Projektil bevægelse

Artikel om projektilbevægelse og eksempelproblemer med løsninger

Starthastighed (v_o) og komponenterne af starthastigheden (v_ox og v_oy)

Et objekt, hvis parabolske bevægelser altid har en starthastighed. Fordi parabolsk bevægelse er en kombination af bevægelser i vandret og lodret retning, har starthastigheden også vandrette og lodrette komponenter.

Hvis objektet bevæger sig parabolsk som i figur 1 og 3 , beregnes starthastigheden i vandret retning (v _ox ) og starthastigheden i lodret retning (v _{oy ) ved hjælp af ligningen:}

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Hvis objektet bevæger sig parabolsk som figur 2, så er v _o = v _ox (v _oy = 0)

Hastighed (v_x og v_y) og position (x og y)

Hastigheden i vandret og lodret retning i et bestemt tidsinterval beregnes ved hjælp af ligningen:

v _x = v _ox = konstant ( jævn lineær bevægelse )

v _y = v _oy + gt eller v _y ² = v _oy ² + 2 gh (fritfaldsbevægelse)

Objekternes position i den vandrette (x) og lodrette (y) retning ved et bestemt tidsinterval beregnes ved hjælp af ligningen:

x = v _ox t

y = v _oyt + 1⁄2 ^gt²

Resultant af hastighed (v) og position (h)

Den resulterende hastighed ved et bestemt tidsinterval beregnes ved hjælp af ligningen:

Objekternes retning i et bestemt tidsinterval beregnes ved hjælp af ligningen:

Bemærkninger:

1. Den horisontale komponent af parabolsk bevægelse betragtes som den ensartede lineære bevægelse, så vox = vx er altid konstant

2. Den vertikale komponent af parabolsk bevægelse betragtes som fritfaldsbevægelsen, så hvis objektet bevæger sig parabolsk, som f.eks. i figur 1 og 3, er den vertikale komponent af objektets hastighed i maksimal højde nul (v _y = 0). Hvis du kaster en kuglekugle opad i en maksimal højde, hviler objektet et øjeblik (v _y = 0), før det drejer nedad. Derfor er hastigheden af ​​objektet, der bevæger parabolen i maksimal højde, = v _x = v _ox

3. Hvis objektet bevæger sig parabolsk som vist i figur 2, ses den vertikale komponent af den parabolske bevægelse som fritfaldsbevægelsen. Hvis objektet bevæger sig parabolsk som vist i figur 1 og 3, ses den vertikale komponent af den parabolske bevægelse som den opadgående vertikale bevægelse.

Eksempelproblemer:

1. En kugle affyres i vandret retning med en starthastighed på 20 m/s. Hvis pistolen er 5 meter over jorden, bestem:

(a) tid i luften

(b) den maksimale højde

(c) den vandrette afstand

(d) kuglens hastighed, når den rammer jorden

Opløsning:

Bevægelse i vandret retning analyseres som den ensartede lineære bevægelse, mens bevægelse i lodret retning analyseres som den fritfaldende bevægelse.

kendt:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Tid i luften

Løsningen er at bestemme tidsintervallet (t) i det frie fald.

Kendt: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Ønskes: t

b) Den maksimale højde

Maksimal højde = h = 5 meter.

c) Vandret afstand (d)

Løsningen er som at bestemme afstanden på den ensartede lineære bevægelse

Kendt: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekund

Ønskes: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Hastighed når kuglen rammer jorden

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Først beregner vi den endelige hastighed i lodret retning (vty). Løsningen er som at bestemme den endelige hastighed af fritfaldsbevægelsen.

Kendt: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Ønskes: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

vt = _gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt ₌ 9.8 m/s

Kuglens hastighed, når den rammer jorden:

Kuglens retning:

Fordi v _tx er i retning af den positive x-akse (til højre) og v _ty er i retning af den negative y-akse (nedad),

Kuglens retning, når den rammer jorden, er -26.1 ^° i forhold til den positive x-akse (se figur nedenfor).

2. Kanonen affyrede en kugle i en vinkel på 30 ^grader i forhold til vandret med en hastighed på 60 m/s. Bestem:

(a) den maksimale højde

(b) kuglens hastighed ved maksimal højde

(c) tid i luften

(d) den vandrette afstand

(e) kuglens hastighed, når den rammer jorden. Antag, at jorden er flad. 🙂

Opløsning:

Bevægelse i vandret retning analyseres som den ensartede lineære bevægelse, bevægelse i lodret retning analyseres som den opadgående vertikale bevægelse.

