Υλικό του Νόμου του Αρχιμήδη
Έχετε δει ποτέ πλοίο; Αν δεν έχετε δει κάποιο από κοντά, ελπίζουμε να το έχετε δει στην τηλεόραση ή στο διαδίκτυο. Ένα πλοίο με πολύ μεγάλη μάζα δεν βυθίζεται, ενώ ένας μικρός, ελαφρύς βράχος μπορεί. Γιατί συμβαίνει αυτό; Η απάντηση είναι αρκετά απλή αν κατανοείτε τις έννοιες της άνωσης και την αρχή του Αρχιμήδη.
Στην καθημερινή ζωή, θα διαπιστώσουμε ότι τα αντικείμενα που τοποθετούνται σε ένα ρευστό, όπως ένας βράχος, έχουν μικρότερο βάρος από ό,τι όταν το αντικείμενο δεν βρίσκεται μέσα στο ρευστό. Μπορεί να δυσκολεύεστε να σηκώσετε έναν βράχο από την επιφάνεια του εδάφους, αλλά ο ίδιος βράχος ανυψώνεται εύκολα από τον πυθμένα της πισίνας. Αυτό οφείλεται στη δύναμη άνωσης. Η άνωση εμφανίζεται λόγω της διαφοράς στην πίεση του ρευστού σε διαφορετικά βάθη. Η πίεση του ρευστού αυξάνεται με το βάθος, όσο πιο βαθύ είναι το ρευστό, τόσο μεγαλύτερη είναι η πίεση του ρευστού. Όταν ένα αντικείμενο τοποθετείται σε ένα ρευστό, θα υπάρχει διαφορά πίεσης μεταξύ του ρευστού πάνω από το αντικείμενο και του ρευστού κάτω από το αντικείμενο. Το ρευστό που βρίσκεται στον πυθμένα του αντικειμένου έχει μεγαλύτερη πίεση από το ρευστό που βρίσκεται στην κορυφή του αντικειμένου.
Πλευστότητα
Στην εικόνα, ένα αντικείμενο φαίνεται να επιπλέει στο νερό. Το υγρό κάτω από το αντικείμενο έχει μεγαλύτερη πίεση από το υγρό πάνω από το αντικείμενο. Αυτό συμβαίνει επειδή το υγρό κάτω από το αντικείμενο έχει μεγαλύτερο βάθος από το υγρό πάνω από το αντικείμενο (h2 > ω1).
F2 = δύναμη που ασκείται από το ρευστό στον πυθμένα του αντικειμένου, F1 = δύναμη που ασκείται από το ρευστό στην κορυφή του αντικειμένου, A = επιφάνεια του αντικειμένου
Η διαφορά μεταξύ F2 και F1 είναι η συνολική δύναμη που ασκείται από το ρευστό στο αντικείμενο, την οποία γνωρίζουμε ως δύναμη άνωσης. Το μέγεθος της δύναμης άνωσης είναι:
F άνωση = F2 − F1
F άνωση = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F πλωτήρας = ρg A ( h2 − h1 )
F άνωση = ρ g A h
F άνωση = ρgV
Πληροφορίες:
ρ = πυκνότητα ρευστού
g = επιτάχυνση λόγω βαρύτητας
V = όγκος του αντικειμένου στο ρευστό
έτσι ώστε η εξίσωση που δηλώνει το μέγεθος της άνωσης (άνωση F) παραπάνω μπορεί να γραφτεί ως:
F πλωτήρας = ρ Fg V → m = ρV
F άνωση = m F g
F άνωση = w F
m F g = w F = βάρος ρευστού που έχει τον ίδιο όγκο με τον όγκο του βυθισμένου αντικειμένου.
Αρχή του Αρχιμήδη
Με βάση την παραπάνω εξίσωση, μπορούμε να πούμε ότι η άνωση είναι ίση με το βάρος του εκτοπισμένου ρευστού, ο όγκος του εκτοπισμένου ρευστού είναι ίσος με τον όγκο του αντικειμένου που βυθίζεται στο ρευστό.
Αν ένα αντικείμενο βυθιστεί σε ένα ρευστό και επιπλέει, με μόνο ένα μέρος του αντικειμένου βυθισμένο, τότε ο όγκος του εκτοπισμένου ρευστού ισούται με τον όγκο του μέρους του αντικειμένου που βυθίζεται στο ρευστό. Ανεξάρτητα από το σχήμα ή το μέγεθος του αντικειμένου, το ίδιο θα συμβεί σε όλα. Αυτό είναι το έργο του Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.), το οποίο είναι πλέον γνωστό ως Αρχή του Αρχιμήδη.
