Die kinetische Gastheorie besagt, dass jeder Stoff aus Atomen oder Molekülen besteht und dass sich diese Atome oder Moleküle kontinuierlich und unbeweglich bewegen. Diese Annahme der kinetischen Theorie entspricht der Situation und dem Zustand der Atome oder Moleküle in einem Gas. Die Anziehungskräfte zwischen den Atomen oder Molekülen eines Gases sind schwach, sodass sich diese frei bewegen können.
Bewegte Atome oder Moleküle besitzen eine Geschwindigkeit. Sie haben auch Masse. Aufgrund ihrer Masse (m) und Geschwindigkeit (v) besitzen sie kinetische Energie (KE) und Impuls (p). Kinetische Energie: KE = ½ mv² . Impuls: p = m v. Neben kinetischer Energie und Impuls wirkt auch eine Kraft (F). Bei freier Bewegung kommt es zwangsläufig zu Kollisionen. Die Kraft erhöht sich aufgrund der Impulsänderung bei einer Kollision. Kinetische Energie, Impuls und Stoßkräfte bilden den Kern unserer Betrachtung der Dynamik (Bewegungsgesetze, Impuls und Impulserhaltung). Die kinetische Gastheorie beschreibt die Dynamik auf atomarer oder molekularer Ebene.
Ideales Gaskonzept (basierend auf makroskopischen Eigenschaften von Gasen)
In der Diskussion der Gasgesetze wurden drei Größen erläutert, die die makroskopischen Eigenschaften realer Gase beschreiben: Temperatur (T), Volumen (V) und Druck (P). Der Zusammenhang zwischen diesen drei Größen wird im Boyle-Mariotte-Gesetz, im Gesetz von Charles und im Gesetz von Gay-Lussac beschrieben. Diese drei Gesetze gelten nur für reale Gase mit einem nicht zu hohen Druck und einer nicht zu hohen Dichte (Dichte = Masse/Volumen). Außerdem gelten sie nur für reale Gase, deren Temperatur nicht nahe am Siedepunkt liegt.
Das Boyle-Mariotte-Gesetz, das Gesetz von Charles und das Gesetz von Gay-Lussac gelten nicht für alle realen Gaszustände, weshalb wir ein ideales Gasmodell entwickeln können. Ideale Gase existieren im Alltag nicht; sie stellen lediglich eine ideale, für unsere Analysen konstruierte Form dar, ähnlich wie ideale starre und flüssige Körper. Daher gehen wir davon aus, dass das Boyle-Mariotte-Gesetz, das Gesetz von Charles und das Gesetz von Gay-Lussac für alle idealen Gaszustände gelten. Die Existenz eines idealen Gasmodells hilft uns, die Beziehungen zwischen makroskopischen Gasgrößen zu untersuchen.
Das ideale Gasgesetz wird durch zwei Gleichungen ausgedrückt: PV = nRT (ideales Gasgesetz in Mol) und PV = NkT (ideales Gasgesetz in Molekülen). Wir gehen davon aus, dass ein ideales Gas diese beiden Gleichungen erfüllt. Das heißt, das ideale Gasgesetz gilt für alle idealen Gasbedingungen, unabhängig davon, ob der Druck oder die Masse des idealen Gases sehr groß ist oder sich die Temperatur dem Siedepunkt nähert. Im Gegensatz dazu gilt das ideale Gasgesetz nicht für alle realen Gase. Es gilt nur, wenn Druck und Dichte des realen Gases nicht zu groß sind und die Temperatur nicht nahe am Siedepunkt liegt. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass reale Gase nur dann ähnliche Eigenschaften wie ideale Gase aufweisen, wenn ihre Dichte, Dichte und Temperatur nicht zu groß sind.
und der Gasdruck nicht zu hoch ist und die tatsächliche Gastemperatur nicht nahe am Siedepunkt liegt.
Das oben beschriebene Konzept des idealen Gases wird anhand makroskopischer Eigenschaften betrachtet. Obwohl ein ideales Gas lediglich ein Idealmodell darstellt, besteht es dennoch aus frei beweglichen Atomen oder Molekülen. Daher wäre es sinnvoll, das Konzept des idealen Gases auch aus mikroskopischer Sicht zu erörtern.
Ideales Gaskonzept (basierend auf mikroskopischen Eigenschaften von Gasen)
Nachfolgend einige kurze Beschreibungen der mikroskopischen Bedingungen des idealen Gases, die auf der kinetischen Gastheorie basieren:
1. Ein ideales Gas besteht aus Teilchen, den sogenannten Molekülen. Die Moleküle eines idealen Gases können aus einem oder mehreren Atomen bestehen. Jedes Molekül hat eine Masse (m) und bewegt sich zufällig in jede Richtung mit einer bestimmten Geschwindigkeit (v).
