Artikel über die Anwendungen des Bernoulli-Prinzips und der Bernoulli-Gleichung
Satz von Torricelli
Eine Anwendung der Bernoulli-Gleichung besteht darin, die Geschwindigkeit zu berechnen, mit der eine Flüssigkeit aus dem Boden eines Behälters austritt (siehe Abbildung).
Wir wenden die Bernoulli-Gleichung an Punkt 1 (Oberfläche des Behälters) und Punkt 2 (Oberfläche des Lochs) an. Da der Durchmesser des Lochs im Boden des Behälters viel kleiner ist als der Durchmesser des Behälters, wird die Geschwindigkeit der Flüssigkeit an der Oberfläche des Behälters als null angenommen (v₁ = 0). Die Oberfläche des Behälters und die Oberfläche des Lochs sind offen, sodass der Druck dem Atmosphärendruck entspricht (P₁ = P₂ ) . Die Bernoulli-Gleichung lautet daher für diesen Fall:
Um die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit im Loch am Boden des Behälters zu berechnen, ändert sich diese Gleichung wie folgt:
Da die Dichte der Flüssigkeit gleich ist, entfällt ρ.
Auf Grundlage dieser Gleichung ist die Fließgeschwindigkeit des Wassers in einem Loch, das von der Oberfläche des Behälters ausgeht, gleich der
Die Fließgeschwindigkeit von Wasser, das frei bis zur Höhe h fällt (vergleiche mit der freien Fallbewegung), ist bekannt als Satz von Torricelli. Dieser Satz wurde von Torricelli, einem Schüler Galileis, ein Jahrhundert vor Bernoullis Entdeckung der Gleichung ermittelt.
Venturi-Effekt
Neben dem Satz von Torricelli lässt sich die Bernoulli-Gleichung auch auf andere Spezialfälle anwenden, insbesondere wenn die Flüssigkeit in einem Rohrabschnitt mit nahezu gleicher Höhe strömt. Zur Veranschaulichung betrachten Sie bitte die folgende Abbildung.
In der obigen Abbildung ist ersichtlich, dass die Höhe des Rohres, sowohl der Teil des Rohres mit einer großen Querschnittsfläche als auch
Der Abschnitt des Rohrs mit dem kleinen Querschnitt ist nahezu gleich, sodass die Höhe gleich ist. Angewendet auf diesen Fall, ändert sich die Bernoulli-Gleichung zu:
Wenn die Flüssigkeit durch einen kleinen Rohrabschnitt (A₂) strömt , erhöht sich ihre Durchflussrate. Gemäß dem Bernoulli-Prinzip sinkt der Druck der Flüssigkeit bei steigender Strömungsgeschwindigkeit. Im verengten Rohrabschnitt ist der Druck niedriger, die Durchflussrate jedoch höher.
Dies ist der sogenannte Venturi-Effekt und zeigt quantitativ, dass bei hoher Durchflussrate der Flüssigkeitsdruck abnimmt. Umgekehrt nimmt der Flüssigkeitsdruck bei niedriger Durchflussrate zu.
Venturi-Meter
Eine interessante Anwendung des Venturi-Effekts ist das Venturi-Durchflussmessgerät. Dieses Gerät dient zur Messung der Durchflussrate einer Flüssigkeit, beispielsweise zur Berechnung des Durchflusses von Wasser oder Öl in einem Rohr. Es gibt zwei Arten von Venturi-Durchflussmessgeräten: solche ohne Manometer und solche mit einem Manometer, das andere Flüssigkeiten wie Quecksilber enthält. Das Funktionsprinzip ist jedoch dasselbe.
Venturi-Düsenrohr ohne Manometer
Die Abbildung unten zeigt ein Venturi-Düsenrohr, das zur Messung der Durchflussrate einer Flüssigkeit in einem Rohr verwendet wird.
Wenn die Flüssigkeit durch einen kleinen Rohrabschnitt (A₂) strömt , erhöht sich die Durchflussrate. Gemäß dem Bernoulli-Prinzip sinkt der Flüssigkeitsdruck bei steigender Durchflussrate. Daher ist der Flüssigkeitsdruck in einem großen Abschnitt höher als in einem kleinen (P₁ > P₂ ) . Stattdessen gilt v₂ > v₁.
