Effektive Gasgeschwindigkeit

In der Erdatmosphäre gibt es kein freies Helium und keinen freien Wasserstoff. Sie besteht hauptsächlich aus Stickstoff (78 %), Sauerstoff (21 %), Argon (0,9 %), Kohlendioxid usw. Die Venusatmosphäre besteht fast vollständig aus Kohlendioxid (CO₂ ₎ . Jupiters Atmosphäre enthält viel freies Helium und Wasserstoff. Der Mond besitzt keine Atmosphäre. Warum ist die Atmosphäre jedes Planeten so unterschiedlich? Warum gibt es in der Erdatmosphäre kein freies Helium und keinen freien Wasserstoff?

Quadratischer Mittelwert der Geschwindigkeit

Die mittlere quadratische Geschwindigkeit (v_{rms  )} lässt sich herleiten , indem man die Gleichungen für Temperatur und kinetische Energie in translatorische Gleichungen umwandelt.

Information :

v _{_rms} = Effektivwert der Geschwindigkeit (m/s)

k = Boltzmann-Konstante n (k = 1,38 x 10 ^‐23 J/K)

T = Absolute Temperatur (K = Kelvin)

m = Masse (kg)

Information :

v_rms = Effektivwert der Geschwindigkeit (m/s)

R = Universelle Gaskonstante (R = 8,315 J/mol.K = 8315 kJ/kmol.K)

NA = Anzahl der Moleküle pro Mol = Avogadro-Konstante (NA = 6,02 x 10²³ ^/ mol = 6,02 x ^10²⁶ /kmol)

T = Temperatur (K)

M = Molekülmasse = molare Masse (kg/kmol oder Gramm/mol)

Die oben hergeleitete mittlere quadratische Geschwindigkeit (v_rms) ist die Durchschnittsgeschwindigkeit der Moleküle in einem Gas. Einige Moleküle weisen Geschwindigkeiten auf, die größer als v_rms sind, andere hingegen kleiner. Im Jahr 1859 entdeckte James Clerk Maxwell (1831–1879) theoretisch die Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten in einem Gas. Maxwells Geschwindigkeitsverteilung basiert auf der kinetischen Gastheorie und ist daher für ideale Gasmoleküle genauer. Die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung ist in der folgenden Grafik dargestellt.

Im Jahr 1920 führten mehrere Wissenschaftler Experimente durch, um die Geschwindigkeitsverteilung realer Gasteilchen zu untersuchen. Es stellte sich heraus, dass die experimentell ermittelte Geschwindigkeitsverteilung exakt mit Maxwells Ergebnissen übereinstimmte.

Bei ausreichend hoher Gasdichte stimmt die experimentell ermittelte Geschwindigkeitsverteilung realer Gasteilchen nicht mit der von Maxwell hergeleiteten theoretischen Geschwindigkeitsverteilung überein. Daher ist Maxwells Verteilung, die auf der kinetischen Gastheorie unter Anwendung der Newtonschen Mechanik basiert, begrenzt. Die Geschwindigkeitsverteilung von Gasteilchen bei hohen Dichten lässt sich durch quantenmechanische Prinzipien erklären.

Die im Experiment ermittelte Verteilung der Anzahl realer Gasteilchen sieht wie in der folgenden Abbildung aus.

Diese Abbildung zeigt die Geschwindigkeitsverteilung realer Gasteilchen bei zwei verschiedenen Temperaturen. Die in diesem Experiment ermittelte Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle entspricht der oben genannten Gleichung für v_rms (v_rms ist direkt proportional zur Temperatur). Da v_rms direkt proportional zur Temperatur ist, steigt v_rms mit zunehmender Temperatur (T) an.₂Die molekulare Geschwindigkeitsverteilungskurve verschiebt sich weiter nach rechts (v_rms wird größer). Die Aktivierungsenergie (EA) ist die minimale kinetische Energie, die für das Stattfinden einer chemischen Reaktion erforderlich ist.

