Kinetische Gastheorie

Die kinetische Gastheorie besagt, dass jeder Stoff aus Atomen oder Molekülen besteht, die sich in ständiger, ungeordneter Bewegung befinden. Diese Annahme der kinetischen Theorie beschreibt die Beschaffenheit und die Bedingungen der Atome oder Moleküle in einem Gas. Die Anziehungskräfte zwischen den Atomen oder Molekülen sind sehr schwach, sodass sie sich frei bewegen können.

Bewegte Atome oder Moleküle besitzen eine Geschwindigkeit. Sie haben auch Masse. Aufgrund ihrer Masse (m) und Geschwindigkeit (v) besitzen sie kinetische Energie (ΔK) und Impuls (p). Kinetische Energie : ΔK = ½ mv² ^. Impuls : p = mv. Neben kinetischer Energie und Impuls wirkt auch eine Kraft (F). Bei freier Bewegung kommt es zwangsläufig zu Kollisionen. Die Kraft entsteht durch die Impulsänderung bei einer Kollision. Erinnern Sie sich noch einmal an die Ausführungen zu Impuls und Impulserhaltung. Kinetische Energie, Impuls und Impulskraft bilden den Kern unserer Betrachtungen im Bereich der Dynamik (Newtonsche Gesetze, Impuls und Impulserhaltung). Man kann sagen, dass die kinetische Gastheorie die Prinzipien der Dynamik auf der Ebene der Atome oder Moleküle anwendet, aus denen Gase bestehen.

Ideales Gaskonzept (basierend auf den makroskopischen Eigenschaften von Gasen)

In der Diskussion der Gasgesetze wurden drei Größen erläutert, die die makroskopischen Eigenschaften realer Gase beschreiben: Temperatur (T), Volumen (V) und Druck (P). Der Zusammenhang zwischen diesen drei Größen wird durch das Boyle-Mariotte-Gesetz, das Gesetz von Charles und das Gesetz von Gay-Lussac ausgedrückt. Es ist zu beachten, dass diese drei Gesetze nur für reale Gase mit relativ niedrigem Druck und geringer Dichte (Dichte = Masse / Volumen) gelten. Sie gelten außerdem nur für reale Gase, deren Temperatur nicht nahe an ihrem Siedepunkt liegt.

Das Boyle-Mariotte-Gesetz, das Gesetz von Charles und das Gesetz von Gay-Lussac gelten nicht für alle realen Gaszustände. Daher können wir ein ideales Gasmodell entwickeln. Ideale Gase existieren im Alltag nicht; sie sind lediglich perfekt geformte Körper, die wir bewusst für unsere Analyse konstruiert haben, ähnlich wie starre Körper und ideale Flüssigkeiten. Aus diesem Grund nehmen wir an, dass das Boyle-Mariotte-Gesetz, das Gesetz von Charles und das Gesetz von Gay-Lussac für alle idealen Gaszustände gelten. Die Existenz eines idealen Gasmodells hilft uns, die Beziehungen zwischen makroskopischen Gasgrößen zu untersuchen.

Das ideale Gasgesetz wird durch zwei Gleichungen ausgedrückt: PV = nRT (das ideale Gasgesetz in Mol) und PV = NkT (das ideale Gasgesetz in Molekülen). Wir gehen davon aus, dass ein ideales Gas beide Gleichungen erfüllt. Das heißt, das ideale Gasgesetz gilt für alle idealen Gase, sowohl bei sehr hohem Druck oder hoher Dichte als auch nahe dem Siedepunkt. Im Gegensatz dazu gilt das ideale Gasgesetz nicht für alle realen Gase. Es ist nur dann gültig, wenn Druck und Dichte nicht zu hoch sind und die Temperatur nicht nahe am Siedepunkt liegt. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass reale Gase nur dann ähnliche Eigenschaften wie ideale Gase aufweisen, wenn ihre Dichte und ihr Druck nicht zu hoch sind und ihre Temperatur nicht nahe am Siedepunkt liegt.

Das oben erläuterte Konzept des idealen Gases wurde aus makroskopischer Sicht betrachtet. Obwohl ein ideales Gas lediglich ein Idealmodell darstellt, wird es dennoch als ein Gas aus frei beweglichen Atomen oder Molekülen betrachtet. Daher ist es sinnvoll, das Konzept des idealen Gases auch aus mikroskopischer Perspektive zu erörtern.

