Στροφορμή

Στροφορμή

Η ποσότητα της περιστροφικής κίνησης, η οποία είναι ίδια με τη μάζα (m) στην γραμμική κίνηση, είναι η ροπή αδράνειας (I). Η ποσότητα της περιστροφικής κίνησης, η οποία είναι ίδια με την ταχύτητα (v) στην γραμμική κίνηση, είναι η γωνιακή ταχύτητα (ω). Έτσι, το περιστρεφόμενο αντικείμενο έχει στροφορμή που μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση:

L = I ω

L = στροφορμή (kg m ² /s), I = ροπή αδράνειας (kg m ² ), ω = γωνιακή ταχύτητα (rad/s)

Δείγματα προβλημάτων της στροφορμής

Δείγμα προβλήματος 1.

Ένα σωματίδιο με μάζα 0.5 γραμμάρια κινείται σε κύκλο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα 2 rad/s. Να προσδιορίσετε τη στροφορμή του σωματιδίου αν η ακτίνα της τροχιάς του είναι 10 cm.

Λύση:

Η ροπή αδράνειας του σωματιδίου:

I = mr ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-1 m) ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-2 m ² ) = 0.5 x 10 ^-5 kg ​​​​m ²

Η γωνιακή ταχύτητα του σωματιδίου:

ω = 2 rad/s

Η στροφορμή του σωματιδίου:

L = (0.5 x 10 ^-5 kg ​​​​m ² )(2 rad/s) = 1 x 10 ^-5 kg ​​​​m ² /s

Ο νόμος διατήρησης της στροφορμής

Ο νόμος διατήρησης της στροφορμής ορίζει ότι εάν η συνισταμένη ροπή δύναμης σε ένα άκαμπτο σώμα κατά την περιστροφή είναι μηδέν, τότε η στροφορμή του άκαμπτου σώματος κατά την περιστροφή είναι πάντα σταθερή. Ο νόμος διατήρησης της στροφορμής μπορεί να εξαχθεί μαθηματικά τροποποιώντας την εξίσωση του δεύτερου νόμου της στροφορμής του Νεύτωνα. Ακολουθεί η εξίσωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για την στροφορμή:

Αν η συνισταμένη ροπή δύναμης είναι μηδέν, τότε η παραπάνω εξίσωση αλλάζει ως εξής:

I _t = η τελική ροπή αδράνειας, I _o = η αρχική ροπή αδράνειας, ω _t = η τελική γωνιακή ταχύτητα, ω _o = η αρχική γωνιακή ταχύτητα, L _t = η τελική στροφορμή, L _o = η αρχική στροφορμή.

Δείγματα προβλημάτων του νόμου διατήρησης της στροφορμής

Δείγμα προβλήματος 1.

Ένας ομογενής στερεός κυλινδρικός δίσκος περιστρέφεται αρχικά γύρω από τον άξονά του με ταχύτητα 4 rad/s. Η μάζα και η ακτίνα του δίσκου είναι 1 kg και 0.5 m. Αν πάνω από την πλάκα τοποθετηθεί ένας δακτύλιος που έχει μάζα και ακτίνα 0.2 kg και 0.1 m και το κέντρο του δακτυλίου,

ακριβώς πάνω από το κέντρο του δίσκου, τότε ο δίσκος και ο δακτύλιος θα περιστραφούν μαζί με γωνιακή ταχύτητα…

Λύση:

Ροπή αδράνειας στερεού κυλίνδρου: I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg m ²

Ροπή αδράνειας δακτυλίου: I = mr ² = (0.2 kg)(0.1 m) ² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg m ²

Αρχική στροφορμή (L1 ₎ = Τελική στροφορμή ( _L2 )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m ² )(4 rad/s) = (0.125 kg m ² + 0.002 kg m ² )(ω ₂ )

(0.5) = (0.127)( _ω2 )