Aus der obigen Grafik geht hervor, dass mit steigender Temperatur mehr Moleküle eine kinetische Energie besitzen, die größer ist als die Aktivierungsenergie (EA). Daher verläuft die chemische Reaktion umso schneller, je höher die Temperatur ist. Je höher die Temperatur, desto größer ist die kinetische Energie der Moleküle. Aufgrund ihrer hohen kinetischen Energie können die Moleküle bei Kollisionen aneinander haften bleiben.

Beispielfrage 1:

Bestimmen Sie den mittleren quadratischen Geschwindigkeitswert (rms v) eines Stickstoffmoleküls (N ₂ ) in Luft bei einer Temperatur von 20 ^o C (Molekularmasse von Stickstoff = 28 Gramm/mol = 28 kg/kmol).

Diskussion

k = 1,38 x ^10⁻²³ J/K = 1,38 x ^10⁻²³ (kg m² ^/ s² ⁾ /K

T = 20 ^° C + 273 = 293 K

Molmasse oder Molekülmasse von N₂ ₍ M) = 2 x 14 u = 2 x 14 Gramm/mol = 28 Gramm/mol = 28 kg/kmol (Atommasse von N = 14 u, siehe Periodensystem der Elemente)

Anzahl der Moleküle/mol = Avogadro-Konstante (NA) = 6,02 × ^10²³ /mol = 6,02 × ^10²⁶ /kmol

Masse des Stickstoffs (m) = ?

Stickstoff-Effektivwert (v_rms) = ?

 

Beispielfrage 2:

Bestimmen Sie das mittlere quadratische Volumen von Helium (He) in Luft bei einer Temperatur von 20 ^° C…. (Molekularmasse von Helium = 4 Gramm/mol = 4 kg/kmol)

Diskussion

k = 1,38 x 10 ^‐23 J/K

T = 20 ^° C + 273 = 293 K

Molare Masse/Molekülmasse von He (M) = 4 u = 4 Gramm/mol = 4 kg/kmol (Atommasse von He = 4 u. siehe Periodensystem der Elemente)

Anzahl der Moleküle/mol = Avogadro-Konstante (NA) = 6,02 × ^10²³ /mol = 6,02 × ^10²⁶ /kmol

Masse He (m) = ?

Effektivwert der He-Rate (v_rms) = ?

Beispielfrage 3:

Bestimmen Sie das mittlere quadratische Volumen (rms v) von Wasserstoff (H₂ ₎ in Luft bei einer Temperatur von 20 ^° C…. (Molekularmasse von Wasserstoff = 2 g/mol = 4 kg/kmol)

Diskussion

k = 1,38 x 10 ^‐23 J/K

T = 20 ^° C + 273 = 293 K

Molmasse/M Molekülmasse von Wasserstoff (M) = 2 x 1 u = 2 u = 2 Gramm/mol = 2 kg/kmol (Atommasse von H = 1 u. siehe Periodensystem der Elemente)

Anzahl der Moleküle/mol = Avogadro-Konstante (NA) = 6,02 × 10²³ ^/ mol = 6,02 × ^10²⁶ /kmol

Masse von H₂ ₍ m) = ?

Effektivwert der H₂-Konzentration ₍ v_rms) = ?

Beispielfrage 4:

Bestimmen Sie die mittlere quadratische Änderungsrate der Sauerstoffmoleküle (O₂ ₎ in Luft bei einer Temperatur von 20 ^° C. (Molekularmasse von O₂ ₌ 32 Gramm/mol = 44 kg/kmol)

Diskussion

k = 1,38 x 10 ^‐23 J/K

T = 20 ^° C + 273 = 293 K

Molare Masse/Molekülmasse von Sauerstoff (M) = 2 x 16 u = 32 u = 32 Gramm/mol = 32 kg/kmol (Atommasse O = 16 u. siehe Periodensystem der Elemente)

Anzahl der Moleküle/mol = Avogadro-Konstante (NA) = 6,02 × ^10²³ /mol = 6,02 × ^10²⁶ /kmol

Masse von O₂ ₍ m) = ?

