Artikel über das Gleichgewicht eines starren Körpers
1. Erste Bedingung
Das zweite Newtonsche Gesetz besagt, dass, wenn die resultierende Kraft auf einen Körper (ein Körper, der als einzelnes Teilchen betrachtet wird) nicht null ist,
Dann bewegt sich der Körper mit konstanter Beschleunigung, wobei die Bewegungsrichtung der Richtung der resultierenden Kraft entspricht. Ist die resultierende Kraft null, befindet sich der Körper in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.
ΣF = ma
Befindet sich ein Objekt in Ruhe oder bewegt es sich mit konstanter Geschwindigkeit, so erfährt es keine Beschleunigung (a). Da die Beschleunigung (a) = 0 ist, vereinfacht sich die obige Gleichung zu:
ΣF = 0
Diese Gleichung kann in ihre Komponenten auf der x-Achse, der y-Achse und der z-Achse zerlegt werden.
ΣFx = 0 (1)
ΣFy = 0 (2)
ΣFz = 0 (3)
Wirken die Kräfte horizontal, verwenden wir Gleichung 1. Wirken sie nur vertikal, verwenden wir Gleichung 2. Wirken die Kräfte in einer Ebene (zweidimensional), verwenden wir Gleichung 1 und Gleichung 2. Wirken sie hingegen im Raum (dreidimensional), verwenden wir die Gleichungen 1, 2 und 3.
Kraft ist eine vektorielle Größe; sie besitzt Betrag und Richtung. Bezogen auf kartesische Koordinaten (x, y, z) und gemäß der Vereinbarung gilt:
Wirkt die Kraft in Richtung der negativen x-Achse (nach links) oder in Richtung der negativen y-Achse (nach unten), so ist sie negativ. Wirkt die Kraft hingegen in Richtung der positiven x-Achse (nach rechts) oder in Richtung der positiven y-Achse (nach oben), so ist sie positiv.
Beispiel 1.
F = Zugkraft, fg = Reibungskraft, N = normale Kraftw = Gewicht, m = Masse, g = Erdbeschleunigung. Der Körper befindet sich in Ruhe, da die Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte gleich null ist.
Überprüfen Sie jede auf das Objekt wirkende Kraft.
Die in horizontaler Richtung (x-Achse) wirkende Kraft:
ΣFx = 0
F – fg = 0
F = fg
Die Zugkraft (F) und die Reibungskraft (f<sub> fr</sub> ) sind betragsmäßig gleich, wirken aber in entgegengesetzte Richtungen. Die Zugkraft zeigt nach rechts bzw. zur positiven x-Achse (positiver Wert), die Reibungskraft hingegen nach links bzw. zur negativen x-Achse (negativer Wert). Da beide Kräfte gleich groß sind (erkennbar an der Pfeillänge) und entgegengesetzt gerichtet wirken, ist ihr Betrag null.
Die auf die vertikale Komponente (y-Achse) wirkende Kraft:
ΣF y = 0
N – w = 0
N – mg = 0
N = mg
In der vertikalen Komponente (y-Achse) wirken die Gewichtskraft (w) und die Normalkraft (N). Die Gewichtskraft wirkt senkrecht zum Erdmittelpunkt bzw. in Richtung der negativen y-Achse (negativer Wert), während die Normalkraft in Richtung der y-Achse wirkt (positiver Wert). Beide Kräfte sind betragsmäßig gleich, aber entgegengesetzt gerichtet und heben sich daher gegenseitig auf.
Der Gegenstand im obigen Beispiel befindet sich in Ruhe, weil die Gesamtkraft bzw. die Summe aller auf den Gegenstand wirkenden Kräfte, sowohl auf der horizontalen als auch auf der vertikalen Achse, gleich null ist.
Beispiel 2.
Gewichtskraft und Normalkraft, die auf diesen Körper wirken, sind nicht eingezeichnet, da sie sich gegenseitig aufheben. Auf beiden Seiten des Körpers wirkt die Kraft F, wie abgebildet. Beide Kräfte sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Bleiben die Körper in Ruhe?
Um Ihnen das zu verdeutlichen, legen Sie ein Buch auf den Tisch. Anfangs befand sich das Buch in Ruhe, da die resultierende Kraft, die auf das Buch wirkte, null war.
Als Nächstes üben Sie, wie in der Abbildung gezeigt, Kraft auf beide Seiten des Buches aus. Dies entspricht einer Drehung des Buches. Die Drehung wird durch das Drehmoment der Kraft F bewirkt. Die Drehachse befindet sich in der Mitte des Buches. Unter der Annahme, dass keine Reibungskraft wirkt, entspricht das resultierende Drehmoment der Summe der Drehmomente der beiden Kräfte F.
Die Drehrichtung des Objekts ist im Uhrzeigersinn, sodass die beiden Momente der Kräfte negativ sind (sich also nicht gegenseitig aufheben).
2. Zweite Bedingung
Aus dem obigen Beispiel 2 lässt sich schließen, dass sich ein Objekt dreht, wenn das resultierende Kraftmoment nicht null ist (das Objekt wird als starres Objekt betrachtet).
Στ = I α
Damit sich Objekte nicht drehen, muss das resultierende Drehmoment null sein. Befindet sich ein Objekt in Ruhe (dreht es sich nicht), erfährt es keine Winkelbeschleunigung. Da die Winkelbeschleunigung null ist, vereinfacht sich die obige Gleichung zu:
Στ = 0