ω2 = _0.5 : 0.127

ω2 = ₄ ακτίνια/δευτερόλεπτο

Εννοιολογικά ερωτήματα και απαντήσεις

1. Τι είναι η στροφορμή;
   Απάντηση: Η στροφορμή είναι ένα μέτρο της ποσότητας περιστροφής που έχει ένα αντικείμενο, λαμβάνοντας υπόψη τη μάζα και το σχήμα του. Είναι το περιστροφικό ανάλογο της γραμμικής ορμής.
2. Πώς προσδιορίζεται μαθηματικά η στροφορμή;
   Απάντηση: Η στροφορμή (L) ορίζεται ως $L=r\times p$, Όπου $r$ είναι το διάνυσμα θέσης από τον άξονα περιστροφής έως το σημείο εφαρμογής, και $p$ είναι η γραμμική ορμή.
3. Είναι η στροφορμή ένα βαθμωτό ή διανυσματικό μέγεθος;
   Απάντηση: Η στροφορμή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος.
4. Ποια είναι η μονάδα στροφορμής στο σύστημα SI;
   Απάντηση: Η μονάδα στροφορμής στο σύστημα SI είναι το χιλιόγραμμο-μέτρο στο τετράγωνο ανά δευτερόλεπτο (kg·m²/μικρό).
5. Πώς διατηρείται η στροφορμή;
   Απάντηση: Σε ένα κλειστό σύστημα χωρίς εξωτερικές ροπές, η συνολική στροφορμή παραμένει σταθερή.
6. Ποια είναι η αρχή διατήρησης της στροφορμής;
   Απάντηση: Η αρχή αυτή ορίζει ότι η συνολική στροφορμή ενός κλειστού συστήματος παραμένει σταθερή εκτός εάν ασκηθεί εξωτερική ροπή στρέψης σε αυτήν.
7. Πώς σχετίζεται η περιστροφή ενός αθλητή καλλιτεχνικού πατινάζ με τη στροφορμή;
   Απάντηση: Όταν ένας αθλητής καλλιτεχνικού πατινάζ τραβάει τα χέρια και τα πόδια του κοντά στο σώμα του κατά τη διάρκεια μιας περιστροφής, μειώνει τη ροπή αδράνειάς του, με αποτέλεσμα να περιστρέφεται πιο γρήγορα. Αυτό καταδεικνύει τη διατήρηση της στροφορμής.
8. Ποια είναι η σχέση μεταξύ ροπής και στροφορμής;
   Απάντηση: Ροπή ($\tau$) είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής. Μαθηματικά, τ=dΛ/δευτ.​.
9. Είναι δυνατόν ένα αντικείμενο να έχει στροφορμή χωρίς στροφορμή;
   Απάντηση: Όχι, αν ένα αντικείμενο έχει στροφορμή, έχει και γωνιακή ταχύτητα. Το μέγεθος και η κατεύθυνση της στροφορμής εξαρτώνται τόσο από τη ροπή αδράνειας όσο και από τη γωνιακή ταχύτητα.
10. Πώς επηρεάζει η ροπή αδράνειας τη στροφορμή;
    Απάντηση: Η στροφορμή (L) είναι το γινόμενο της ροπής αδράνειας (I) και της γωνιακής ταχύτητας (ω). US $L=I\omega$, μια αύξηση στη ροπή αδράνειας για μια δεδομένη γωνιακή ταχύτητα θα αυξήσει τη στροφορμή.
11. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της περιστροφής και της τροχιακής στροφορμής στην κβαντομηχανική;
    Απάντηση: Η στροφορμή του σπιν είναι μια εγγενής ιδιότητα των σωματιδίων, όπως τα ηλεκτρόνια, και δεν προκύπτει από την κίνηση στο χώρο. Η τροχιακή στροφορμή, από την άλλη πλευρά, προκύπτει από την κίνηση ενός σωματιδίου γύρω από ένα κεντρικό σημείο.
12. Ποιος είναι ο ρόλος της στροφορμής στο σχηματισμό των πλανητικών συστημάτων;
