Παραδείγματα ερωτήσεων σχετικά με τον νόμο διατήρησης της μηχανικής ενέργειας

16 Παραδείγματα Ερωτήσεων σχετικά με τον Νόμο Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας

Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας σε κίνηση ελεύθερης πτώσης

1. Μια καρύδα με μάζα 2 kg πέφτει ελεύθερα από ύψος 6 μέτρων. Η κινητική ενέργεια της καρύδας όταν φτάσει στο έδαφος είναι… g = 10 m/s²
Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Μάζα καρύδας (m) = 2 kg
Ύψος (υ) = 6 μέτρα
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : κινητική ενέργεια (EK)
Jawab :

Αρχική μηχανική ενέργεια
Αν ένα αντικείμενο βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση, δεν έχει αρχική ταχύτητα. Επειδή δεν υπάρχει αρχική ταχύτητα, δεν υπάρχει αρχική κινητική ενέργεια. Αρχικά, το αντικείμενο βρίσκεται σε ύψος 6 μέτρων, άρα φυσικά, το αντικείμενο έχει αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια. Έτσι, η αρχική μηχανική ενέργεια (ΗΜ) είναι_o) είναι η βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP).
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(6) = 120 Joules

Τελική μηχανική ενέργεια
Όταν ένα αντικείμενο κινείται προς τα κάτω, το ύψος του μειώνεται, επομένως μειώνεται και η βαρυτική του δυναμική ενέργεια. Η βαρυτική δυναμική ενέργεια δεν χάνεται αλλά μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Όταν φτάσει στο έδαφος, το ύψος του αντικειμένου είναι το ίδιο με το ύψος του εδάφους (h = 0), επομένως η βαρυτική του δυναμική ενέργεια είναι μηδέν (h = 0, άρα EP = mgh = 0). Όλη η βαρυτική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Έτσι, η τελική μηχανική ενέργεια (EM) είναι_t) είναι η κινητική ενέργεια (EK).
EM_t = EK = ½ mv²

Νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας :
Αρχική μηχανική ενέργεια = τελική μηχανική ενέργεια
EM_o = ΕΜ_t
EP = EK
120 = EK
Η κινητική ενέργεια που έχει μια καρύδα όταν φτάσει στο έδαφος είναι 100 Joules.

2. Μια μπάλα με μάζα 2 κιλά ελεύθερη πτώση από τη θέση Α όπως φαίνεται στην εικόνα. (g = 10 ms^-2Όταν φτάνουμε στο σημείο Β, η κινητική ενέργεια είναι ίση με 2 φορές τη δυναμική ενέργεια, επομένως το ύψος του σημείου Β από το έδαφος είναι…

Α. 80 μ.
Β. 70 μ.
Γ. 60 μ.
Δ. 40 μ.
Α. 30 μ.

Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Μάζα της μπάλας (m) = 2 kg
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 ms^-2
Ύψος A (h)_A) = 90 μέτρα
Ερωτηθείς : Ύψος Β (υ)_B)
Jawab :

Ketika bola tiba di titik B, energi kinetik bola di titik B sama dengan 2 kali energi potensial gravitasi bola di titik B.
EK = 2 EP
½ mV² = 2 mgh_B
½ v² = 2 gh_B
v² = 2(2)(10) ώρες_B
v² = 40 ώρες_B
Χίτουνγκ κεσεπατάν (v) η μπάλα όταν φτάνει στο σημείο Β αφού πέσει από το σημείο Α.
v² = 2 gh = 2(10)(90–h_B) = 20(90–ώρες_B)
Αντικατάσταση v² στην παραπάνω εξίσωση με v² σε αυτήν την εξίσωση.
v² = 40 ώρες_B
20 (90–ώρες_B) = 40 ώρες_B
1800-20 h_B = 40 ώρες_B
1800 = 40 ώρες_B + 20 ώρες_B
1800 = 60 ώρες_B
h_B = 1800/60
h_B = 30 μέτρα
Η σωστή απάντηση είναι η Ε.

