3 Προβλήματα και λύσεις σχετικά με την εξίσωση ροπής αδράνειας
1. Ένας συμπαγής κύλινδρος έχει ακτίνα 8 cm και μάζα 2 kg. Εν τω μεταξύ, μια συμπαγής μπάλα έχει ακτίνα 5 cm και μάζα 4 kg. Αν τα δύο αντικείμενα περιστρέφονται με άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους, προσδιορίστε τον λόγο της ροπής αδράνειας του κυλίνδρου και της μπάλας.
Γνωστός:
Ακτίνα συμπαγούς κυλίνδρου (r) = 8 cm = 0.08 m
Μάζα στερεού κυλίνδρου (m) = 2 kg
Ακτίνα συμπαγούς μπάλας (r) = 5 cm = 0.05 m
Η μάζα της συμπαγούς μπάλας (m) = 4 kg
Ζητείται: Σύγκριση της ροπής αδράνειας ενός κυλίνδρου και μιας σφαίρας
Λύση :
Ο τύπος για τη ροπή αδράνειας ενός στερεού κυλίνδρου:
I = ½ MR 2 = ½ (2) (0,08) 2 = 0,0064
Ο τύπος για τη ροπή αδράνειας μιας στερεάς μπάλας:
I = 2/5 MR 2 = 1/5 (4) (0,05) 2 = (0,8) (0,0025) = 0,002
Σύγκριση της ροπής αδράνειας του κυλίνδρου και της σφαίρας:
0,0064: 0,002
3,2: 1
2. Το κουτί στο οποίο τοποθετήθηκαν τα μπισκότα χρησιμοποιήθηκε ως παιχνίδι. Η μάζα του κουτιού είναι 200 γραμμάρια και η ακτίνα του είναι 15 cm. Το κουτί τυλίγεται σε οριζόντιο δάπεδο. Αν το καπάκι και ο πάτος του κουτιού παραμεληθούν, προσδιορίστε τη ροπή αδράνειας του κουτιού.
Γνωστός:
Το δοχείο μοιάζει με κοίλο κύλινδρο.
Μάζα (m) = 200 γραμμάρια = 0.2 kg
Ακτίνα (r) = 15 cm = 0.15 m
Καταζητούμενος:
Λύση:
Ο τύπος για τη ροπή αδράνειας ενός κοίλου κυλίνδρου μέσω του άξονα:
I = MR2 = (0,2)(0,15) 2 = (0,2)(0,0225) = 0,0045 kg m2
3. Ένας δίσκος που περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα είναι ικανός να περιστρέφεται με ταχύτητα 80 στροφών ανά λεπτό. Εάν ένα μικρό αντικείμενο με μάζα 4 x 10-2 kg είναι προσαρτημένο σε έναν δίσκο σε απόσταση 5 cm από τον άξονα, προκύπτει ότι η περιστροφή είναι 60 στροφές ανά λεπτό, τότε προσδιορίστε τη ροπή αδράνειας του δίσκου.
Γνωστός:
Αρχική γωνιακή ταχύτητα (ω- o ) = 80 puts / 60 s = 4/3 puts/s
Αρχική ροπή αδράνειας (I o ) = I
Τελική γωνιακή ταχύτητα (ω t ) = 60 put / 60 s = 1 put/s
Τελική ροπή αδράνειας (I t ) = I + mr 2 = I + (0.04)(0.05) 2 = I + (0.04)(0.0025) = I + 0.0425
Ζητείται: ροπή αδράνειας του Δίσκου
Λύση:
Ο νόμος διατήρησης της στροφορμής
I ω o = I ω t
Ι (4/3) = Ι + (0,0425 (1))
4 I / 3 = I + 0,0425
4 I = 3 I + 0,1275
4 I – 3 I = 0,1275
I = 0,1275 kg m 2
