Ροπή αδράνειας σωματιδίων και άκαμπτων σωμάτων – προβλήματα και λύσεις

Η ροπή αδράνειας του σωματιδίου

1. Μια μπάλα 100 γραμμαρίων συνδεδεμένη στο ένα άκρο ενός κορδονιού μήκους 30 cm. Ποια είναι η ροπή αδράνειας της μπάλας ως προς τον άξονα περιστροφής ΑΒ; Αγνοήστε τη μάζα του κορδονιού.

Γνωστό:

Ο άξονας περιστροφής στο σημείο ΑΒ

Μάζα μπάλα (m) = 100 γραμμάρια = 100/1000 = 0.1 kg

Η απόσταση μεταξύ της σφαίρας και του άξονα περιστροφής (r) = 30 cm = 0.3 m

Καταζητούμενος: Ροπή αδράνειας της μπάλας (I)

Λύση:

Εγώ = κ.² = (0.1 κιλά)(0.3 μ)²

I = (0.1 kg)(0.09 m²)

I = 0.009 kg m²

2. Μια μπάλα 100 γραμμαρίων, m₁και μια μπάλα 200 γραμμαρίων, m₂, που συνδέονται με μια ράβδο μήκους 60 cm. Η μάζα της ράβδου αγνοείται. Ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο κέντρο της ράβδου. Ποια είναι η ροπή αδράνειας της μπάλας ως προς τον άξονα περιστροφής;

Γνωστό:

Μάζα μπάλας 1 (m₁) = 100 γραμμάρια = 100/1000 = 0.1 κιλά

Η απόσταση της μπάλας 1 και του άξονα περιστροφής (r₁) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Μάζα μπάλας (m₂) = 200 γραμμάρια = 200/1000 = 0.2 κιλά

The απόσταση της μπάλας 2 και του άξονα περιστροφής (r₂) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Ζητούνται: ροπή αδράνειας των σφαιρών

Απάντηση:

Ι = μ₁ r₁² + μ₂ r₂²

I = (0.1 kg)(0.3 m)² + (0.2 κιλά)(0.3 m)²

I = (0.1 kg)(0.09 μ.²) + (0.2 κιλά)(0.09 μ.²)

Ι = 0.009 κιλά m² + 0.018 κιλά m²

Ι = 0.027 κιλά m²

3. Μια μπάλα 200 γραμμαρίων, m₁ και μια μπάλα 100 γραμμαρίων, m_2, συνδεδεμένο με μια ράβδο μήκους 60 cm. Αγνοήστε τη μάζα της ράβδου. Ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο σφαιρικό m₂Ποια είναι η ροπή αδράνειας των σφαιρών; Αγνοήστε τη μάζα της ράβδου.

Γνωστό:

Μάζα μπάλας 1 (m₁) = 200 γραμμάρια = 200/1000 = 0.2 κιλά

Η απόσταση μεταξύ της μπάλας 1 και του άξονα περιστροφής (r₁) = 60 cm = 60/100 = 0.6 m

Μάζα μπάλας 2 (m₂) = 100 γραμμάρια = 100/1000 = 0.1 κιλά

Η απόσταση μεταξύ της μπάλας 2 και του άξονα περιστροφής (r₂) = 0 μ.

Ζητούνται: Ροπή αδράνειας των σφαιρών

Λύση:

Ι = μ₁ r₁² + μ₂ r₂²

I = (0.2 kg)(0,6 m)² + (0.2 κιλά)(0)²

I = (0.2 kg)(0.36 μ.²) + 0

I = 0.072 kg m²

4. Η μάζα κάθε μπάλας είναι 100 γραμμάρια, συνδεδεμένη με κορδόνι. Το μήκος του κορδονιού είναι 60 cm και το πλάτος του κορδονιού είναι 30 cm. Ποια είναι η ροπή αδράνειας της μπάλας ως προς τον άξονα περιστροφής; Αγνοήστε τη μάζα του κορδονιού;

Γνωστό:

Μάζα της μπάλας = m₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ = 100 γραμμάρια = 100/1000 = 0.1 κιλά

Η απόσταση μεταξύ της μπάλας και του άξονα περιστροφής (r₁) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Η απόσταση μεταξύ της μπάλας 2 και του άξονα περιστροφής (r₂) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Η απόσταση μεταξύ της μπάλας 3 και του άξονα περιστροφής (r₃) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Η απόσταση μεταξύ της μπάλας 4 και του άξονα περιστροφής (r₄) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Γνωστό: Στιγμή αδράνειας