Da P₁ > P₂ und v₂ > v₁ gilt , kann diese Gleichung wie folgt umgeformt werden:
Gleichung 1.
Die Kontinuitätsgleichung:
Gleichung 2.
Gesucht ist der Volumenstrom der Flüssigkeit in einem großen Querschnitt (v₁ ) . Wir ersetzen v₂ in Gleichung 1 durch v₂ in Gleichung 2.
Gleichung 3.
Zur Berechnung des Flüssigkeitsdrucks in einer bestimmten Tiefe verwendet man die folgende Gleichung:
p = ρ gh → Gleichung a
Ist der Unterschied in der Flüssigkeitsdichte minimal, kann man mit dieser Gleichung den Druckunterschied in verschiedenen Höhen bestimmen. Daher lässt sich die Gleichung a wie folgt umformen:
Δ p = ρ g Δh
Für den obigen Fall kann diese Gleichung wie folgt umgeformt werden:
p 1 − p 2 = ρ gh → Gleichung b
Nun ersetzen wir p 1 – p 2 in Gleichung 3 durch p 1 – p 2 in Gleichung b:
Da es sich um dieselbe Flüssigkeit handelt, ist auch ihre Dichte gleich. Eliminieren Sie ρ aus der Gleichung.
Pitot Tubes
Wird das Venturi-Rohr zur Messung des Durchflusses einer Flüssigkeit verwendet, dient das Pitot-Rohr zur Messung des Durchflusses von Gas oder Luft. Die Öffnung an Punkt 1 verläuft parallel zur Luftströmung. Die beiden Öffnungen sind so weit vom Ende des Pitot-Rohrs entfernt, dass Durchflussrate und Druck der Luft außerhalb der Öffnungen denen der frei strömenden Luft entsprechen. In diesem Fall ist v1 = die Durchflussrate der frei strömenden Luft (diese werden wir messen) und der Druck am linken Fuß des Manometers (linkes Rohr) = Druck der frei strömenden Luft (P1).
Die Öffnung am rechten Fuß des Manometers verläuft senkrecht zur Luftströmung. Daher nimmt die Luftdurchflussrate durch diese Öffnung (in der Mitte) ab und kommt zum Stillstand, sobald die Luft Punkt 2 erreicht. In diesem Fall ist v₂ = 0. Der Druck am rechten Fuß des Manometers entspricht dem Luftdruck an Punkt 2 (P₂ ) . Die Höhenunterschiede zwischen Punkt 1 und Punkt 2 sind nahezu gleich (sie sind gering) und können daher vernachlässigt werden.
Die Druckdifferenz (P₂ – P₁ ) entspricht dem hydrostatischen Druck der Flüssigkeit im Manometer (die schwarze Farbe im Manometer stellt die Flüssigkeit, Quecksilber, dar). Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:
p 2 – p 1 = ρ 'gh → Gleichung 2
ρ' = Dichte der Flüssigkeit in einem Manometer
Gleichung 1 und Gleichung 2. Das linke Segment ist gleich (P₂ – P₁ ) . Daher können die Gleichungen 1 und 2 wie folgt umgeformt werden:
Mit einer Pipette trinken
Haben Sie schon einmal mit einer Pipette getrunken? Wenn wir Wasser mit einer Pipette aufsaugen, beschleunigen wir die Luft in der Pipette. Dadurch ist die Luftgeschwindigkeit in der Pipette im Bereich unseres Mundes höher. Dies führt zu einem geringeren Luftdruck im Pipettenteil. Im Bereich der Pipette, der näher am Mund liegt, ist die Luftgeschwindigkeit geringer. Aufgrund der geringeren Geschwindigkeit ist der Druck dort höher. Dieser Druckunterschied bewirkt, dass das Wasser in unseren Mund fließt. Die Flüssigkeit bewegt sich dabei vom Bereich der Pipette mit dem höheren Luftdruck zum Bereich mit dem niedrigeren Luftdruck.
Kamin
Haben Sie schon einmal einen Schornstein gesehen? Warum kann Rauch durch den Schornstein nach oben steigen? Erstens hat der bei der Verbrennung entstehende Rauch eine hohe Temperatur. Aufgrund dieser hohen Temperatur ist die Luftdichte gering. Luft mit geringer Dichte steigt leichter auf. Der einzige Grund ist jedoch nicht dieser. Auch das Bernoulli-Prinzip spielt bei diesem Phänomen eine Rolle.
