Beugung an einem Einzelspalt – Probleme und Lösungen
1. Licht der Wellenlänge 500 nm fällt durch einen 0.2 mm breiten Spalt. Das Beugungsmuster wird auf einem 60 cm entfernten Schirm aufgezeichnet. Bestimmen Sie den Abstand zwischen dem zentralen Maximum und dem zweiten Minimum.
Bekannt:
λ = 500 nm = 500 × 10⁻⁹ m = 5 × 10⁻⁷ m
d = 0.2 mm = 0.2 × 10⁻³ m = 2 × 10⁻⁴ m
l = 60 cm = 0.6 m
n = 2
Gesucht : y?
Lösung:
Die Spaltbreite ist im Vergleich zum Abstand zwischen Spalt und Schirm minimal, sodass der Winkel minimal ist (die Spaltbreite in der obigen Abbildung ist vergrößert). Der Winkel ist so klein, dass sin θ ≈ tan θ gilt.
sin θ ≈ tan θ = y / l = y / 0.6
Gleichung für die Brechung durch einen Einzelspalt (min ima ) :
d sin θ = n λ
(2 x 10 -4 )(y/0,6) = (2)(5 x 10 -7 )
(2 x 10 -4 ) y = (0.6)(10 x 10 -7 )
(2 x 10 -4 ) y = 6 x 10 -7
y = (6 x 10 -7 ) / (2 x 10 -4 )
y = 3 x 10 -3
y = 0.003 m
y = 3 mm
2. Monochromatisches Licht mit einer Wellenlänge von 5000 Å (1 Å = 10⁻¹⁰ m ) tritt durch einen Einzelspalt und erzeugt ein Beugungsmuster mit dem ersten Maximum (siehe Abbildung). Bestimmen Sie die Spaltbreite.
Bekannt:
λ = 5000 Å = 5000 x 10⁻¹⁰ m = 5 x 10⁻⁷ m
sin 30 ° = 0,5
n = 1
Gesucht: Schlitzbreite (d)?
Lösung:
d sin θ = n λ
d (0.5) = (1)(5 x 10 -7 )
d = (5 x 10 -7 ) / (0.5)
d = 10 x 10 -7 m
d = 1 x 10 -6 m
d = 1 x 10 -3 mm
d = 0.001mm
Beugung bezeichnet das Phänomen, bei dem sich Wellen ausbreiten, wenn sie auf ein Hindernis treffen oder durch eine Öffnung treten. Wenn monochromatisches Licht (Licht einer einzigen Wellenlänge) durch einen Einzelspalt fällt, breitet es sich nicht geradlinig aus, sondern breitet sich aus und erzeugt ein Beugungsmuster auf einem hinter dem Spalt befindlichen Schirm.
Bei einem Einzelspalt besteht das Hauptmerkmal des Beugungsmusters aus einem zentralen hellen Maximum, das beidseitig von einer Reihe abwechselnd dunkler und heller Streifen (Minima und Maxima) flankiert wird. So lässt sich das Beugungsmuster eines Einzelspalts verstehen und beschreiben:
- ZentralmaximumDer zentrale helle Streifen ist am intensivsten und breitesten. Die Intensität nimmt mit zunehmender Entfernung vom zentralen Maximum ab.
- MinimaDie dunklen Ränder oder Minima treten unter bestimmten Winkeln auf ,war so dass: sin(�) = �� wo:
- ,war ist die Breite des Schlitzes.
- ,war ist die Wellenlänge des Lichts.
- ,war ist eine ganze Zahl, wobei Null ausgeschlossen ist (d. h. ±1, ±2, ±3, …).
- MaximaZwischen diesen Minima befinden sich sekundäre Maxima, die jedoch weniger hell sind als das zentrale Maximum und deren Intensität mit zunehmender Entfernung vom Zentrum abnimmt.
- Breiter Spalt vs. schmaler SpaltDie Breite des zentralen Maximums ist umgekehrt proportional zur Spaltbreite. Das heißt, ein schmalerer Spalt erzeugt ein breiteres zentrales Maximum und umgekehrt.
- Längere Wellenlänge vs. Längere Wellenlänge / Kürzere WellenlängeDie Winkelpositionen der Minima und Maxima hängen von der Wellenlänge ab. Längere Wellenlängen erzeugen im Vergleich zu kürzeren Wellenlängen stärker gestreute Muster.
- Vergleich mit dem DoppelspaltDas Beugungsmuster eines Einzelspalts unterscheidet sich vom Interferenzmuster eines Doppelspalts, obwohl beide Phänomene verwandt sind. Bei einem Doppelspalt sieht man ein Interferenzmuster aus vielen hellen und dunklen Streifen. Sind die Spalte jedoch breit genug, erzeugt jeder Spalt zusätzlich sein eigenes Beugungsmuster. Dies führt zu einem Einhüllendeneffekt, bei dem sich die Intensität der Interferenzstreifen aufgrund der Beugung am Einzelspalt ändert.
Die mathematische Beschreibung der Einzelspaltbeugung basiert auf dem Huygensschen Prinzip, welches besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Quelle sekundärer sphärischer Wellen betrachtet werden kann, die sich in Vorwärtsrichtung ausbreiten. Durch Integration der Wirkung all dieser Wellen lässt sich das Beugungsmuster ableiten.
In praktischen Anwendungen und Laboren kann die Beobachtung von Einzelspaltbeugungsmustern genutzt werden, um bei gegebenen anderen Parametern die Wellenlänge des Lichts oder die Größe des Spalts zu bestimmen.