Λύση:

Ι = μ₁ r₁² + μ₂ r₂² + μ₃ r₃² + μ₄ r₄²

I = (0.1 kg)(0.3 m)² + (0.1 κιλά)(0.3 m)² + (0.1 kg)(0.3 m)² + (0.1 kg)(0.3 m)²

I = (0.1 kg)(0.09 μ.²) + (0.1 kg)(0.09 m²) + (0.1 kg)(0.09 m²) + (0.1 kg)(0.09 m²)

I = 0.036 kg m²

Η ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου αντικειμένου

5. Ποια είναι η ροπή αδράνειας μιας ομοιογενούς ράβδου μήκους 2 kg και μήκους 2 m; Ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο κέντρο της ράβδου.

Γνωστό:

Μάζα ράβδου (M) = 2 kg

Το μήκος της ράβδου (L) = 2 m

Καταζητούμενος: Στιγμή αδράνειας

Λύση:

Ο τύπος της ροπής αδράνειας όταν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο κέντρο της μακράς ομοιόμορφης ράβδου:

I = (1/12) ΜΛ²

I = (1/12) (2 kg)(2 m)²

I = (1/12) (2 kg)(4 m²)

I = (1/12)(8 kg m²)

I = 8/12 kg m²

I = 2/3 kg m²

6. Ποια είναι η ροπή αδράνειας μιας ομοιογενούς ράβδου μήκους 2 kg και μήκους 2 m; Ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο ένα άκρο της ράβδου.

Γνωστό:

Μάζα ράβδου (M) = 2 kg

Το μήκος της άκαμπτης ράβδου (L) = 2 m

Καταζητούμενος: Στιγμή αδράνειας

Λύση:

Ο τύπος για τη ροπή αδράνειας όταν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο ένα άκρο της ράβδου:

I = (1/3) ΜΛ²

I = (1/3) (2 kg)(2 m)²

I = (1/3) (2 kg)(4 m²)

I = (1/3)(8 kg m²)

I = 8/3 kg m²

7. Ένας συμπαγής κύλινδρος 10 kg με ακτίνα 0.1 m. Ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο κέντρο του συμπαγούς κυλίνδρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ποια είναι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου;

Γνωστό:

Μάζα συμπαγούς κυλίνδρου (M) = 10 kg

Ακτίνα κυλίνδρου (L) = 0.1 m

Καταζητούμενος: Η ροπή αδράνειας

Καταζητούμενος: Η ροπή αδράνειας

Λύση:

Ο τύπος της ροπής αδράνειας όταν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο κέντρο του κυλίνδρου:

I = (1/2) MR²

I = (1/2) (10 kg)(0.1 m)²

I = (1/2) (10 kg)(0.01 m²)

I = (1/2)(0.1 kg m²)

I = 0.05 kg m²

8. Μια ομοιογενής σφαίρα 20 kg με μήκος 0.1 m. Ο άξονας περιστροφής που βρίσκεται στο κέντρο της σφαίρας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Γνωστό:

Μάζα σφαίρας (M) = 20 kg

Η ακτίνα της σφαίρας (L) = 0.1 m

Καταζητούμενος: μια στιγμή αδράνειας

Λύση:

Ο τύπος της ροπής αδράνειας όταν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο κέντρο της σφαίρας:

I = (2/5) MR²

I = (2/5)(20 kg)(0.1 m)²

I = (2/5)(20 kg)(0.01 m²)

I = (2/5)(0.2 kg m²)

I = 0.4/5 kg m²

I = 0.08 kg m²

9. Μια ορθογώνια λεπτή πλάκα 2 kg με μήκος 0.5 m και πλάτος 0.2 m. Ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο κέντρο της ορθογώνιας πλάκας που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ποια είναι η ροπή αδράνειας του ορθογωνίου;

Γνωστό:

Μάζα ορθογώνιας πλάκας (M) = 2 kg

Το μήκος της πλάκας (a) = 0.5 m

Το πλάτος της πλάκας (b) = 0.2 m

Ζητούνται: Στιγμή αδράνειας

Λύση:

Τύπος της ροπής αδράνειας όταν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο κέντρο της πλάκας:

Ι = (1/12) Μ (ένα² + β²)

Ι = (1/12)(2)(0.5² + 0.2²)

Ι = (2/12)(0.25 + 0.04)

Ι = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg m²