Η αρχή του Αρχιμήδη ορίζει ότι:
Όταν ένα αντικείμενο βυθίζεται πλήρως ή μερικώς σε ένα ρευστό, το ρευστό ασκεί μια ανοδική δύναμη (άνωση) στο αντικείμενο, όπου το μέγεθος της ανοδικής δύναμης (άνωση) είναι ίσο με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζεται.
Η ιστορία του Αρχιμήδη
Ο Αρχιμήδης, ο οποίος έζησε μεταξύ 287 και 212 π.Χ., ανέλαβε από τον βασιλιά Ιέρωνα Β' να διερευνήσει εάν το στέμμα που κατασκευάστηκε για τον βασιλιά ήταν φτιαγμένο από καθαρό χρυσό. Αρχικά, ο Αρχιμήδης μπερδεύτηκε σχετικά με το αν το στέμμα ήταν φτιαγμένο από καθαρό χρυσό ή αν περιείχε άλλα μέταλλα. Το πρόβλημα ήταν ότι το στέμμα είχε ακανόνιστο σχήμα και δεν μπορούσε να καταστραφεί για να διαπιστωθεί εάν ήταν καθαρός χρυσός.
Η ιδέα πίσω από τον προσδιορισμό του κατά πόσον ένα βασιλικό στέμμα είναι κατασκευασμένο από καθαρό χρυσό είναι να προσδιοριστεί πρώτα το ειδικό βάρος του στέμματος και στη συνέχεια να συγκριθεί με το ειδικό βάρος του χρυσού. Εάν το στέμμα είναι κατασκευασμένο από καθαρό χρυσό, τότε το ειδικό βάρος του στέμματος = το ειδικό βάρος του χρυσού.
Το ειδικό βάρος ενός αντικειμένου είναι ο λόγος του βάρους του αντικειμένου στον αέρα προς το βάρος του νερού με τον ίδιο όγκο με το αντικείμενο. Μαθηματικά, γράφεται:
Πώς να προσδιορίσετε το βάρος του νερού που έχει τον ίδιο όγκο με τον όγκο ενός αντικειμένου;
Σύμφωνα με τον Αρχιμήδη, το βάρος του νερού με τον ίδιο όγκο με τον όγκο του αντικειμένου = το μέγεθος της άνωσης όταν το αντικείμενο βυθίζεται (ολόκληρο το αντικείμενο βυθίζεται στο νερό). Αυτό είναι το ίδιο με το βάρος που χάνει το αντικείμενο όταν ζυγίζεται στο νερό. Έτσι:
Για να προσδιοριστεί το ειδικό βάρος της κορώνας, η κορώνα ζυγίζεται πρώτα στον αέρα (Βάρος της Κορώνας στον Αέρα). Στη συνέχεια, η κορώνα τοποθετείται σε νερό και ζυγίζεται ξανά για να υπολογιστεί το βάρος της χαμένης κορώνας. Έτσι:
Μόλις υπολογιστεί το ειδικό βάρος του στέμματος, συγκρίνεται με το ειδικό βάρος του χρυσού. Το ειδικό βάρος του χρυσού είναι 19,3. Εάν το ειδικό βάρος του στέμματος ισούται με το ειδικό βάρος του χρυσού, τότε το στέμμα είναι κατασκευασμένο από καθαρό χρυσό. Ωστόσο, εάν το στέμμα δεν είναι κατασκευασμένο από καθαρό χρυσό, τότε το ειδικό βάρος του στέμματος δεν θα είναι το ίδιο με το ειδικό βάρος του χρυσού.
Γιατί δεν βυθίζονται τα πλοία;
Αν η πυκνότητα ενός αντικειμένου είναι μικρότερη από την πυκνότητα του νερού, τότε το αντικείμενο θα επιπλεύσει. Αντίθετα, αν η πυκνότητα ενός αντικειμένου είναι μεγαλύτερη από την πυκνότητα του νερού, τότε το αντικείμενο θα βυθιστεί. Τα περισσότερα πλοία είναι κατασκευασμένα από σίδηρο και χάλυβα. Η πυκνότητα του σιδήρου και του χάλυβα = 7,8 x 103 kg /m3 , ενώ η πυκνότητα του νερού = 1,00 x 103 kg /m3 . Φαίνεται ότι η πυκνότητα του σιδήρου και του χάλυβα είναι μεγαλύτερη από την πυκνότητα του νερού. Σε αυτήν την περίπτωση, το ειδικό βάρος του σιδήρου και του χάλυβα = 7,8. Τα πλοία που είναι κατασκευασμένα από σίδηρο και χάλυβα θα έπρεπε να βυθίζονται. Γιατί τα πλοία δεν βυθίζονται; Η συνολική πυκνότητα του πλοίου είναι μικρότερη από την πυκνότητα του νερού ή του θαλασσινού νερού.
