν η ίδια με τα αποτελέσματα προηγούμενων υπολογισμών. Ο Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα ορίζει ότι η δύναμη είναι ανάλογη της επιτάχυνσης (F = ma). Οι παραπάνω υπολογισμοί δείχνουν ότι η επιτάχυνση είναι ανάλογη προς 1/r ² ή η επιτάχυνση είναι αντιστρόφως ανάλογη προς το τετράγωνο της απόστασης (r ² ). Έτσι, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι η βαρυτική δύναμη είναι ανάλογη προς 1/r ² ή η βαρυτική δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη προς το τετράγωνο της απόστασης. Μαθηματικά:

Εκτός από τη διερεύνηση της σχέσης μεταξύ των βαρυτικών δυνάμεων και της απόστασης μεταξύ των αντικειμένων, ο Νεύτωνας διερεύνησε επίσης τη σχέση μεταξύ των βαρυτικών δυνάμεων και της μάζας των αντικειμένων. Ο Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα ορίζει ότι εάν υπάρχει δύναμη δράσης, υπάρχει και δύναμη αντίδρασης. Η δύναμη δράσης και η δύναμη αντίδρασης έχουν το ίδιο μέγεθος και αντίθετη κατεύθυνση (F-δράση = -F αντίδραση, ένα αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι η κατεύθυνση της δύναμης είναι αντίθετη). Εάν η βαρυτική δύναμη της Γης έλκει τον καρπό, η βαρυτική δύναμη του καρπού έλκει επίσης τη γη. Η βαρυτική δύναμη της Γης ασκείται στον καρπό, ενώ η βαρυτική δύναμη του καρπού ασκείται στη γη. Ομοίως, η βαρυτική δύναμη μεταξύ της Γης και της Σελήνης. Η βαρυτική δύναμη της Γης με τη βαρυτική δύναμη του καρπού ή η βαρυτική δύναμη με τη βαρυτική δύναμη της Σελήνης είναι δύναμη αντίδρασης. Επειδή η δύναμη είναι ανάλογη με τη μάζα (F = ma) και επειδή η δύναμη δράσης και η δύναμη αντίδρασης έχουν το ίδιο μέγεθος, η βαρυτική δύναμη μεταξύ δύο αντικειμένων πρέπει να είναι ανάλογη με τη μάζα των δύο αντικειμένων. Μαθηματικά:

Ο νόμος της παγκόσμιας βαρύτητας του Νεύτωνα

Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα ορίζει ότι κάθε αντικείμενο στο σύμπαν έλκεται μεταξύ του, όπου η έλξη μεταξύ των αντικειμένων είναι ανάλογη με τη μάζα τους και αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασής τους. Αν δύο αντικείμενα με μάζες m1 _και m2 _{χωρίζονται} από απόσταση r, τότε το μέγεθος της βαρυτικής δύναμης μεταξύ των δύο αντικειμένων είναι:

G = σταθερά βαρύτητας (6.673 x ^10-11 Nm2 / kg2 ^{) .} Η G μετριέται πειραματικά.

F₁₂ είναι η βαρυτική δύναμη που ασκείται στο m₁ στο μ₂ ενώ ο Φ₂₁ είναι η βαρυτική δύναμη που ασκείται στο m₂ στο μ₁. φά₁₂ εργάζεται στο μ.₂ και τραβάει μ₂ προς το μ₁, ενώ το Φ₂₁ εργάζεται στο μ.₁ και τραβάει μ₁ προς το μ₂. φά₂₁ και ΣΤ₁₂ έχουν το ίδιο μέγεθος και αντίθετη κατεύθυνση. Έτσι, F₂₁ και ΣΤ₁₂ είναι ζεύγη δράσης-αντίδρασης. r είναι η απόσταση μεταξύ των κέντρων του m₁ και το κέντρο του μ.₂Το κέντρο του μ.₁ βρίσκεται στο κέντρο του αντικειμένου, όπως και το κέντρο του m₂Αν το r αναφέρεται σε km, τότε μετατρέπεται πρώτα σε μέτρα (μονάδα διεθνούς συστήματος).

Δείγμα προβλήματος 1 (βαρυτική δύναμη μεταξύ 2 σωματιδίων)

Υπολογίστε τη βαρυτική δύναμη μεταξύ δύο μαθητών, ο καθένας με μάζα 30 kg και 40 kg, και απόσταση 1 μέτρου.

