Bernoullis princip og ligningsmateriale
Når vi kører ret hurtigt på motorcykel, puffer det tøj, vi har på, op bagpå. Hvis du ikke kan køre motorcykel endnu, så vær opmærksom på dine forældre eller venner, der kører motorcykel. Bagsiden af deres tøj puffer normalt op bagpå, når motorcyklen kører hurtigt. Nogle gange, når vinden blæser kraftigt, kan husdøren lukke af sig selv. Selvom vinden blæser uden for huset, er døren inde i huset.
Dette kan forklares ved hjælp af Bernoullis princip. Daniel Bernoulli (1700-1782) opdagede et princip, der kan bruges til at forklare nogle af ovenstående ting.
Bernoullis princip
Bernoullis princip siger, at hvor væskestrømningshastigheden er høj, er væsketrykket lavt. Omvendt, hvis væskestrømningshastigheden er lav, bliver trykket højt. Når en motorcykel bevæger sig hurtigt, er lufthastigheden foran og ved siden af din krop høj. Derfor bliver lufttrykket lavt. Bagsiden af din krop blokeres af forsiden af din krop, så lufthastigheden bag din krop ændres ikke til høj (lige bag din krop). Som et resultat bliver lufttrykket bag din krop større. Fordi der er en forskel i lufttrykket, hvor lufttrykket lige bag din krop er større, skubber luften din skjorte bagud, hvilket får den til at se ud som om, den er pustet ud bagpå.
Hvad med en dør, der lukker af sig selv, når det blæser kraftigt udenfor? Luften udenfor bevæger sig hurtigere end luften indenfor. Som følge heraf er lufttrykket udenfor lavere end lufttrykket indenfor. På grund af denne trykforskel, hvor lufttrykket indenfor er højere, skubbes døren udad. Med andre ord bevæger døren sig fra et sted med højere lufttryk til et sted med lavere lufttryk.
Bernoullis ligning
Tidligere har vi lært om Bernoullis princip. Bernoulli udviklede også dette princip kvantitativt. For at udlede Bernoulli-ligningen antager vi en stabil, laminar væskestrømning, inkompressibilitet og lav viskositet, hvilket kan ignoreres.
I diskussionen af kontinuitetsligningen lærte vi, at væskestrømningshastigheden også kan variere afhængigt af tværsnitsarealet af strømningsrøret. Baseret på Bernoulli-princippet, som forklaret ovenfor, kan væsketrykket også variere afhængigt af væskestrømningshastigheden. Væsketrykket kan også variere afhængigt af væskens højde. Forholdet mellem tryk, strømningshastighed og strømningshøjde kan udledes af Bernoulli-ligningen.
Bernoulli-ligningen er meget vigtig, fordi den kan bruges til at analysere flyflyvning, vandkraftværker, rørsystemer osv. For at Bernoulli-ligningen, som vi vil udlede, kan anvendes generelt, antager vi, at væsken strømmer gennem et strømningsrør med ulige tværsnitsarealer og også forskellige højder (se figuren nedenfor). For at udlede Bernoulli-ligningen anvender vi arbejde- og energisætningen på væsken i strømningsrørsområdet. Dernæst beregner vi mængden af væske og det arbejde, der udføres for at bevæge væsken.
Den uigennemsigtige farve i gennemstrømningsrøret på billedet indikerer væskestrømning, mens den hvide farve indikerer ingen væske.
Væsken i tværsnitsareal 1 (venstre side) strømmer en afstand L1 og tvinger væsken i tværsnit 2 (højre side) til at bevæge sig en afstand L2 . Fordi tværsnitsarealet 2 på højre side er mindre, er væskens strømningshastighed på højre side af strømningsrøret større (husk kontinuitetsligningen). Dette forårsager en trykforskel mellem tværsnit 2 (højre side af strømningsrøret) og tværsnit 1 (venstre side af strømningsrøret) - Husk Bernoullis princip. Væsken på venstre side af tværsnit 1 udøver et tryk P1 på væsken på højre side og udfører et arbejde på:
Så kan ligningen W1 skrives som:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Ved tværsnit 2 (højre side af strømningsrøret) er det udførte arbejde på væsken:
W2 = − p2A2L2
Det negative fortegnet angiver, at den påførte kraft er modsat bevægelsesretningen. Så væsken udfører arbejde til højre for sektion 2. Derudover udfører tyngdekraften også arbejde på væsken. I ovenstående tilfælde flyttes en bestemt masse væske fra sektion 1 så langt som L1 til sektion 2 så langt som L2 , hvor væskevolumenet ved sektion 1 (A1L1 ) = væskevolumenet ved sektion 2 (A2L2 ) . Det arbejde , der udføres af tyngdekraften , er:
W3 = − mg ( t2 − t1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Det negative fortegnet skyldes, at væsken strømmer opad, modsat tyngdekraftens retning. Således er det samlede arbejde, der udføres på væsken, som vist i figuren ovenfor:
W = W1 + W2 + W3
W = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
Arbejds-energi-sætningen siger, at det samlede arbejde udført på et system er lig med ændringen i dets kinetiske energi. Derfor kan vi erstatte arbejde (W) med ændringen i kinetisk energi (EK² - EK¹ ).
Vi kan omskrive ovenstående ligning som:
W = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
EK 2 - EK 1 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
1⁄2 mv 2 2 - 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
Masse af væske , der strømmer en afstand L1 ved tværsnit A1 = masse af væske, der strømmer en afstand L2 ( tværsnit A2 ) . En væskemasse, f.eks. m, har et volumen på A1L1 og A2L2 , hvor A1L1 = A2L2 ( L2 er længere end L1 ).
Nu indsætter vi, eller vi erstatter m i ovenstående ligning med m = ρ AL:
Dette er Bernoulli-ligningen. Vi udledte Bernoulli-ligningen baseret på arbejde-energi-princippet, så det er en form for energibevarelsesloven.
Information :
P = Tryk
ρ = Væskens densitet
v = Væskestrømningshastighed
g = Tyngdeacceleration
h = Højden af strømningsrøret/-røret fra jordoverfladen
Venstre og højre side af Bernoulli-ligningen ovenfor kan referere til to vilkårlige punkter langs strømningsrøret, så vi kan omskrive ligningen ovenfor som:
Denne ligning angiver, at den samlede sum af mængderne i ligningen har samme værdi i hele strømningsrøret.
Lad os nu gennemgå Bernoullis ligning for nogle tilfælde.
Bernoullis ligning for væsker i hvile
Et særligt tilfælde af Bernoullis ligning er for væsker i hvile (statiske væsker). Når en væske er i hvile, har den ingen hastighed. Således er v 1 = v 2 = 0. I tilfælde af en væske i hvile kan Bernoullis ligning formuleres som:
Hvis h² - h¹ = h, så kan denne ligning skrives som:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoullis ligning for strømningsrør eller rør med samme højde
Hvis højden af strømningsrøret eller -røret er den samme, ændres Bernoulli-ligningen til:
