Kontinuitetsligning

Materiale til kontinuitetsligning

Prøv at åbne vandhanen langsomt, mens du observerer vandstrømmen, der kommer ud af hanen. Når hanen holder op med at dreje, skal du blokere hanen delvist med hånden. Sammenlign nu, hvilken vandgennemstrømning der er størst. Når den er delvist blokeret eller ikke-blokeret? Hvis du har en slange, der normalt bruges til at vande blomster, skal du lade vandet løbe igennem den. Bloker slangen delvist med hånden eller fingeren. Jo større del af slangen, der er blokeret, jo hurtigere vil vandet løbe ud. Omvendt, hvis slangen ikke er blokeret, vil vandet løbe langsommere. Hvorfor er det sådan? For at forstå dette, skal du studere kontinuitetsligningen.

Strømliner og flowrør

Lad os først forstå koncepterne strømningslinjer og strømningsrør. Dette koncept er vigtigt, fordi det vil hjælpe dig med at forstå kontinuitetsligningen.

Strømlinje

Se på billedet nedenfor, den blå linje er strømlinjen.

I en konstant strømning forbliver hastigheden af ​​hver væskepartikel ved et punkt, f.eks. punkt A, konstant. Når den passerer punkt B, kan væskepartiklernes hastighed ændre sig. Ved ankomst til punkt B fortsætter de efterfølgende væskepartikler dog med at strømme med samme hastighed som de væskepartikler, der gik forud for dem. Det samme gælder ved ankomst til punkt C, og så videre. Strømlinjen er kurven, der forbinder punkterne A, B og C.

Flowrør

I bund og grund kan vi tegne hver strømlinje gennem hvert punkt i væskestrømmen. Hvis vi betragter en konstant væskestrøm, danner et antal strømlinjer, der passerer gennem en bestemt vinkel på et imaginært overfladeareal (imaginært overfladeareal), et strømningsrør. Ingen væskepartikler skærer hinanden, men er altid parallelle, og strømningsrøret vil ligne et rør, der altid har den samme form. Væske, der kommer ind i den ene ende af røret, vil forlade røret i den anden ende.

Debit

Udledning angiver volumenet af en væske, der strømmer gennem et bestemt tværsnit i et bestemt tidsinterval. Matematisk kan det udtrykkes som følger:

For at forbedre din forståelse, lad os bruge et eksempel. Antag, at en væske strømmer gennem et rør. Rør er normalt cylindriske og har et specifikt tværsnitsareal. Røret har også en længde.

Når væsken strømmer i røret så langt som L, er væskevolumenet i røret V = AL (V = væskevolumen, A = tværsnitsareal og L = rørlængde). Fordi væsken under strømningen i røret langs L bevæger sig et bestemt tidsinterval, kan vi sige, at størrelsen af ​​væskeudstrømningen er:

Fordi v = s/t = L/t —> L = vt, ændres ovenstående ligning til:

Når væske således strømmer gennem et rør med et bestemt tværsnitsareal og en bestemt længde i et bestemt tidsinterval, er størrelsen af ​​væskeudstrømningen (Q) lig med tværsnitsoverfladearealet (A) ganget med væskens strømningshastighed (v).

Kontinuitetsligning

Overvej væskestrømmen i et rør med forskellige diametre, som vist på figuren nedenfor.

Dette billede viser væskestrømning fra venstre mod højre (væske strømmer fra et rør med stor diameter til et rør med lille diameter). De stiplede linjer er strømlinjer.

Billedtekst: A1 ₌ tværsnitsareal af rørsektionen med stor diameter, A2 ₌ tværsnitsareal af rørsektionen med lille diameter, v1 ₌ væskestrømningshastighed i rørsektionen med stor diameter, v2 = væskestrømningshastighed _i rørsektionen med lille diameter, L = væskens tilbagelagte afstand.

I introduktionen til fluiddynamik blev det forklaret, at vi i fluiddynamik diskuterer strømningen af ​​fluider, der er inkompressible, ikke-viskøse, ikke-turbulente og stabile. I stabil strømning er hastigheden af ​​fluidpartikler på et punkt den samme som hastigheden af ​​andre fluidpartikler, der passerer gennem det punkt. Fluidstrømmene skærer heller ikke hinanden (strømningslinjerne er parallelle). Derfor skal massen af ​​fluid, der kommer ind i den ene ende af røret, være lig med massen af ​​fluid, der forlader den anden ende. Hvis en fluid med en bestemt masse kommer ind i et rør med en stor diameter, vil fluidet forlade røret med en lille diameter og en konstant masse.

Se nu på billedet af røret ovenfor. Se på den del af røret med den store diameter og den del af røret med den lille diameter.

I løbet af et bestemt tidsinterval strømmer en bestemt mængde væske gennem en rørsektion med en stor diameter (A).₁) så langt som L₁ (L₁ = v₁ t). Volumenet af den strømmende væske er V₁ = A₁ L₁ = A₁ v₁ t. I samme tidsinterval strømmer en anden mængde væske gennem en rørsektion med en mindre diameter (A).₂) så langt som L₂ (L₂ = v₂ t). Volumenet af den strømmende væske er V₂ = A₂ L₂ = A₂ v₂ t.