3. Ένα αντικείμενο με μάζα 1 kg πέφτει ελεύθερα από την κορυφή ενός πολυώροφου κτιρίου ύψους 80 μέτρων. Αν αγνοηθεί η τριβή με τον αέρα και η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας (g) είναι 10 m/s² Έτσι, η κινητική ενέργεια του αντικειμένου όταν φτάσει στην επιφάνεια του εδάφους είναι...
Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Μάζα (m) = 1 kg
Ύψος (υ) = 80 μέτρα
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : κινητική ενέργεια (EK) ενός αντικειμένου όταν το αντικείμενο φτάσει στην επιφάνεια του εδάφους
Jawab :
Τα αντικείμενα πέφτουν ελεύθερα, επομένως το αντικείμενο δεν έχει αρχική ταχύτητα. Έτσι, όταν βρίσκεται σε ύψος 80 μέτρων, το αντικείμενο έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια αλλά δεν έχει κινητική ενέργεια (v = 0, άρα EK = ½ mv² = 0). Άρα η αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = βαρυτική δυναμική ενέργεια (ΒΔ).

EM _o = EP = mgh = (1)(10)(80) = 800 Joules

Κατά την ελεύθερη πτώση, η βαρυτική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Όταν ένα αντικείμενο χτυπήσει το έδαφος, όλη η βαρυτική του δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Επομένως, όταν φτάσει στο έδαφος, το αντικείμενο έχει κινητική ενέργεια αλλά όχι βαρυτική δυναμική ενέργεια (h = 0, άρα EP = mgh = 0). Επομένως, η τελική μηχανική ενέργεια (EM _t ) = κινητική ενέργεια (EK)

Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ορίζει ότι η αρχική μηχανική ενέργεια είναι ίση με την τελική κινητική ενέργεια.
EM_o = ΕΜ_t
EP = EK
800 = EK
Η κινητική ενέργεια (EK) του αντικειμένου όταν φτάνει στο έδαφος είναι 800 Joules.

4. Ένα αντικείμενο πέφτει ελεύθερα από ύψος 10 μέτρων πάνω από το έδαφος. Εάν η μάζα του αντικειμένου είναι 4 kg και η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας (g) = 10 ms ^–2 , τότε η κινητική ενέργεια και η ταχύτητα του αντικειμένου σε ύψος 5 μέτρων πάνω από το έδαφος είναι…

Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Αλλαγή ύψους (h) = 10 – 5 = 5 μέτρα
Μάζα (m) = 4 kg
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : κινητική ενέργεια ενός αντικειμένου σε ύψος 5 μέτρων
Jawab :
(α) Κινητική ενέργεια ενός αντικειμένου σε ύψος 5 μέτρων
Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)
EM_o = EP = mgh = (4)(10)(5) = 200 Joules
Τελική μηχανική ενέργεια (ΗΜ)_t) = κινητική ενέργεια (EK)
EM_t = ΕΚ
Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ορίζει ότι η αρχική μηχανική ενέργεια είναι ίση με την τελική μηχανική ενέργεια.
EM_o = ΕΜ_t
200 = EK
Η κινητική ενέργεια ενός αντικειμένου σε ύψος 5 μέτρων από το έδαφος είναι 200 ​​Joules.

(β) Η ταχύτητα του αντικειμένου σε ύψος 5 μέτρων
Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = τελική μηχανική ενέργεια (EM)_t)
EP = EK
200 = ½ mV²
2(200) / 4 = v²
100 = v²
v = √100
v = 10 μέτρα/δευτερόλεπτο
Η ταχύτητα του αντικειμένου είναι 10 μέτρα/δευτερόλεπτο

5. Ένα φρούτο μάνγκο πέφτει ελεύθερα από ύψος 2 μέτρων. Αν g = 10 ms^-2, υπολογίστε την ταχύτητα του μάνγκο λίγο πριν χτυπήσει στο έδαφος χρησιμοποιώντας τον νόμο της μηχανικής ενέργειας.
Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Ύψος (υ) = 2 μέτρα
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : η ταχύτητα του μάνγκο λίγο πριν χτυπήσει στο έδαφος (v)
Jawab :
Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)
EM_o = EP = mgh = m (10)(2) = 20 m
Τελική μηχανική ενέργεια (ΗΜ)_t) = κινητική ενέργεια (EK)
EM_t = EK = ½ mv²
Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ορίζει ότι η αρχική μηχανική ενέργεια είναι ίση με την τελική μηχανική ενέργεια.
EM_o = ΕΜ_t
20 m = ½ mv²
20 = ½ v²
2(20) = v²
40 = v²
v = √40 = √(4)(10) = 2√10 μέτρα/δευτερόλεπτο
Η ταχύτητα του μάνγκο λίγο πριν χτυπήσει στο έδαφος είναι 2√10 μέτρα/δευτερόλεπτο.
Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στους υπολογισμούς μας, αγνοούμε την τριβή του αέρα. Στην πραγματικότητα, εάν οποιοδήποτε αντικείμενο πέσει ελεύθερα στην επιφάνεια της Γης, η τριβή του αέρα επηρεάζει επίσης την κίνησή του, με αποτέλεσμα μια ταχύτητα χαμηλότερη από τον παραπάνω υπολογισμό.

Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας σε κατακόρυφη κίνηση προς τα πάνω και προς τα κάτω

6. Ένα αντικείμενο με μάζα 1 kg εκτοξεύεται κάθετα προς τα κάτω με αρχική ταχύτητα 2 m/s από την άκρη ενός κτιρίου ύψους 40 μέτρων. Η κινητική ενέργεια του αντικειμένου όταν βρίσκεται σε ύψος 10 μέτρων πάνω από το έδαφος είναι… g = 10 m/s ²

Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Μάζα αντικειμένου (m) = 1 kg
Αρχική ταχύτητα (v_o) = 2 m/s
Αλλαγή υψομέτρου = 40 – 10 = 30 μέτρα
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : κινητική ενέργεια ενός αντικειμένου σε ύψος 10 μέτρων από την επιφάνεια του εδάφους
Jawab :

Αρχική μηχανική ενέργεια
Αρχικά, το αντικείμενο έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια και κινητική ενέργεια.
Αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP) = mgh = (1)(10)(30) = 300 Joules
Αρχική κινητική ενέργεια (EK) = ½ mv_o² = ½ (1)(2)² = ½ (4) = 2 Τζάουλ
Έτσι, η αρχική μηχανική ενέργεια = αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια + αρχική κινητική ενέργεια = 300 + 2 = 302 Joule.

Τελική μηχανική ενέργεια
Καθώς ένα αντικείμενο κινείται προς τα κάτω, το ύψος του μειώνεται, με αποτέλεσμα να μειώνεται η βαρυτική δυναμική του ενέργεια. Αυτή η βαρυτική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Αφού κινηθεί 30 μέτρα ή όταν το αντικείμενο βρίσκεται 10 μέτρα πάνω από το έδαφος, όλη η βαρυτική του δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια.
Έτσι, τελική μηχανική ενέργεια = τελική κινητική ενέργεια = αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια + αρχική κινητική ενέργεια = 300 + 2 = 302 Joule.

7. Ένα αντικείμενο με μάζα 1 kg εκτοξεύεται κάθετα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 10 m/s. Προσδιορίστε (α) τη βαρυτική δυναμική ενέργεια στο υψηλότερο σημείο (β) το υψηλότερο σημείο ή το μέγιστο ύψος που φτάνει το αντικείμενο… g = 10 m/s²
Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Μάζα αντικειμένου (m) = 1 kg
Αρχική ταχύτητα (v_o) = 10 m/s
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : βαρυτική δυναμική ενέργεια στο υψηλότερο σημείο και στο χαμηλότερο σημείο
Jawab :
(α) Βαρυτική δυναμική ενέργεια στο υψηλότερο σημείο
Αρχική μηχανική ενέργεια
Αρχικά το αντικείμενο έχει κινητική ενέργεια, αλλά δεν έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια. Αρχική μηχανική ενέργεια = αρχική κινητική ενέργεια (EK) = ½ mv_o² = ½ (1)(10)² = ½ (100) = 50 Τζάουλ.
 
