Κέντρο βαρύτητας

1. Ορισμός του κέντρο βαρύτητας

Ένα άκαμπτο σώμα αποτελείται από πολλά σωματίδια. Επομένως, η βαρυτική δύναμη ασκείται σε καθένα από αυτά τα σωματίδια. Με άλλα λόγια, κάθε σωματίδιο έχει το δικό του βάρος. Το κέντρο βάρους ενός αντικειμένου είναι ένα σημείο στο αντικείμενο όπου το βάρος όλων των μερών του θεωρείται ότι είναι κεντραρισμένο σε αυτό το σημείο.

Εάν ένα αντικείμενο είναι ομοιογενές (η πυκνότητα κάθε μέρους του αντικειμένου είναι η ίδια ή το αντικείμενο αποτελείται από παρόμοιο υλικό) και το σχήμα του αντικειμένου είναι συμμετρικό (για παράδειγμα τετράγωνο, ορθογώνιο, κύκλος)

τότε το βάρος του αντικειμένου συμπίπτει με το κέντρο μάζας του αντικειμένου, το οποίο βρίσκεται στο κέντρο του αντικειμένου. Για τρίγωνα, το κέντρο μάζας βρίσκεται στο 1/3 h (h = ύψος του τριγώνου).

2. Εξίσωση του κέντρου βάρους

Αν το σχήμα του αντικειμένου είναι συμμετρικό και το αντικείμενο είναι ομογενές, τότε το κέντρο βάρους του αντικειμένου συμπίπτει με το κέντρο μάζας του αντικειμένου,

όπου το κέντρο βάρους και το κέντρο μάζας βρίσκονται στο κέντρο του αντικειμένου. Αντίθετα, εάν το αντικείμενο είναι ομογενές αλλά όχι συμμετρικό, τότε η θέση του βάρους του αντικειμένου μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο.

Οι συντεταγμένες του βάρους του αντικειμένου στον άξονα x:

Οι συντεταγμένες του βάρους του αντικειμένου στον άξονα y:

x = το μέσο του αντικειμένου στον άξονα x, y = το μέσο του αντικειμένου στον άξονα y, A = εμβαδόν. Εάν το αντικείμενο βρίσκεται σε τρεις διαστάσεις, εκτός από τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του βάρους του αντικειμένου στους άξονες x και y, προσδιορίζει επίσης τις συντεταγμένες του βάρους του αντικειμένου στον άξονα z. Το εμβαδόν (A) αντικαθίσταται από τον όγκο (V).

Δείγμα προβλήματος 1.

Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους του ομοιογενούς αντικειμένου στο σχήμα στο πλάι!

Λύση:

Χωρίστε το αντικείμενο σε τρία μέρη.

Α ₁ = (10-0)(10-0) = (10)(10) = 100

A₂ = (20-10)(30-0) = (10)(30) = 300

Α ₃ = (30-20)(10-0) = (10)(10) = 100

x ₁ = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5

x ₂ = 1⁄2 (20-10) + 10 = 1⁄2 (10) + 10 = 5 + 10 = 15

x ₃ = 1⁄2 (30-20) + 20 = 1⁄2 (10) + 20 = 5 + 20 = 25

y ₁ = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5

y ₂ = 1⁄2 (30-0) = 1⁄2 (30) = 15

y ₃ = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5

Οι συντεταγμένες του βάρους του αντικειμένου στον άξονα x:

Οι συντεταγμένες του βάρους του αντικειμένου στον άξονα y:

Οι συντεταγμένες του βάρους του αντικειμένου είναι (15; 11)

Δείγμα προβλήματος 2.

Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του βάρους του αντικειμένου στο σχήμα!

Λύση:

Χωρίστε το αντικείμενο σε δύο μέρη, η περιοχή 1 = τετράγωνο, η περιοχή 2 = τρίγωνο.

Α ₁ = (5-1)(3-0) = (4)(3) = 12

A ₂ = 1⁄2 (6-0)(9-3) = 1⁄2 (6)(6) = (3)(6) = 18

x ₁ = 1⁄2 (5-1) + 1 = 1⁄2 (4) + 1 = 2 + 1 = 3

x ₂ = 1⁄2 (6-0) = 1⁄2 (6) = 3

y ₁ = 1⁄2 (3-0) = 1⁄2 (3) = 1.5

y ₂ = 1/3(9-3) + 3 = 1/3(6) + 3 = 2 + 3 = 5

Οι συντεταγμένες του βάρους του αντικειμένου στον άξονα x:

Οι συντεταγμένες του βάρους του αντικειμένου στον άξονα y:

Η συντεταγμένη του βάρους του αντικειμένου είναι (3; 3.6)