Ideales Gaskonzept (basierend auf den mikroskopischen Eigenschaften von Gasen)

Nachfolgend eine kurze Beschreibung der mikroskopischen Bedingungen eines idealen Gases, basierend auf der kinetischen Gastheorie:

1. Ein ideales Gas besteht aus Teilchen, den sogenannten Molekülen. Die Anzahl der Moleküle ist sehr groß. Ein ideales Gasmolekül kann aus einem oder mehreren Atomen bestehen. Jedes Molekül hat eine Masse (m) und bewegt sich zufällig in alle Richtungen mit einer bestimmten Geschwindigkeit (v).

2. Der Abstand zwischen den Molekülen ist größer als der Durchmesser der Moleküle.

3. Diese Moleküle gehorchen den Bewegungsgesetzen und interagieren miteinander, wenn es zu Kollisionen kommt.

4. Kollisionen zwischen Molekülen oder zwischen Molekülen und den Wänden des Behälters sind vollkommen elastische Kollisionen, und jede Kollision erfolgt in sehr kurzer Zeit.

Bei einem vollkommen elastischen Stoß gilt das Gesetz der Energieerhaltung (Energie vor dem Stoß = Energie nach dem Stoß) und das Gesetz der Impulserhaltung (Impuls vor dem Stoß = Impuls nach dem Stoß).

Impuls- und Stoßbetrachtung zur kinetischen Gastheorie

Betrachten Sie den quantitativen Zusammenhang zwischen makroskopischen und mikroskopischen Größen von Gasen. Zu den Größen, die die makroskopischen Eigenschaften eines Gases beschreiben, gehören Temperatur (T), Volumen (V) und Druck (P). Die Größen, die die mikroskopischen Eigenschaften eines Gases beschreiben, sind hingegen Geschwindigkeit (v), Impuls (p), Kraft (F) und kinetische Energie (EK) der Atome oder Moleküle, aus denen das Gas besteht.

Um diese Beziehung herzuleiten, betrachten wir eine Anzahl von Gasteilchen in einem geschlossenen Behälter. Die Seitenlänge des Behälters beträgt l und seine Querschnittsfläche A.

Moleküle besitzen eine Masse (m) und eine Geschwindigkeit (v), wenn sie sich bewegen. Da der Behälter geschlossen ist, besteht die Möglichkeit von Kollisionen zwischen Molekülen und den Wänden des Behälters, die die Oberfläche A aufweisen.

Zur Vereinfachung der Analyse betrachten wir nur die Kollision an der linken Wand (der Wand parallel zur z-Achse). Zunächst betrachten wir die Kollision eines einzelnen Moleküls. Wir nennen es Molekül 1. Seine Masse ist m1 _und seine Geschwindigkeit v1 _. Die Bewegungsrichtung nach links ist negativ, die nach rechts positiv.

Wir können annehmen, dass sich das Molekül vor dem Auftreffen auf die Behälterwand parallel zur x-Achse und nach links bewegt. Daher existiert eine Geschwindigkeitskomponente entlang der x-Achse mit negativem Wert (‐v)._1x Weil es Masse hat (m₁) und Geschwindigkeit (-v_1x), dann hat das Molekül einen Impuls (p₁ = ‐m₁ v_1xDies ist der Anfangsimpuls. Beim Aufprall auf die Wand übt das Molekül eine Aktionskraft auf die Wand aus. Aufgrund dieser Aktionskraft übt die Wand eine Reaktionskraft aus. Diese Reaktionskraft bewirkt, dass das Molekül nach rechts abprallt. Da die Bewegungsrichtung nach rechts gerichtet ist, ist die Geschwindigkeitskomponente des Moleküls positiv (v)._1xDer Impuls des Moleküls nach dem Stoß beträgt: p₂ = m₁ v_1xDies ist der entscheidende Impuls.

Die Größe der Impulsänderung infolge des Stoßes beträgt:

Gesamtimpuls = Endimpuls – Anfangsimpuls

p gesamt = p ₂ – p ₁

p total = m ₁ v _1x ‒ (‒m ₁ v _1x )

p gesamt = 2m ₁ v _1x

2m ₁ v _1x = Gesamtimpuls bei einem einzelnen Stoß. Da Molekülstöße vollkommen elastisch sind, finden sie nicht nur einmal, sondern wiederholt statt. Bei vollkommen elastischen Stößen gelten die Gesetze der Energie- und Impulserhaltung. Energie und Impuls vor dem Stoß entsprechen Energie und Impuls nach dem Stoß. Daher bewegen sich die Moleküle unaufhörlich weiter (Energieerhaltung). Auch die Geschwindigkeit der Moleküle nimmt nicht ab (Impulserhaltung).