Τελική μηχανική ενέργεια
Αφού κινηθεί κατακόρυφα προς τα πάνω, το ύψος του αντικειμένου αυξάνεται, αυξάνοντας έτσι την βαρυτική δυναμική του ενέργεια. Αυτή η βαρυτική δυναμική ενέργεια δεν προκύπτει αυθόρμητα, αλλά προέρχεται από την κινητική ενέργεια. Στο μέγιστο ύψος του ή στο υψηλότερο σημείο του, το αντικείμενο ακινητοποιείται για μια στιγμή πριν αλλάξει κατεύθυνση. Επειδή ακινητοποιείται για μια στιγμή, η ταχύτητά του είναι μηδέν, όπως και η κινητική του ενέργεια. Όλη η κινητική ενέργεια μετατρέπεται σε βαρυτική δυναμική ενέργεια.
Τελική μηχανική ενέργεια = βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)

Νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας:
Αρχική μηχανική ενέργεια = τελική μηχανική ενέργεια
ΕΚ = ΕΠ
50 = EP
Η βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι 50 Joules.

(β) Υψηλότερο σημείο ή μέγιστο ύψος
EP = mgh
50 = (1)(10) ώρες
50 = 10 ώρες
h = 50 / 10 = 5 μέτρα
Το υψηλότερο σημείο ή το μέγιστο ύψος που φτάνει ένα αντικείμενο είναι 5 μέτρα από την επιφάνεια του εδάφους.

 

Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας σε κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο

8. Από κατάσταση ηρεμίας, ένα μπλοκ ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου. Η ταχύτητα του μπλοκ όταν φτάνει στον πυθμένα του κεκλιμένου επιπέδου είναι… g = 10 m/s²
Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Ύψος (υ) = 8 μέτρα
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : η ταχύτητα (v) του μπλοκ όταν φτάνει στο κάτω μέρος του κεκλιμένου επιπέδου
Jawab :
Όταν βρίσκεται σε ύψος 8 μέτρων, το μπλοκ έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια αλλά όχι κινητική ενέργεια επειδή δεν έχει ακόμη κινηθεί. Επομένως, η αρχική μηχανική ενέργεια του μπλοκ είναι βαρυτική δυναμική ενέργεια.
Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)
EM_o = EP = mgh = m (10)(8) = 80 m
Καθώς το μπλοκ αρχίζει να κινείται προς τα κάτω, η βαρυτική δυναμική του ενέργεια αρχίζει να μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Όταν φτάσει στο κάτω μέρος της κλίσης, όλη η βαρυτική του δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Έτσι, η τελική μηχανική ενέργεια του μπλοκ είναι η κινητική ενέργεια.
Τελική μηχανική ενέργεια (ΗΜ)_t) = κινητική ενέργεια (EK)
EM_t = EK = ½ mv²
Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ορίζει ότι η αρχική μηχανική ενέργεια είναι ίση με την τελική μηχανική ενέργεια.
EM_o = ΕΜ_t
80 m = ½ mv²
80 = ½ v²
160 = v²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 m/s
Η ταχύτητα του μπλοκ στο κάτω μέρος του κεκλιμένου επιπέδου είναι 4√10 μέτρα/δευτερόλεπτο.

9. Ένα αντικείμενο με μάζα 1 kg, αρχικά σε ηρεμία, απελευθερώνεται από την κορυφή ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου μήκους 8 μέτρων. Προσδιορίστε την κινητική ενέργεια αφού το αντικείμενο ολισθήσει στο κεκλιμένο επίπεδο για 5 μέτρα…. (g = 10 m/s²)
Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Μάζα αντικειμένου (m) = 0,2 kg
Το μήκος της υποτείνουσας από την οποία διέρχεται το αντικείμενο = 5 μέτρα
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : κινητική ενέργεια (EK) ενός αντικειμένου μετά από ολίσθηση 5 μέτρων
Jawab :
Το πρώτο βήμα για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι να υπολογιστεί η μεταβολή στο ύψος του αντικειμένου αφού το αντικείμενο ολισθήσει σε κεκλιμένο επίπεδο για 5 μέτρα.
αμαρτία 30^o = μήκος της κάθετης πλευράς / μήκος της υποτείνουσας
0,5 = μήκος της κάθετης πλευράς / 5
Μήκος της κάθετης πλευράς = (0,5)(5) = 2,5 μέτρα
Η αλλαγή στο ύψος του αντικειμένου είναι 2,5 μέτρα.

Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(2,5) = 25 Joules
Τελική μηχανική ενέργεια (ΗΜ)_t) = κινητική ενέργεια (EK)
EM_t = ΕΚ
Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ορίζει ότι η αρχική μηχανική ενέργεια είναι ίση με την τελική μηχανική ενέργεια.
EM_o = ΕΜ_t
25 = EK
Η κινητική ενέργεια του αντικειμένου αφού ολισθήσει 5 μέτρα είναι 25 Joules.

 

Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας σε κίνηση σε καμπύλο επίπεδο

10. Ένα αντικείμενο με μάζα 1 kg ολισθαίνει χωρίς τριβή από ύψος 5 μέτρων χωρίς αρχική ταχύτητα. Η κινητική ενέργεια και η ταχύτητα του αντικειμένου στο χαμηλότερο σημείο είναι… g = 10 m/s²
Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Μάζα αντικειμένου (m) = 1 kg
Αλλαγή ύψους (h) = 5 μέτρα
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : κινητική ενέργεια (EK) και ταχύτητα (v) του αντικειμένου στο χαμηλότερο σημείο
Jawab :

(α) Κινητική ενέργεια του αντικειμένου στο χαμηλότερο σημείο
Όταν το αντικείμενο βρίσκεται σε ύψος 5 μέτρων και δεν έχει ακόμη αρχίσει να κινείται, έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια αλλά όχι κινητική ενέργεια επειδή βρίσκεται ακόμα σε ηρεμία. Έτσι, η αρχική μηχανική ενέργεια πριν το αντικείμενο αρχίσει να κινείται είναι βαρυτική δυναμική ενέργεια. Μόλις το αντικείμενο αρχίσει να κινείται προς τα κάτω, η βαρυτική δυναμική ενέργεια αρχίζει να μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Όταν φτάσει στο χαμηλότερο σημείο, όλη η βαρυτική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Έτσι, η τελική μηχανική ενέργεια είναι κινητική ενέργεια.
Αρχική μηχανική ενέργεια = βαρυτική δυναμική ενέργεια
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(5) = 50 Joules
Τελική μηχανική ενέργεια = κινητική ενέργεια
EM_t = EK = ½ mv_t²
Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ορίζει ότι η αρχική μηχανική ενέργεια είναι ίση με την τελική μηχανική ενέργεια..
EM_o = ΕΜ_t
EP = EK
50 = EK
Η κινητική ενέργεια (EK) στο χαμηλότερο σημείο είναι 50 Joules.

(β) Η ταχύτητα του αντικειμένου στο χαμηλότερο σημείο
Πρώτος τρόπος:
Νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας:
Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = τελική μηχανική ενέργεια (EM)_t)
Βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP) = κινητική ενέργεια (EK)
50 = ½ mV²
2(50) / m = v²
100 / 1 = v²
100 = v²
v = √100
v = 10 μέτρα/δευτερόλεπτο
 
Δεύτερος τρόπος:
Νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας :
Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = τελική μηχανική ενέργεια (EM)_t)
Βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP) = κινητική ενέργεια (EK)
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
2 gh = v²
2(10)(5) = v²
100 = v²
v = √100
v = 10 μέτρα/δευτερόλεπτο
Η ταχύτητα του αντικειμένου στο χαμηλότερο σημείο είναι 10 m/s.

11. Ένα αντικείμενο με μάζα 2 kg που αρχικά ακινητοποιείται, ολισθαίνει χωρίς τριβή από ύψος 10 μέτρων πάνω από το έδαφος. Η κινητική ενέργεια και η ταχύτητα του αντικειμένου σε ύψος 2 μέτρων πάνω από το έδαφος είναι… g = 10 m/s²
Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Μάζα αντικειμένου (m) = 2 kg
Αλλαγή ύψους (h) = 10 – 2 = 8 μέτρα
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : κινητική ενέργεια (EK) και ταχύτητα (v) του αντικειμένου σε ύψος 2 μέτρων πάνω από την επιφάνεια του εδάφους.
Jawab :
Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι παρόμοια με τη λύση στο προηγούμενο πρόβλημα.

(α) Κινητική ενέργεια ενός αντικειμένου σε ύψος 2 μέτρων
Αρχική μηχανική ενέργεια = βαρυτική δυναμική ενέργεια
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(8) = 160 Joules
Τελική μηχανική ενέργεια = κινητική ενέργεια
EM_t = EK = ½ mv_t²
Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ορίζει ότι η αρχική μηχανική ενέργεια είναι ίση με την τελική μηχανική ενέργεια..
EM_o = ΕΜ_t
EP = EK
160 = EK
Η κινητική ενέργεια (EK) σε ύψος 2 μέτρων είναι 160 Joules.