Παραδείγματα ερωτήσεων σχετικά με τον νόμο του Αρχιμήδη
Παράδειγμα ερώτησης 1:
Μια πέτρα 40 κιλών βρίσκεται στον πυθμένα μιας πισίνας. Αν ο όγκος της πέτρας = 0,2 m3 , ποια είναι η ελάχιστη δύναμη που απαιτείται για να ανυψωθεί η πέτρα;
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Μάζα πέτρας (m) = 40 Kg
Όγκος πέτρας (V) = 0,02 m3
Πυκνότητα νερού = 1000 Kg/ m3
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/ s²
Ερωτήθηκε: Ελάχιστο F
Απάντηση:
F άνωση = w F
F άνωση = m F g → m = pV
F άνωση = ρ F g V
F άνωση = (1000 kg/m3 ) (10 m/s2 ) (0,02 m3 )
F άνωση = 200 kg m/ s²
F άνωση = 200 N
Βάρος πέτρας (w) = mg
Βάρος πέτρας = (40 kg)(10 m/ s² )
Βάρος πέτρας = 400 kg m/ s²
Βάρος πέτρας = 400 N
Ελάχιστη δύναμη που απαιτείται για την ανύψωση μιας πέτρας:
Βάρος πέτρας – Δύναμη άνωσης = 400 N – 200 N = 200 Newton.
Παράδειγμα ερώτησης 2:
Το βάρος ενός αντικειμένου στον αέρα = 5000 kg m/s 2 και το βάρος του αντικειμένου στο νερό = 4000 kg m/s 2. Αν η πυκνότητα του αντικειμένου = 2000 kg/m 3 , ποια είναι η μάζα και ο όγκος του αντικειμένου; g = 10 m/s 2
Συζήτηση
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/ s²
Πυκνότητα αντικειμένου = 2000 kg/ m3
Πυκνότητα νερού = 1000 kg/ m3
Βάρος αντικειμένου στον αέρα = 5000 kg m/ s²
Βάρος αντικειμένου στο νερό = 4000 kg m/ s²
Δύναμη άνωσης (F άνωση) = Βάρος αντικειμένου στον αέρα – Βάρος αντικειμένου στο νερό
Πλευστότητα F = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F άνωση = 1000 kg m/ s²
F άνωση = Βάρος του εκτοπισμένου νερού
F άνωση = (μάζα νερού)(g)
F άνωση = (όγκος εκτοπισμένου νερού)(πυκνότητα νερού)(g)
Όγκος νερού που εκτοπίζεται = Όγκος αντικειμένου που βυθίζεται στο νερό 😉
Έτσι, ο όγκος του αντικειμένου = 0,1 m3
Μάζα αντικειμένου = ;
ρ = m / V
m = ρV
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
m = 200 κιλά
Μάζα αντικειμένου = 200 kg
Παράδειγμα ερώτησης 3:
Ποιος όγκος ηλίου χρειάζεται αν ένα μπαλόνι πρέπει να σηκώσει φορτίο 500 κιλών;
Συζήτηση
Πυκνότητα ηλίου = 0,1786 kg/ m3
Πυκνότητα αέρα = 1,293 kg/ m3
Δύναμη άνωσης = Βάρος του εκτοπισμένου αέρα = Βάρος του φορτίου + Βάρος του ηλίου
Δύναμη άνωσης = Βάρος φορτίου + βάρος ηλίου
Δύναμη άνωσης = (μάζα φορτίου)(g) + (μάζα ηλίου)(g)
Δύναμη άνωσης = (μάζα φορτίου + μάζα ηλίου)g —- εξίσωση 1
Δύναμη άνωσης = Βάρος του εκτοπισμένου αέρα
Δύναμη άνωσης = (μάζα εκτοπισμένου αέρα)(g) —- εξίσωση 2
Συνδυάζουμε την εξίσωση 1 και την εξίσωση 2:
(μάζα φορτίου + μάζα ηλίου)(g) = (μάζα εκτοπισμένου αέρα)(g)
μάζα φορτίου + μάζα ηλίου = μάζα αέρα που εκτοπίζεται
500 kg + (ρ ήλιο)(V ήλιο) = (ρ αέρας)(V αέρας)
500 kg = (ρ αέρας)(V αέρας) – (ρ ήλιο)(V ήλιο)
Όγκος αέρα που εκτοπίζεται (V αέρας) = Όγκος ηλίου που γεμίζει το μπαλόνι (V ήλιο)
500 kg = (ρ αέρας – ρ ήλιο)(V)
Αυτός είναι ο ελάχιστος όγκος ηλίου που απαιτείται για την ανύψωση ενός βάρους στην επιφάνεια της Γης. Για να μπορέσει το μπαλόνι να πετάξει ψηλότερα, ο όγκος του ηλίου πρέπει να αυξηθεί. Αυτό συμβαίνει επειδή η πυκνότητα του αέρα μειώνεται με το υψόμετρο.