Kontinuitetsligning for inkompressible væsker (ukomprimerbar)

Lad os først betragte tilfældet med en inkompressibel væske. I en inkompressibel væske er væskens densitet, eller masse, altid den samme på hvert punkt, den passerer igennem. Massen af ​​væske, der strømmer i et rør med et tværsnitsareal A1 ₍ rørets store diameter) i løbet af et bestemt tidsinterval, er:

Ligeledes er massen af ​​væske, der strømmer i et rør med et tværsnitsareal på A2 ₍ lille rørdiameter) i løbet af et bestemt tidsinterval:

I betragtning af at massen af ​​den indkommende væske ved konstant strømning er den samme som massen af ​​den udgående væske, så gælder:

m1 = _m2​

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (væskedensiteten og tidsintervallet er de samme, så de ophæver hinanden)

A ₁ mod ₁ = A ₂ mod ₂

Så i inkompressible væsker gælder kontinuitetsligningen:

A1 _v 1 = A2 _v 2 _— Ligning ₁

Information :

A1 = tværsnitsareal 1, _A2 = tværsnitsareal 2, _v1 = _{væskestrømningshastighed} ved tværsnit 1, v2 = væskestrømningshastighed ved tværsnit 2, Av = volumenstrømningshastighed V/t aka _afgang

Ligning 1 viser, at volumenstrømningshastigheden, også kendt som afløb, altid er den samme på hvert punkt langs et rør eller strømningsrør. Når rørets tværsnit falder, øges væskestrømningshastigheden; omvendt, når rørets tværsnit stiger, falder væskestrømningshastigheden.

Når vi lukker vandhanen delvist til, bliver vandgennemstrømningen hurtigere end når hanen er delvist lukket. Dette skyldes, at vandhanens tværsnitsareal falder, når hanen er delvist lukket, hvilket øger vandgennemstrømningshastigheden (væsken flyder hurtigere). Det samme gælder for slanger. Det er dog vigtigt at bemærke, at udløbs- eller volumenstrømningshastigheden forbliver den samme på alle punkter langs vandgennemstrømningen, uanset om hanen er delvist lukket eller ej. Så det, der ændrer sig, er væskegennemstrømningshastigheden.

Hvad med vandgennemstrømningen i en flod? Dybere dele af en flod har et større tværsnit end lavere dele, så vandgennemstrømningen i dybere dele er lavere end i lavere dele. Hvis du ser en meget rolig flodstrøm, betyder det, at floden er dyb. Men hvis floden pludselig bliver hurtigtflydende, er den del bestemt lavvandet. Vandvolumenstrømmen er dog altid den samme, uanset om det er i dybe eller rolige dele af floden.

Kontinuitetsligning for kompressible væsker (sammentrykkeligt)

I tilfælde af kompressible væsker er væskens densitet ikke altid den samme. Med andre ord ændrer væskens densitet sig , når den komprimeres. I inkompressible væsker er væskens densitet elimineret fra ligningen, men i dette tilfælde er væskens densitet stadig inkluderet. Med henvisning til den tidligere afledte ligning, lad os udlede ligningen for kompressible væsker.

I betragtning af at massen af ​​den indkommende væske ved konstant strømning er den samme som massen af ​​den udgående væske, så gælder:

m1 = _m2​

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t

Tidsintervallet for væskestrømmen er det samme, så det kan elimineres. Ligningen ændres til:

ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ → ligning 2

Dette er ligningen for en kompressibel væske. Den eneste forskel ligger i væskens densitet. Når en væske komprimeres, ændres dens densitet. Omvendt, når en væske er inkompressibel, forbliver dens densitet konstant og kan ophæves.

Eksempelspørgsmål 1:

Vand strømmer gennem et rør med en diameter på 10 cm med en hastighed på 2 m/s. Hvad er vandafledningen?

Diskussion

Det er kendt, at:

Rørdiameter = 10 cm (dette er rørets indvendige diameter)

Rørets radius (r) = 5 cm = 0,05 m

v vand = 2 m/s

Spurgt: Debet

Svar:

Q = A v

Q = (πr² ⁾ (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 m) ^² (2 m/s)

Q = (3,14)(0,0025 m² ⁾ (2 m/s)

Q = 0,0157 m³ ^/ s

Eksempelspørgsmål 2:

Et vandrør med en diameter på 20 cm er forbundet med et andet rør med en diameter på 10 cm. Hvis vandgennemstrømningshastigheden i røret med en diameter på 20 cm = 4 m/s, hvad er så vandgennemstrømningshastigheden i røret med en diameter på 10 cm?

Diskussion

Det er kendt, at:

Diameter 1 = 20 cm (r1 ₌ 10 cm = 0,1 m)

v² = 4 m/ _s

Diameter 2 = 10 cm (r2 ₌ 5 cm = 0,05 m)

Spurgt: v ₁

Svar:

Q ₁ = Q ₂

A ₁ mod ₁ = A ₂ mod ₂

(π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (v ₂ )

(0,1 m) ^² (4 m/s) = (0,05 m) ^² ( ^v² )

(0,01 m² ⁾ (4 m/s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

(0,04 m³ ^/ s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

v² = 16 m/ ^s