Nach dem Zusammenstoß mit der linken Wand bewegt sich das Molekül nach rechts, bis es mit der rechten Wand kollidiert. Anschließend bewegt es sich wieder nach links und kollidiert erneut mit der linken Wand. Da die Seitenlänge des Kastens l beträgt, legt das Molekül nach dem ersten Zusammenstoß mit der linken Wand eine Strecke von 2l zurück, bevor es ein zweites Mal mit ihr kollidiert (2l = Hin- und Rückweg). Für diese Strecke benötigt das Molekül ein bestimmtes Zeitintervall (nennen wir es Δt). Dieses Zeitintervall (Δt) lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken:

Delta t ist das Zeitintervall zwischen den einzelnen Kollisionen. Beim Aufprall auf die Wand übt das Molekül eine Aktionskraft auf diese aus. Da es eine Aktionskraft erfährt, übt die Wand eine Reaktionskraft aus. Diese Reaktionskraft bewirkt, dass sich das Molekül erneut nach rechts bewegt. Dabei ändert sich die Bewegungsrichtung des Moleküls. Anfänglich bewegt es sich nach links (-v₁x ₎ , nach dem Aufprall auf die Wand nach rechts (v₁x ₎ . Die Richtungsänderung führt zu einer Impulsänderung (Endimpuls - Anfangsimpuls = m₁v₁x - (-m₁v₁x) = 2m₁v₁x). Diese Impulsänderung ist auf die Gesamtkraft der Wand zurückzuführen. Die Größe dieser Gesamtkraft lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken:

Die obige Abbildung zeigt nur ein Molekül. Das bedeutet nicht, dass sich nur ein Gasmolekül in der Box befindet. Tatsächlich befinden sich dort viele Gasmoleküle. Die Stärke der Gesamtkraft, die auf alle Gasmoleküle in der Box wirkt, lässt sich mathematisch wie folgt berechnen:

F = F1 + F2 + F3 +… + Fn

F1 = Gesamtkraft für Molekül 1

F2 = Gesamtkraft für Molekül 2

F3 = Gesamtkraft für Molekül 3

… und so weiter

Fn = Gesamtkraft für Molekül 4

Da die Anzahl der Moleküle sehr groß ist, schreiben wir einfach das Symbol n. n = das letzte Molekül.

m₁ = Masse des ersten Moleküls, m₂ = Masse des zweiten Moleküls, m₃ = Masse des dritten Moleküls, mₙ = Masse des letzten Moleküls. m₁ + m₂ + m₃ + … + mₙ = m (Masse des Gases im Kasten). l = Seitenlänge des Kastens. Alle Moleküle müssen die gleiche Strecke l zurücklegen.

v _{_12x} = Geschwindigkeit von Molekül 1, v _{_22x} = Geschwindigkeit von Molekül 2, v _{_33x} = Geschwindigkeit von Molekül 3, v_{_n2x} = Geschwindigkeit des letzten Moleküls. Da sich die Geschwindigkeiten der einzelnen Moleküle unterscheiden, müssen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit aller Moleküle berechnen. Diese berechnet man, indem man die Gesamtgeschwindigkeit aller Moleküle durch die Anzahl der Moleküle teilt. In der kinetischen Gastheorie wird die Anzahl der Moleküle üblicherweise mit dem Symbol N bezeichnet. Mathematisch lässt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit aller Moleküle wie folgt darstellen:

In der vorherigen Erklärung wurde angenommen, dass sich die Moleküle parallel zur x-Achse bewegen. Diese Annahme diente lediglich der Vereinfachung der Analyse. Tatsächlich bewegen sich die Gasteilchen im Behälter nicht zufällig in alle Richtungen. Da ihre Bewegung zufällig erfolgt, besitzen die Moleküle neben einer mittleren Geschwindigkeitskomponente entlang der x-Achse auch eine mittlere Geschwindigkeitskomponente entlang der y- oder z-Achse. Die mittlere Geschwindigkeit der Gasteilchen entspricht somit der Summe der mittleren Geschwindigkeitskomponenten entlang der x-, y- und z-Achse. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

Da sich die Moleküle zufällig bewegen, haben die Geschwindigkeitskomponenten auf der x-Achse, der y-Achse und der z-Achse den gleichen Betrag. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

F = die Größe der Kraft, die von Gasteilchen auf die Wände eines Behälters mit der Oberfläche A ausgeübt wird.

Zusammenhang zwischen Druck (P) und mikroskopischen Größen

Der Druck (P) ist eine Größe, die die makroskopischen Eigenschaften eines Gases angibt. Betrachten wir den Druck jedoch anhand der mikroskopischen Eigenschaften des Gases. Die Größe des Drucks, den Gasteilchen auf eine Wand mit der Querschnittsfläche A ausüben, beträgt:

Information :

P = Druck

N = Anzahl der Gasteilchen

m = Masse

v = Durchschnittsgeschwindigkeit der Moleküle

V = Volumen des Behälters