(β) Η ταχύτητα του αντικειμένου στο χαμηλότερο σημείο
Πρώτος τρόπος:
Νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας:
Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = τελική μηχανική ενέργεια (EM)_t)
Βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP) = κινητική ενέργεια (EK)
160 = ½ mV²
160 = ½ (2) v²
160 = v²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 μέτρα/δευτερόλεπτο

Δεύτερος τρόπος:
Νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας :
Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = τελική μηχανική ενέργεια (EM)_t)
Βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP) = κινητική ενέργεια (EK)
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
2 gh = v²
2(10)(8) = v²
160 = v²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 μέτρα/δευτερόλεπτο
Η ταχύτητα ενός αντικειμένου σε ύψος 2 μέτρων είναι 4√10 μέτρα/δευτερόλεπτο.

12. Το χειμώνα, στη Σουηδία, οι αγώνες πατινάζ στον πάγο διεξάγονται στα βουνά. Οι αθλητές του πατινάζ γλιστρούν από το ύψος Α όπως φαίνεται στην εικόνα 2.

Αν η αρχική ταχύτητα του σκιέρ = μηδέν και η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας = 10 ms ^-2 , τότε η ταχύτητα του σκιέρ στο ύψος Β είναι…

Α. √2 ms ^-1

Β. 5 √2 ms ^-1

Γ. 10 √2 ms ^-1

Δ. 20 √2 ms ^-1

Ε. 25 √2 ms ^-1

Συζήτηση

Είναι γνωστό ότι:

Αρχική ταχύτητα (v₂o ₎ = 0

Αρχικό ύψος (h _o ) = 50 m – 10 m = 40 m

Τελικό ύψος (ht ₎ = 0

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 ms ^-2

Ερώτηση: Τελική ταχύτητα (v _t )

Απάντηση:

Αλλαγή στην κινητική ενέργεια:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - v_o²) = 1/2 m (v_t² - 0) = 1/2 mV_t²

Αλλαγή στη δυναμική ενέργεια:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m

Υπολογίστε την τελική ταχύτητα (v _t ) χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον νόμο διατήρησης της μηχανικής ενέργειας:

0 = Δ EK + Δ EP

0 = 1/2 mv _t ² – 400 m

1/2 mv _t2 = 400 ^m

1/2 v _t ² = 400

v _t ² = 2(400)

v _t = √(400)(2)

v _t = 20√2 m/s

Η σωστή απάντηση είναι το Δ.

13. Μια μπάλα με μάζα 1 kg απελευθερώνεται και ολισθαίνει από τη θέση Α στη θέση C κατά μήκος μιας ομαλής καμπύλης διαδρομής όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Αν επιτάχυνση λόγω βαρύτητας = 10 ms^-2, τότε η κινητική ενέργεια (Ek) της μπάλας όταν βρίσκεται στο σημείο C είναι….

Α. 25,0 τζάουλ
Β. 22,5 joules
Περίπου 20,0 τζάουλ
Δ. 12,5 τζάουλ
E. 7,5 joules

Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Μάζα της μπάλας (m) = 1 kg
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Αλλαγή ύψους (h) = 0,75 m

Αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)_o) = mgh = (1)(10)(0,75) = 7,5 Joules
Αρχική κινητική ενέργεια (EK)_o) = ½ mV_o² = ½ m (0²) = 0
Τελική βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)_t) = mgh = mg (0) = 0
Ερώτηση: Κινητική ενέργεια (EK) της μπάλας όταν βρίσκεται στο σημείο C
Απάντηση:

Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ορίζει ότι η μηχανική ενέργεια της μπάλας στην αρχική της θέση είναι ίση με την τελική μηχανική της ενέργεια στην τελική της θέση. Σε αυτό το πρόβλημα, η αρχική θέση είναι η θέση της μπάλας πριν την απελευθέρωσή της και η τελική θέση είναι το σημείο C.

Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = Τελική μηχανική ενέργεια (ΗΜ)_t)
Αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)_o) + Αρχική κινητική ενέργεια (EK)_o) = Τελική βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)_t) + Τελική κινητική ενέργεια (EK)_t)
7,5 Joules + 0 = 0 + EK_t
7,5 Τζάουλ = EK_t
Η κινητική ενέργεια (EK) της μπάλας στο σημείο C είναι 7,5 Joules.
Η σωστή απάντηση είναι η Ε.

14. Η μπάλα Α με μάζα 2 kg απελευθερώνεται και κινείται κατά μήκος μιας ομαλής τροχιάς όπως φαίνεται στην εικόνα. Εάν η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 m/s^-2, η κινητική ενέργεια της μπάλας όταν στο Β είναι…

Α. 4 τζάουλ
Β. 8 joules
Περίπου 10 τζάουλ
Δ. 12 τζάουλ
E. 24 joules

Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Μάζα της μπάλας (m) = 2 kg
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Αλλαγή ύψους (h) = 120 cm = 1,2 μέτρα

Αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)_o) = mgh = (2)(10)(1,2) = 24 Joules
Αρχική κινητική ενέργεια (EK)_o) = ½ mV_o² = ½ m (0²) = 0
Τελική βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)_t) = mgh = mg (0) = 0
Ερώτηση: Η κινητική ενέργεια της μπάλας στο Β
Απάντηση:
Η μηχανική ενέργεια της μπάλας στο σημείο Α (αρχική μηχανική ενέργεια) είναι η ίδια με τη μηχανική ενέργεια της μπάλας στο σημείο Β (τελική μηχανική ενέργεια).

Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = Τελική μηχανική ενέργεια (ΗΜ)_t)
Αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)_o) + Αρχική κινητική ενέργεια (EK)_o) = Τελική βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP)_t) + Τελική κινητική ενέργεια (EK)_t)
24 Joules + 0 = 0 + EK_t
EK_t = 24 Τζάουλ
Η κινητική ενέργεια (EK) της μπάλας στο σημείο C είναι 24 Joules.
Η σωστή απάντηση είναι η Ε.

 

Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας σε παραβολική κίνηση

15. Μια μπάλα με μάζα 0,1 kg κλωτσιέται με ταχύτητα 10 m/s. Εάν η γωνία ανύψωσης είναι 30^o και η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 m/s² , προσδιορίστε (α) τη βαρυτική δυναμική ενέργεια της μπάλας στο υψηλότερο σημείο (β) το υψηλότερο σημείο ή το μέγιστο ύψος.
Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Μάζα της μπάλας (m) = 0,1 kg
Αρχική ταχύτητα (v_o) = 10 m/s
Γωνία ανύψωσης = 30^o
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Ερωτηθείς : κινητική ενέργεια (EK) της μπάλας στο υψηλότερο σημείο
Jawab :

(α) Βαρυτική δυναμική ενέργεια της μπάλας στο υψηλότερο σημείο
Η τροχιά της μπάλας είναι μια παραβολή όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.
Αρχικά, υπολογίστε την αρχική συνιστώσα της ταχύτητας στην οριζόντια κατεύθυνση (v_ox) και κάθετη (v_oy).
Εάν η παραβολική τροχιά κίνησης είναι όπως στην παραπάνω εικόνα, τότε η κίνηση στην οριζόντια ή οριζόντια κατεύθυνση αναλύεται ως εξής. ομοιόμορφη γραμμική κίνηση και η κίνηση στην κατακόρυφη κατεύθυνση αναλύεται ως κατακόρυφη κίνηση προς τα πάνωΣτην ομοιόμορφη γραμμική κίνηση, η ταχύτητα παραμένει σταθερή καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησης. Αντίθετα, στην ανοδική κατακόρυφη κίνηση, όταν το αντικείμενο φτάσει στο μέγιστο ύψος του ή στο υψηλότερο σημείο του, σταματά για μια στιγμή πριν αντιστρέψει την κατεύθυνση. Έτσι, στο υψηλότερο σημείο, η κατακόρυφη ταχύτητα του αντικειμένου είναι μηδέν, αλλά στο υψηλότερο σημείο, το αντικείμενο εξακολουθεί να έχει ταχύτητα v._ox.