    Απάντηση: Καθώς ένα μοριακό νέφος καταρρέει για να σχηματίσει άστρα και πλανήτες, η διατήρηση της στροφορμής προκαλεί την ισοπέδωση του υλικού σε έναν δίσκο γύρω από το νεογέννητο άστρο, από τον οποίο μπορούν να σχηματιστούν πλανήτες.
13. Πώς διατηρεί ένα γυροσκόπιο τον προσανατολισμό του στο χώρο;
    Απάντηση: Ένα περιστρεφόμενο γυροσκόπιο έχει στροφορμή. Όταν μια εξωτερική ροπή προσπαθεί να αλλάξει τον προσανατολισμό του, το γυροσκόπιο μεταπίπτει, ή αλλάζει τον άξονα περιστροφής του, σε κατεύθυνση κάθετη προς την εφαρμοζόμενη ροπή λόγω της διατήρησης της στροφορμής.
14. Τι προκαλεί μετάπτωση σε μια σβούρα;
    Απάντηση: Η μετάπτωση σε μια σβούρα προκαλείται από τη ροπή που ασκείται από τη βαρύτητα στο κέντρο μάζας της κορυφής, το οποίο είναι μετατοπισμένο από το σημείο περιστροφής της. Αυτή η ροπή έχει ως αποτέλεσμα μια αλλαγή στην κατεύθυνση της στροφορμής της κορυφής, προκαλώντας τη μετάπτωσή της.
15. Γιατί τα αστέρια ισοπεδώνονται στους πόλους τους;
    Απάντηση: Καθώς τα αστέρια περιστρέφονται, δέχονται μια φυγόκεντρο δύναμη που ωθεί την ύλη προς τα έξω. Αυτή η επίδραση είναι ισχυρότερη στον ισημερινό παρά στους πόλους, οδηγώντας σε ένα πεπλατυσμένο ή πεπλατυσμένο σχήμα.
16. Πώς σχετίζεται η στροφορμή με τον δεύτερο νόμο του Κέπλερ;
    Απάντηση: Ο δεύτερος νόμος του Κέπλερ ορίζει ότι ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει έναν πλανήτη και τον Ήλιο διαγράφει ίσες επιφάνειες σε ίσα χρονικά διαστήματα. Αυτό είναι συνέπεια της διατήρησης της στροφορμής.
17. Γιατί μια γάτα προσγειώνεται πάντα στα πόδια της όταν πέφτει;
    Απάντηση: Οι γάτες χρησιμοποιούν την αρχή διατήρησης της στροφορμής. Στριφώνοντας το σώμα τους και αλλάζοντας τις ροπές αδράνειάς τους στον αέρα, μπορούν να αναπροσανατολιστούν για να προσγειωθούν στα πόδια τους χωρίς να παραβιάζουν τους νόμους διατήρησης.
18. Πώς σχετίζεται η μαγνητική ροπή με τη στροφορμή στα ηλεκτρόνια;
    Απάντηση: Η μαγνητική ροπή ενός ηλεκτρονίου προκύπτει από το σπιν και την τροχιακή του στροφορμή. Η μαγνητική ροπή είναι ανάλογη με τη στροφορμή του ηλεκτρονίου.
19. Τι είναι η στροφορμή σε όρους πολικών συντεταγμένων;
    Απάντηση: Σε πολικές συντεταγμένες, η στροφορμή $L$ για μια σημειακή μάζα μπορεί να εκφραστεί ως $L=mrv$, Όπου $m$ είναι η μάζα, $r$ είναι η ακτινική απόσταση, και $v$ είναι η εφαπτομενική ταχύτητα.
20. Τι συμβαίνει με την στροφορμή ενός κλειστού συστήματος όταν δύο αντικείμενα συγκρούονται;
    Απάντηση: Σε ένα κλειστό σύστημα όπου δύο αντικείμενα συγκρούονται, η συνολική στροφορμή πριν από τη σύγκρουση είναι ίση με τη συνολική στροφορμή μετά τη σύγκρουση, υποθέτοντας ότι δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές στο σύστημα.