Kendt: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Baseret på kendte data beregner vi først de lodrette (v _oy ) og vandrette (v _ox ) komponenter af starthastigheden (v _o ).

a) Den maksimale højde (h)

Løsningen er som at bestemme den maksimale højde på den opadgående lodrette bevægelse.

kendt:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maksimal højde (t)

Løsningen er som at bestemme den maksimale højde på den lodrette opadgående bevægelse.

kendt:

v _oy = 30 m/s (dette er kuglens starthastighed)

v _ty = 0 m/s (Ved den maksimale højde er kuglens vertikale hastighed = 0 m/s. Dette er den endelige hastighed.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Ønskes: h

vt² = _v² + ^2gh_​^​

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) timer

0 = 900 – 19.6 timer

900 = 19.6 timer

h = 900 / 19.6

h = 45.9 meter

Den maksimale højde opnået af kuglen = 45.9 meter.

b) Hastigheden i den maksimale højde

Ved den maksimale højde er hastigheden i lodret retning = 0 m/s. Ved maksimal højde er der kun hastighed i vandret retning. Hastigheden i vandret retning ved den maksimale højde er lig med starthastigheden i vandret retning, som er 52.2 m/s. Hastighedsretningen i vandret retning er altid konstant, dvs. i retning af den positive x-akse (hvis et objekts bevægelse er beskrevet i diagrammet ovenfor).

c) Tid i luften

Løsningen er som at bestemme tidsintervallet (t) i diskussionen af ​​den vertikale opadgående bevægelse.

kendt:

v _oy = 30 m/s (dette er kuglens starthastighed i lodret retning)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (når kuglen vender tilbage til jorden, er kuglens forskydning i lodret retning = 0 m)

Ønskes: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekunder

Tid i luften = 6.12 sekunder

d) Horisontal afstand (d)

Løsningen er som at bestemme afstanden (d) på den ensartede lineære bevægelse.

kendt:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 sekunder

Ønskes: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekunder) = 319.5 m

e) Hastighed når kuglen rammer jorden

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Først beregner vi sluthastigheden i lodret retning (v _ty ). Løsningen er at bestemme sluthastigheden på den lodrette opadgående bevægelse.

Ønsket: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekunder

Ønskes: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Et negativt fortegn angiver, at sluthastigheden er nedadgående. Bemærk, at starthastigheden i lodret retning er lig med sluthastigheden i lodret retning.

Kuglens hastighed, når den rammer jorden:

Kuglens retning:

Da v _tx er i retning af den positive x-akse (til højre) og vty er i retning af den negative y-akse (nedad),

Retningen af ​​kuglens hastighed, når den rammer jorden, er -30 ^° omkring den positive x-akse (se figur nedenfor).

3. En bold kastes fra kanten af ​​en 50 meter høj bygning med en starthastighed på 10 m/s. Hvis bolden kastes med en vinkel på 30° i forhold til vandret, bestem da:

(a) tidsintervallet, hvor bolden når jorden

(b) boldens hastighed, når den rammer jorden

(c) den vandrette afstand, som kuglen kan nå, måles fra bygningens kant

(d) den maksimale højde, som kuglen når

Opløsning:

Først beregner vi den vertikale komponent (v _oy ) og den horisontale komponent (v _ox ) af starthastigheden (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Tidsintervallet hvor bolden rammer jorden

Løsningen er som at bestemme tidsintervallet (t) i en lodret opadgående bevægelse. Størrelsen af ​​den vektor, hvis retning er opad, vælges til at være positiv, størrelsen af ​​den vektor, hvis retning er nedad, vælges til at være negativ. Boldens position, hvor den kastes, vælges som referencepunkt. h er negativ, fordi jordoverfladen er under referencepunktet, g er negativ, fordi tyngdeaccelerationens retning er nedad.

kendt:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Ønskes: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Brug den kvadratiske formel:

Tid i luften = tidsintervallet fra bolden blev kastet til jorden = 1.64 sekunder.

b) Boldens hastighed, når den rammer jordens overflade

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Først beregner vi sluthastigheden i lodret retning (v _ty ). Løsningen er som at bestemme sluthastigheden på den lodrette opadgående bevægelse.

Kendt: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekunder

Ønskes: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Det negative fortegnet angiver, at den endelige hastighed er nedadgående.

Kuglens hastighed, når den rammer jorden:

Kuglens hastighedsretning = kuglens bevægelsesretning, når den rammer jorden:

Kuglens hastighed, når den rammer jorden:

Fordi vtx er i retning af den positive x-akse (til højre) og vty er i retning af den negative y-akse (nedad),

Kuglens retning, når den rammer jorden, er -52° omkring den positive x-akse (se figur nedenfor).

c) Den horisontale afstand, som kuglen kan nå, måles fra bygningens kant.

Løsningen er som at bestemme den tilbagelagte afstand (d) på den ensartede lineære bevægelse.

Kendt: t = 1.64 sekunder, v _x = 8.7 m/s

Ønskes: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Den maksimale højde, som kuglen når

Kendt: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( den vertikale komponent af hastigheden i den maksimale højde = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Ønskes: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (t)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (t)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (t)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 meter

Den maksimale højde, som kuglen når, er 1.3 meter over bygningens top = 1.3 m + 50 m = 51.3 meter over jordoverfladen.