Αρχική μηχανική ενέργεια
Όταν η μπάλα αρχίζει να κινείται, το ύψος της είναι το ίδιο με την επιφάνεια του δαπέδου ή του εδάφους (h = 0), επομένως η βαρυτική δυναμική της ενέργεια είναι μηδέν (h = 0, άρα EP = mgh = 0). Αντίθετα, όταν αρχίζει να κινείται, η μπάλα έχει μέγιστη αρχική ταχύτητα, άρα η κινητική της ενέργεια είναι μέγιστη. Επομένως, η αρχική μηχανική ενέργεια της μπάλας είναι κινητική ενέργεια.
Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = κινητική ενέργεια (EK)
EM_o = EK = ½ mv_o² = ½ (0,1)(10)² = ½ (0,1)(100) = ½ (10) = 5 Τζάουλ

Τελική μηχανική ενέργεια
Αφού αρχίσει να κινείται, το ύψος της μπάλας αυξάνεται, επομένως αυξάνεται και η βαρυτική δυναμική της ενέργεια. Όταν φτάσει στο μέγιστο ύψος της, η βαρυτική δυναμική της ενέργεια φτάνει στη μέγιστη τιμή της. Τι γίνεται με την κινητική ενέργεια της μπάλας; Στο υψηλότερο σημείο της, η κατακόρυφη ταχύτητα (voy) της μπάλας είναι μηδέν, αλλά εξακολουθεί να έχει οριζόντια ταχύτητα (vox).
Κινητική ενέργεια στο μέγιστο ύψος :
EK = ½ mv_ox² = ½ (0,1)(5√3)² = ½ (0,1)((25)(3)) = ½ (0,1)(75) = 3,75 Τζάουλ

Νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας:
Αρχική μηχανική ενέργεια (EM)_o) = τελική μηχανική ενέργεια (EM)_t)
ΕΚ = ΕΠ + ΕΚ
5 = EP + 3,75
EP = 5 – 3,75 = 1,25 Joules
Η βαρυτική δυναμική ενέργεια στο μέγιστο ύψος είναι 1,25 Joules.
 
(β) Υψηλότερο σημείο ή μέγιστο ύψος
EP = mgh
1,25 = (0,1)(10) ώρες
1,25 = ώρες
Το μέγιστο ύψος είναι 1,25 μέτρα.

16. Μια μπάλα με μάζα 0,1 kg εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα 10 m/s από την άκρη ενός κτιρίου ύψους 10 μέτρων. Εάν η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας σε αυτό το σημείο είναι 10 m/s², τότε η κινητική ενέργεια της μπάλας όταν φτάσει στο έδαφος είναι….
Συζήτηση
Είναι γνωστό :
Μάζα της μπάλας (m) = 0,1 kg
Αρχική ταχύτητα (v_o) = 10 m/s
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²
Αλλαγή ύψους (h) = 10 – 2 = 8 μέτρα
Ερωτηθείς : κινητική ενέργεια της μπάλας σε ύψος 2 μέτρων
Jawab :
Όταν η μπάλα έχει ύψος 10 μέτρα, έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια. Η μπάλα αρχίζει να κινείται αφού ριχθεί με αρχική ταχύτητα 10 m/s, επομένως έχει και κινητική ενέργεια. Έτσι, η αρχική μηχανική ενέργεια της μπάλας είναι βαρυτική δυναμική ενέργεια + κινητική ενέργεια.
Αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια (EP) = mgh = (0,1)(10)(10) = 10 Joules
Αρχική κινητική ενέργεια (EK) = ½ mv_o² = ½ (0,1)(10)² = ½ (0,1)(100) = ½ (10) = 5 Τζάουλ

Καθώς η μπάλα κινείται προς τα κάτω, το ύψος της μειώνεται, με αποτέλεσμα να μειώνεται η βαρυτική δυναμική της ενέργεια. Όταν φτάσει στο έδαφος, το ύψος της είναι το ίδιο με το ύψος του εδάφους (h = 0), επομένως η βαρυτική δυναμική της ενέργεια είναι μηδέν (h = 0, άρα EP = mgh = 0). Όλη η βαρυτική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια.
Τελική κινητική ενέργεια = αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια + αρχική κινητική ενέργεια = 10 + 5 = 15 Joules