Λύση

Το μέγεθος της βαρυτικής δύναμης είναι τόσο μικρό που τα δύο αντικείμενα δεν έλκονται μεταξύ τους.

Δείγμα προβλήματος 2 (βαρυτική δύναμη μεταξύ 2 σωματιδίων)

Υπολογίστε τη συνολική βαρυτική δύναμη που ασκείται από το m² λόγω της βαρυτικής δύναμης που ασκείται στο m1 στο m² και η βαρυτική δύναμη που ασκείται στο m³ στο μ²Η απόσταση μεταξύ κέντρων m¹ και m² είναι 2 μέτρα και η απόσταση μεταξύ κέντρων m² και m³ είναι 1 μέτρο.

Λύση:

Η δύναμη της βαρύτητας του m ₁ στα m ₂ :

Η δύναμη της βαρύτητας του _m3 στα _m2 :

Η συνολική βαρυτική δύναμη που ασκείται από το _m2 :

Σύνολο Fg = (6.673 – 1.668) x 10 ^-11 N = 5.005 x 10 ^-11 N. Στο παρακάτω σχήμα, το βέλος F ₃₂ είναι μακρύτερο από το βέλος F _12. Έτσι, η κατεύθυνση της συνολικής βαρυτικής δύναμης είναι προς m ₃.

Δείγμα προβλήματος 3 (συνολική δύναμη βαρύτητας = μηδέν):

Δύο μπάλες Α και Β, η καθεμία με μάζα m και 5 m. Και οι δύο μπάλες έχουν την ίδια διάμετρο. Εάν η βαρυτική δύναμη σε ένα σημείο μεταξύ της μπάλας Α και της μπάλας Β είναι ίση με μηδέν, τότε η απόσταση αυτού του σημείου από την επιφάνεια της μπάλας Α είναι …

Λύση:

Η διάμετρος των σφαιρών Α και Β είναι 1 μέτρο, άρα η ακτίνα των σφαιρών Α και Β είναι 0.5 μέτρα. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων των σφαιρών Α και Β είναι 6 μέτρα.

Τοποθετούμε ένα σωματίδιο δοκιμής με μάζα m σε ένα σημείο που βρίσκεται μεταξύ της μπάλας Α και της μπάλας Β.

F _A = ​​η βαρυτική δύναμη που ασκείται από τη σφαίρα Α στο υπό δοκιμή σωματίδιο (η κατεύθυνση της βαρύτητας προς τη σφαίρα Α).

F _B = η βαρυτική δύναμη που ασκείται από τη σφαίρα Β στο υπό δοκιμή σωματίδιο (η κατεύθυνση της βαρύτητας προς τη σφαίρα Β).

Έτσι ώστε η βαρυτική δύναμη που ασκείται στο υπό δοκιμή σωματίδιο να είναι μηδέν, τότε F _A = ​​​​F _B (τα F _A και F _B έχουν αντίθετες κατευθύνσεις).

Χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο για να προσδιορίσετε την τιμή του x

Άρα x = 4.88 μέτρα

4.88 m – 0.5 m = 4.38 m. Η βαρυτική δύναμη είναι μηδέν, 4.38 μέτρα από την επιφάνεια της μπάλας Α. Ποια είναι η απόσταση από την επιφάνεια της μπάλας Β;

Μέτρηση της σταθεράς παγκόσμιας βαρύτητας (G)

Για να μάθετε τη μάζα του σώματός σας, χρειάζεται μόνο να σταθείτε σε μια ζυγαριά και στη συνέχεια να διαβάσετε την κλίμακα της μάζας του σώματός σας. Είναι εύκολο να μετρήσετε τη μάζα του σώματός σας. Λοιπόν, πώς να μετρήσετε τη μάζα της Γης; Δεν υπάρχουν γιγάντιες κλίμακες που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση της μάζας της Γης. Εάν δεν υπάρχει κλίμακα, δεν μπορούμε να μετρήσουμε τη μάζα της Γης χρησιμοποιώντας αυτές τις κλίμακες, επειδή η Γη κινείται συνεχώς. Η μάζα της Γης είναι γνωστή μέσω υπολογισμών μετά τη μέτρηση της παγκόσμιας σταθεράς βαρύτητας (G) μέσω πειράματος.