Effektivwert der H₂-Konzentration ₍ v_rms) = ?

Beispielfrage 5:

Bestimmen Sie die mittlere quadratische Änderungsrate der Kohlendioxidmoleküle ( _CO₂ ) in Luft bei einer Temperatur von 20 ^° C. (Molekularmasse von CO₂ ₌ 44 Gramm/mol = 44 kg/kmol)

Diskussion

k = 1,38 x 10⁻²³ ^J /K = 1,38 x ^10⁻²³ (kg m² ^/ s² ⁾ /K

T = 30 ^° C + 273 = 293 K

Molmasse/Molekülmasse von CO₂ ₍ M) = 12 u + (2 x 16 u) = 12 u + 32 u = 44 u = 44 g/mol = 44 kg/kmol (Atommasse C = 12 u, Atommasse O = 16 u. Siehe Periodensystem der Elemente)

Anzahl der Moleküle/mol = Avogadro-Konstante (NA ₎ = 6,02 × ^10²³ /mol = 6,02 × ^10²⁶ /kmol

Masse von CO₂ ₍ m) = ?

_{CO₂ -} Effektivwert (v_rms) = ?

Effektivwerte der Spannung einiger Gasarten

Vergleichen wir nun die Effektivwerte der Geschwindigkeit verschiedener Gase:

v_rms Wasserstoff (H _₂ ) = 1917 m/s = 1,92 km/s (bei einer Temperatur von 20 ^° C)

v_rms Helium (He) = 1355,7 m/s = 1,36 km/s (bei einer Temperatur von 20 ^° C)

v_rms Stickstoff (N _₂ ) = 510,75 m/s = 0,51 km/s (bei einer Temperatur von 20 ^° C)

v_rms Sauerstoff (O _₂ ) = 478,4 m/s = 0,48 km/s (bei einer Temperatur von 20 ^° C)

v_rms Kohlendioxid (CO _₂ ) = 407,6 m/s = 0,41 km/s (bei einer Temperatur von 20 ^° C)

Wasserstoff weist die höchste mittlere quadratische Geschwindigkeit auf, Kohlendioxid die niedrigste. Vergleichen Sie dies nun mit der Fluchtgeschwindigkeit an der Erdoberfläche (Fluchtgeschwindigkeit = 11,2 km/s). Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit, die ein Objekt benötigt, um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen.

Wenn die mittlere quadratische Geschwindigkeit (v_rms) der Gasteilchen nur 1/6 der Fluchtgeschwindigkeit beträgt (1/6 × 11,2 km/s = 1,86 km/s), dann gibt es eine beträchtliche Anzahl von Gasteilchen, deren Geschwindigkeit größer als die Fluchtgeschwindigkeit ist (siehe die oben erläuterte Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten). Bei einer Temperatur von 20 ^° C beträgt die mittlere quadratische Geschwindigkeit von Wasserstoffgas 1,92 km/s (> 1,86 km/s). Die mittlere quadratische Geschwindigkeit von Heliumgas beträgt bei derselben Temperatur ^1,36 km/h (nahe 1,86 km/s ⁾.

Je höher die Temperatur, desto höher der Effektivwert. Je höher der Effektivwert, desto größer die Wahrscheinlichkeit, dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen. Dies ist der Grund, warum freies Helium und Wasserstoff in der Erdatmosphäre nicht vorkommen.

Die Fluchtgeschwindigkeit eines Planeten und die mittlere quadratische Geschwindigkeit der Gasteilchen bestimmen die Art der Atmosphäre eines Planeten oder Mondes. Die Fluchtgeschwindigkeit der Venus beträgt 10,3 km/s. Die mittlere quadratische Geschwindigkeit von CO₂ _ist so gering, dass es kaum aus der Venusatmosphäre entweichen kann. Jupiters Fluchtgeschwindigkeit hingegen beträgt 60 km/s, was aufgrund seines großen Durchmessers sehr hoch ist. Daher können Wasserstoff und Helium dem Gravitationsfeld Jupiters nicht entkommen.