2. Der Abstand zwischen den einzelnen Molekülen ist größer als der Durchmesser der einzelnen Moleküle.
3. Diese Moleküle gehorchen den Bewegungsgesetzen und interagieren miteinander, wenn es zu Kollisionen kommt.
4. Kollisionen zwischen Molekülen und Molekülen oder zwischen Molekülen mit einer Behälterwand sind perfekte Kollisionen, und jede Kollision erfolgt in einer kurzen Zeitspanne.
Bei einem perfekten Stoß gilt das Gesetz der Energieerhaltung (Energie vor dem Stoß = Energie nach dem Stoß) und das Gesetz der Impulserhaltung (Impuls vor dem Stoß = Impuls nach dem Stoß).
Die Überprüfung der Impuls-Kollisions-Theorie für die kinetische Gastheorie
Betrachten Sie den quantitativen Zusammenhang zwischen den makroskopischen und mikroskopischen Größen eines Gases. Zu den Größen, die die makroskopischen Eigenschaften eines Gases beschreiben, gehören Temperatur (T), Volumen (V) und Druck (P). Die mikroskopischen Eigenschaften eines Gases beschreiben hingegen die Geschwindigkeit (v), der Impuls (p), die Kraft (F) und die kinetische Energie (EK) der Atome oder Moleküle, aus denen das Gas besteht.
Wir betrachten einige Gasmoleküle in einem geschlossenen Behälter. Die Seitenlänge des Behälters beträgt l und die Querschnittsfläche A.
Moleküle besitzen eine Masse (m) und eine Geschwindigkeit (v), wenn sie sich bewegen. Da der Behälter geschlossen ist, besteht die Möglichkeit von Kollisionen zwischen Molekülen und der Wand des Behälters mit der Oberfläche A.
Zur Vereinfachung der Analyse betrachten wir nur die Kollisionen an der linken Wand (der Wand parallel zur z-Achse). Zunächst untersuchen wir die Kollisionen eines einzelnen Moleküls. Wir nennen es Molekül 1. Seine Molekülmasse beträgt m₁ und seine Bewegungsgeschwindigkeit v₁. Die Bewegungsrichtung nach links ist negativ, die nach rechts positiv.
Wir können annehmen, dass die Molekularbewegung vor dem Aufprall auf die Behälterwand parallel zur x-Achse und nach links gerichtet ist. Daher existiert eine negative Geschwindigkeitskomponente (-v) entlang der x-Achse.1xWeil es Masse hat (m1) und Geschwindigkeit (-v1x), das Molekül besitzt Impuls (p1 = -m1 v1xDies ist der Anfangsimpuls. Beim Aufprall auf eine Wand übt das Molekül eine Aktionskraft auf die Wand aus. Aufgrund dieser Aktionskraft wirkt die Wand als Reaktionskraft. Diese Reaktionskraft bewirkt, dass das Molekül nach rechts abgelenkt wird. Aufgrund der Bewegungsrichtung nach rechts ist die Geschwindigkeitskomponente des Moleküls positiv (v).1xDer Molekülimpuls nach dem Stoß beträgt p.2 = m1 v1xDies ist der letzte Moment.
Die Größe der Impulsänderung aufgrund von Stößen beträgt:
Gesamtimpuls = Endimpuls – Anfangsimpuls
p gesamt = p 2 – p 1
p total = m 1 v 1x – (-m 1 v 1x )
p gesamt = 2m 1 v 1x
2m 1 v 1x = Gesamtimpuls für einen Stoß. Da Molekülstöße ideale Stöße sind, finden sie nicht nur einmal, sondern wiederholt statt. Bei einem idealen Stoß gelten der Energieerhaltungssatz und der Impulserhaltungssatz. Energie und Impuls vor dem Stoß entsprechen Energie und Impuls nach dem Stoß. Daher bewegt sich das Molekül unaufhörlich (unbegrenzte Energie). Auch die Molekülgeschwindigkeit nimmt nicht ab (kontinuierlicher Impuls).