Βάρος

Το βάρος ενός αντικειμένου είναι η συνολική βαρυτική δύναμη που ασκείται σε ένα αντικείμενο λόγω της βαρυτικής δύναμης που ασκείται από όλα τα αντικείμενα στο σύμπαν σε αυτό το αντικείμενο. Εάν το αντικείμενο βρίσκεται πάνω από την επιφάνεια της γης ή την επιφάνεια της γης, τότε αγνοούμε τη βαρυτική δύναμη που ασκείται από άλλα αντικείμενα στο σύμπαν. Θεωρήστε το βάρος ενός αντικειμένου ως τη βαρυτική δύναμη της γης που ασκείται σε αυτό το αντικείμενο.

w = βάρος του αντικειμένου, m _E = μάζα της γης, m = μάζα του αντικειμένου, R _E = ακτίνα της γης.

Εάν ένα αντικείμενο βρίσκεται σε ύψος h πάνω από την επιφάνεια της γης (τα αντικείμενα βρίσκονται πάνω από ένα ορισμένο ύψος, όπως για παράδειγμα ένα επίπεδο) ή αντικείμενα που βρίσκονται σε απόσταση r πάνω από την επιφάνεια της γης όπου r = R _E + h,

τότε η βαρυτική δύναμη που ασκείται στο αντικείμενο ή το βάρος του αντικειμένου είναι:

Αυτή η εξίσωση δείχνει ότι το βάρος ενός αντικειμένου μειώνεται στο τετράγωνο της απόστασης από το κέντρο της γης. Έτσι, όσο πιο μακριά από την επιφάνεια της γης, τόσο το βάρος των αντικειμένων μειώνεται.

Ενταση βαρύτητος

Με βάση τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, γνωρίζουμε ότι το βάρος ενός αντικειμένου είναι η δύναμη που προκαλεί την επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης του αντικειμένου (βαρυτική επιτάχυνση):

w = mg

Συνδυάστε και τις δύο εξισώσεις w = F g και w = mg:

Αυτή η εξίσωση εξηγεί την επιτάχυνση της βαρύτητας που βιώνει ένα αντικείμενο σε ένα ορισμένο ύψος πάνω από την επιφάνεια της γης. Μέσω αυτής της εξίσωσης, είναι γνωστό ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας μειώνεται με την αύξηση του υψομέτρου και δεν εξαρτάται από τη μάζα των αντικειμένων που πέφτουν ελεύθερα.

Επιτάχυνση της βαρύτητας αντικειμένων που βρίσκονται πάνω από την επιφάνεια της γης ή πάνω από το επίπεδο του εδάφους:

Η μάζα της Γης μπορεί να υπολογιστεί αλλάζοντας την παραπάνω εξίσωση ως εξής:

Υπολογίστε τη μάζα της Γης χρησιμοποιώντας αυτήν την εξίσωση!

Προβλήματα και λύσεις

1. Δύο αντικείμενα m ₁ και m ₂ το καθένα, με μάζα 6 kg και 9 kg, που απέχουν μεταξύ τους 5 cm. Ανάμεσα στα δύο τοποθετείται ένα αντικείμενο m _{3 = 1 kg. Αν η βαρυτική δύναμη που ασκείται στο m 3} = 0, τότε η απόσταση m ₃ από το m1 είναι …

Βαρυτική δύναμη = 0 αν _F13 = _F23.

α = -1, β = -20, γ = 50

Χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο:

Τα αποτελέσματα δεν μπορούν να είναι αρνητικά. Άρα x = r13 _{= απόσταση} m3 και m1 = _2.25 cm.

[irp]

2. Δύο αντικείμενα Α και Β απέχουν μεταξύ τους 60 cm. Η μάζα Α είναι 24 kg και η μάζα Β είναι 10 kg. Πού βρίσκεται ένα σημείο που έχει ισχυρό βαρυτικό πεδίο ίσο με μηδέν;

Βαρυτικό πεδίο = 0 αν g _A = g _B.

α = 7

b = -1440

c=43200

Χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο:

x = r _A = 169.25 cm ή

x = r _A = 36.46 cm

[irp]