Προβλήματα και λύσεις

1. Πρόβλημα: Μια σημειακή μάζα m = 2 kg κινείται με ταχύτητα v = 3 m/s σε έναν κύκλο ακτίνας r = 4 m. Υπολογίστε την στροφορμή της γύρω από το κέντρο του κύκλου.

Λύση: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m ² /s

2. Πρόβλημα: Μια στερεά σφαίρα μάζας 3 kg και ακτίνας 0.5 m περιστρέφεται γύρω από τη διάμετρό της με γωνιακή ταχύτητα ω = 2 rad/s. Ποια είναι η στροφορμή της;

Λύση: Για μια στερεά σφαίρα, I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Πρόβλημα: Ένα σημειακό σώμα μάζας 3 kg κινείται με ταχύτητα 4 m/s σε ευθεία γραμμή. Ποια είναι η στροφορμή του γύρω από ένα σημείο που απέχει 5 m από την ευθεία κίνησής του;

Λύση:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Πρόβλημα: Ένας δίσκος μάζας 5 kg και ακτίνας 3 m περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 2 rad/s. Υπολογίστε τη στροφορμή του.

Λύση: Για έναν δίσκο, I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Πρόβλημα: Μια ράβδος μήκους 4 m και μάζας 2 kg περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της με γωνιακή ταχύτητα 3 rad/s. Βρείτε την στροφορμή της.

Λύση: Για μια ράβδο γύρω από το ένα άκρο, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Πρόβλημα: Ποια είναι η μεταβολή της στροφορμής αν ένα περιστρεφόμενο σώμα διπλασιάσει τη γωνιακή του ταχύτητα;

Λύση: Η σχέση μεταξύ της στροφορμής (L) και της γωνιακής ταχύτητας (ω) είναι $L=I\times \omega$ . Αν το ω διπλασιαστεί, θα διπλασιαστεί και η στροφορμή.

7. Πρόβλημα: Εάν η ακτίνα μιας κυκλικής τροχιάς ενός κινούμενου σωματιδίου διπλασιαστεί διατηρώντας παράλληλα σταθερή την ταχύτητα, κατά ποιο συντελεστή αλλάζει η στροφορμή;

Λύση: Ορμή, $L=m\times r\times v$ . Αν το r διπλασιαστεί, θα διπλασιαστεί και το L.

8. Πρόβλημα: Ένα παιδί μάζας 30 kg στέκεται στην άκρη ενός ακίνητου καρουζέλ. Η ακτίνα του καρουζέλ είναι 2 m. Αν το παιδί αρχίσει να τρέχει με ταχύτητα 2 m/s ως προς το έδαφος κατά μήκος της άκρης, βρείτε τη στροφορμή του παιδιού ως προς το κέντρο.

Λύση: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m ² /s

9. Πρόβλημα: Ένας κύλινδρος μάζας 6 kg και ακτίνας 2 m περιστρέφεται γύρω από τον κεντρικό του άξονα με γωνιακή ταχύτητα 5 rad/s. Υπολογίστε την στροφορμή του.

Λύση: Για έναν κύλινδρο, I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2 ² ×5=120 kg.m ² /s

10. Πρόβλημα: Ποια θα είναι η νέα στροφορμή ενός σώματος αν η ροπή αδράνειάς του μειωθεί στο μισό και η γωνιακή του ταχύτητα τριπλασιαστεί;

Λύση: Δεδομένου $L=I\times \omega$ , αν $\tau o\; I$ υποδιπλασιαστεί και $\tau o\; \omega$ τριπλασιαστεί, το νέο $L$ θα είναι 1/2×3=1.5 × το αρχικό.

11. Πρόβλημα: Μια στεφάνη μάζας 2kg και ακτίνας 1m περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 4 rad/s. Υπολογίστε τη στροφορμή της.