Nach dem Aufprall auf die linke Wand bewegt sich das Molekül nach rechts, bis es auf die rechte Wand trifft. Nach dem Aufprall auf die rechte Wand bewegt es sich wieder nach links und trifft erneut auf die linke Wand. Da die Seitenlänge des Kastens l beträgt, legt das Molekül nach dem ersten Aufprall auf die linke Wand eine Strecke von 2l zurück, bevor es ein zweites Mal auf die linke Wand trifft. Um diese Strecke von 2l zurückzulegen, benötigt das Molekül ein bestimmtes Zeitintervall ( Δt ). Die Länge dieses Zeitintervalls ( Δt ), das das Molekül für die Strecke von 2l benötigt, lässt sich mathematisch berechnen:
Δt ist das Zeitintervall zwischen den einzelnen Kollisionen. Beim Aufprall auf eine Wand übt das Molekül eine Aktionskraft auf die Wand aus. Aufgrund dieser Aktionskraft wirkt von der Wand eine Reaktionskraft. Diese Reaktionskraft bewirkt, dass sich das Molekül erneut nach rechts bewegt. Dabei ändert sich die Bewegungsrichtung des Moleküls. Zunächst bewegt sich das Molekül nach links (-v₁x), nach dem Aufprall auf die Wand nach rechts (v₁x ) . Die Änderung der Bewegungsrichtung führt zu einer Änderung des Impulses (Endimpuls – Anfangsimpuls = m₁v₁x – ( -m₁v₁x ) = 2m₁v₁x ). Man kann sagen , dass die Impulsänderung durch die von der Wand ausgeübte Gesamtkraft verursacht wird. Die Größe der von der Wand ausgeübten Gesamtkraft lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken :
Im obigen Kasten wird nur ein Molekül beschrieben. Das bedeutet nicht, dass sich nur ein Gasmolekül im Kasten befindet. Tatsächlich befinden sich dort viele Gasmoleküle. Die Gesamtkraft für alle Gasmoleküle im Kasten, mathematisch ausgedrückt:
F = F₁ + F₂ + F₃ + … + Fₙ
F 1 = Gesamtkraft für Molekül 1
F 2 = Gesamtkraft für Molekül 2
F 3 = Gesamtkraft für Molekül 3
… und so weiter
F n = Gesamtkraft für Moleküle 4
n = das letzte Molekül.
m1 = Molekülmasse 1, m2 = Molekülmasse 2, m3 = Molekülmasse 3, mn = Masse des letzten Moleküls. m1 +m2 +m3 + … + mn = m (die Masse des Gases im Kasten). l = Seitenlänge des Kastens.
v <sub>12x</sub> = Geschwindigkeit des Moleküls 1, v <sub>22x</sub> = Geschwindigkeit des Moleküls 2, v <sub>33x</sub> = Geschwindigkeit des Moleküls 3, v<sub> n2x</sub> = Geschwindigkeit des letzten Moleküls. Da die Geschwindigkeit jedes Moleküls variiert, müssen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit aller Moleküle berechnen. Um die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Moleküls zu berechnen, können wir die Geschwindigkeit aller Moleküle durch die Anzahl der Moleküle teilen. In der kinetischen Gastheorie wird die Anzahl der Moleküle üblicherweise mit dem Symbol N bezeichnet. Mathematisch lässt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit aller Moleküle wie folgt darstellen:
Wir kombinieren die Gleichung b mit der Gleichung a:
F = Kraft, m = Masse der Gase, l = Seitenlänge des Kastens, N = Anzahl der Moleküle.
In der vorherigen Erklärung wurde angenommen, dass sich die Moleküle parallel zur x-Achse bewegen. Diese Annahme dient der Vereinfachung unserer Analyse. In Wirklichkeit bewegen sich die Gasteilchen in einem Behälter nicht zufällig in irgendeine Richtung. Da die Bewegung zufällig erfolgt, besitzt das Molekül neben einer mittleren Geschwindigkeitskomponente entlang der x-Achse auch eine mittlere Geschwindigkeitskomponente entlang der y- oder z-Achse. Die mittlere Geschwindigkeit eines Gasteilchens entspricht somit der Summe der Komponenten der mittleren Geschwindigkeit entlang der x-, y- und z-Achse. Mathematisch ausgedrückt:
Da sich die Moleküle zufällig bewegen, haben die Geschwindigkeitskomponenten entlang der x-, y- und z-Achse denselben Betrag. Mathematisch ausgedrückt:
Wir kombinieren Gleichung 2 mit Gleichung 1 :
Wir kombinieren die Gleichung 3 mit der Gleichung n c :
F = die Kraft, die von den Gasteilchen auf die Wand des Behälters ausgeübt wird, der eine Oberfläche von A hat.
Die Beziehung zwischen Druck (P) und mikroskopischer Größe
Der Druck (P) ist eine Größe, die die makroskopischen Eigenschaften eines Gases beschreibt. Betrachten wir den Druck anhand der mikroskopischen Eigenschaften des Gases. Der Druck, den ein Gasmolekül auf eine Wand mit der Querschnittsfläche A ausübt, beträgt:
P = Druck, N = Anzahl der Gasteilchen, m = Masse, v = mittlere Geschwindigkeit eines Moleküls, V = Volumen des Behälters