Zweitens besagt das Bernoulli-Prinzip, dass bei hoher Luftströmungsrate der Druck sinkt und umgekehrt. Die Schornsteinspitze befindet sich im Freien. Dort weht ein Wind, wodurch der Luftdruck um die Schornsteinspitze herum niedriger ist. In einem geschlossenen Raum herrscht Windstille, daher ist der Luftdruck höher. Folglich konnte der Rauch durch den Schornstein entweichen. Luft strömt von Orten mit hohem Luftdruck zu Orten mit niedrigem Luftdruck.
Rattenloch im Boden
Beachten Sie die Abbildung unten. Sie zeigt ein Mauseloch im Boden. Auch Mäuse kennen das Bernoulli-Prinzip. Um nicht an Atemnot zu ersticken, graben sie zwei Löcher in unterschiedlichen Höhen. Durch den Höhenunterschied im Boden verwirbelt die Luft. Das ist vergleichbar mit Wasser, das von einem Rohr mit großem Durchmesser in ein Rohr mit kleinem Durchmesser fließt. Dadurch erhöht sich die Luftgeschwindigkeit und der Luftdruck sinkt.
Aufgrund des Luftdruckunterschieds wird die Luft durch das Mauseloch gepresst. Luft strömt von einem Ort mit hohem Luftdruck zu einem Ort mit niedrigem Luftdruck.
Flugzeugflügel und dynamischer Auftrieb
Ein Faktor, der Flugzeuge fliegen lässt, sind ihre Tragflächen. Die Tragfläche ist gekrümmt, und der vordere Teil ist dicker als der hintere. Diese Tragflächenform wird als Tragflügelprofil bezeichnet. Dieses Prinzip wurde von Vogelflügeln übernommen. Auch Vogelflügel weisen eine ähnliche Form auf (gekrümmt, mit einem dickeren vorderen Teil). Der Unterschied besteht darin, dass Vögel mit den Flügeln schlagen können, Flugzeugtragflächen hingegen nicht. Vögel können fliegen, weil sie mit den Flügeln schlagen und so einen Luftstrom über beide Seiten der Tragfläche erzeugen. Damit Luft über beide Seiten der Flugzeugtragfläche strömen kann, muss das Flugzeug vorwärts bewegt werden. Menschen nutzen Maschinen, um Flugzeuge zu bewegen.
Die Flügelvorderseite ist nach oben gebogen. Die von unten strömende Luft vermischt sich mit der Luft an der Oberseite. Das ist vergleichbar mit Wasser, das von einem Rohr mit großem Querschnitt in ein Rohr mit kleinem Querschnitt fließt. Dadurch erhöht sich die Luftgeschwindigkeit über dem Flügel. Denn mit zunehmender Luftgeschwindigkeit sinkt der Luftdruck. Umgekehrt ist die Luftgeschwindigkeit unter dem Flügel geringer, da die Luft dort weniger verwirbelt wird (der Luftdruck ist höher). Dieser Druckunterschied erzeugt den Auftrieb des Flugzeugflügels.
Das Bernoulli-Prinzip ist nur einer der Faktoren. Ein weiterer Faktor ist der Impuls. Normalerweise ist der Flugzeugflügel leicht nach oben geneigt. Die Luft, die auf die Unterseite des Flügels trifft, wird nach unten abgelenkt. Da das Flugzeug zwei Flügel hat, einen links und einen rechts, kollidiert die nach unten abgelenkte Luft miteinander. Die dadurch entstehenden Änderungen des Molekularimpulses erzeugen zusätzlichen Auftrieb.
Da die Flügelform zum Heck hin abwärts gebogen ist, wird die Luft durch den Flügel wieder nach unten gelenkt. Gemäß Newtons drittem Gesetz wirkt auf jede Kraft eine Gegenkraft. Da die Flügel die Luft nach unten drücken, muss die Luft die Flügel nach oben drücken. In diesem Fall erzeugt die Luft Auftrieb am Flügel. Der Auftrieb des Flugzeugs beruht also nicht allein auf dem Bernoulli-Prinzip.