Λύση: Για μια στεφάνη, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m² ^/ s

12. Πρόβλημα: Ένας ανεμιστήρας έχει πτερύγια μήκους 0.5 m και συνολικής μάζας 1 kg. Αν περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 10 rad/s, προσδιορίστε την στροφορμή του.

Λύση: Υποθέτοντας ότι τα πτερύγια του ανεμιστήρα είναι σαν ράβδοι που περιστρέφονται γύρω από το ένα άκρο, I =1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5 ² ×10=0.833 kg.m ² /s

13. Πρόβλημα: Υπολογίστε την στροφορμή της γης γύρω από τον άξονά της λόγω της περιστροφής της. Δίνονται: Μάζα της γης = ^5.972 × ¹⁰²⁴ kg , Ακτίνα $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10-5\text{rad/s}$.

Λύση: Υποθέτοντας ότι η γη είναι μια στερεά σφαίρα, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Πρόβλημα: Ένα παιδί κινείται προς το κέντρο μιας περιστρεφόμενης πλατφόρμας. Η στροφορμή αυξάνεται, μειώνεται ή παραμένει η ίδια;

Λύση: Η στροφορμή διατηρείται. Καθώς το παιδί κινείται προς το κέντρο, η ροπή αδράνειας μειώνεται. Για να διατηρηθεί η στροφορμή, η στροφορμή αυξάνεται. Έτσι, η στροφορμή παραμένει η ίδια.

15. Πρόβλημα: Αν η κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου σώματος διπλασιαστεί, κατά ποιο συντελεστή αλλάζει η στροφορμή του;

Λύση: Κινητική ενέργεια K = 1/2 ​I ω ² και στροφορμή $L=I\omega$ . Εάν η κινητική ενέργεια διπλασιαστεί και $\tau o\; I$ παραμείνει σταθερό, το ω ² διπλασιάζεται. Αυτό υποδηλώνει ότι $\tau o\; \omega$ αυξάνεται κατά έναν συντελεστή √ 2 .$Έ\tau \sigma \iota ,\; \tau o\; L$ αυξάνεται επίσης κατά έναν συντελεστή √ 2 .

16. Πρόβλημα: Ένας τροχός ποδηλάτου ακτίνας 0.3 m έχει χείλος μάζας 1.5 kg. Αν περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 5 rad/s, βρείτε την στροφορμή του.

Λύση: Υποθέτοντας ότι το χείλος είναι στεφάνη, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Πρόβλημα: Μια αθλήτρια του παγοδρομίου τραβάει τα χέρια της προς τα μέσα ενώ περιστρέφεται. Τι συμβαίνει με την στροφορμή της;

Λύση: Η στροφορμή της αθλήτριας διατηρείται. Τραβώντας τα χέρια της προς τα μέσα, μειώνει τη ροπή αδράνειάς της και έτσι περιστρέφεται πιο γρήγορα (αυξημένη γωνιακή ταχύτητα) για να διατηρήσει τη στροφορμή της.

18. Πρόβλημα: Ένας σφόνδυλος έχει ροπή αδράνειας 0.2 kg.m ² kg.m ² και περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 10 rad/s. Βρείτε την στροφορμή του.

Λύση:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m ² / s

19. Πρόβλημα: Ένα σύστημα ασκεί μηδενική συνολική εξωτερική ροπή. Τι μπορείτε να πείτε για την στροφορμή του;

Λύση: Εάν η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδέν, τότε σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της στροφορμής, η συνολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή.

20. Πρόβλημα: Μια σημειακή μάζα m = 5 kg κινείται με ταχύτητα v = 3 m/s κάθετα στην ευθεία που την ενώνει με ένα σημείο P. Εάν η απόσταση από το σημείο P είναι 4 m, βρείτε την στροφορμή της γύρω από το σημείο P.

Λύση:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s