Fformiwlâu Hyd Llinyn, Màs Llinyn, Amlder, a Thensiwn Llinyn
Pengantar
Mae llinynnau'n rhan hanfodol o lawer o offerynnau cerdd, o gitarau i ffidlau. Mae hyd, màs, amledd a thensiwn llinyn yn chwarae rhan hanfodol wrth bennu traw ac ansawdd y sain y mae'n ei chynhyrchu. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sut mae'r paramedrau hyn yn ymwneud â'i gilydd trwy ffiseg a sut maent yn berthnasol yn ymarferol, yn enwedig yng nghyd-destun offerynnau cerdd.
Hyd y Llinyn
Hyd llinyn (\(L\)) yw'r pellter rhwng dau bwynt lle mae'r llinyn ynghlwm neu'n cael ei ddal. Mewn offerynnau cerdd, mae'r hyd hwn fel arfer yn cael ei fesur o'r pwynt lle mae'r llinyn yn dechrau dirgrynu i'r pwynt lle mae'n stopio dirgrynu.
Mae hyd llinyn yn effeithio ar ei amledd sylfaenol. Yn gyffredinol, po hiraf yw'r llinyn, yr isaf yw'r amledd y mae'n ei gynhyrchu. Gellir gweld y berthynas rhwng hyd llinyn ac amledd yn yr hafaliad sylfaenol ar gyfer ton sefydlog ar linyn:
\[ f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
Ble:
– \(f \) yw'r amledd (Hz),
– \(n \) yw'r rhif harmonig (1 ar gyfer yr amledd sylfaenol, 2 ar gyfer yr ail harmonig, ac ati),
– \( L \) yw hyd y llinyn (metrau),
– \( T \) yw tensiwn y llinyn (Newton),
– \( \mu \) yw'r màs fesul uned hyd y llinyn (kg/m).
Màs Llinynnol
Màs y llinyn (\(m\)) yw cyfanswm màs y llinyn. Y màs fesul uned hyd (\(\mu\)) yw màs y llinyn fesul un metr o hyd y llinyn ac fe'i mynegir fel:
\[ \mu = \frac{m}{L} \]
Ble:
– \( m \) yw cyfanswm màs y llinyn (kg),
– \( L \) yw hyd y llinyn (metrau).
Mae'r màs hwn fesul uned hyd yn hanfodol wrth bennu amledd dirgryniad llinyn. Po fwyaf yw \(\mu\), yr isaf yw'r amledd a gynhyrchir gan y llinyn. Mae hyn oherwydd bod angen mwy o egni ar dannau trymach i ddirgrynu ar amledd penodol.
Amledd Llinynnol
Amledd (\(f\)) yw nifer y dirgryniadau yr eiliad a gynhyrchir gan linyn. Amledd sylfaenol (\(f_1\)) llinyn sy'n dirgrynu yw'r amledd isaf a gellir ei gyfrifo gan ddefnyddio'r fformiwla:
\[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
Gellir cyfrifo'r amledd harmonig hefyd gan ddefnyddio'r fformiwla hon, trwy amnewid y rhif harmonig \(n\) yn yr hafaliad:
\[ f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
Ble:
– \( f_n \) yw amledd yr harmonig nfed (Hz),
– Mae \(n \) yn rhif harmonig.
Tensiwn Llinynnol
Tensiwn (\(T\)) yw'r grym a roddir ar hyd llinyn i'w wneud yn dynn. Mesurir y tensiwn hwn mewn Newtonau (N) ac mae'n ffactor pwysig sy'n pennu amlder dirgryniad y llinyn.
Os bydd y tensiwn ar y llinyn yn cynyddu, bydd amledd y dirgryniad hefyd yn cynyddu. Gellir esbonio'r berthynas hon gan ddefnyddio'r fformiwla amledd sylfaenol a grybwyllir uchod:
\[ f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
O'r fformiwla hon, gallwn weld bod amledd yn gymesur yn uniongyrchol â gwreiddyn sgwâr y foltedd. Mae hyn yn golygu, os caiff y foltedd ei ddyblu, y bydd yr amledd yn cynyddu gan ffactor o wreiddyn sgwâr dau.
Enghraifft Cyfrifo
Beth am edrych ar rai cyfrifiadau enghreifftiol i ddeall yn well y berthynas rhwng hyd llinyn, màs, amledd a thensiwn.
Enghraifft 1: Pennu Amlder Llinyn
Tybiwch fod gennym linyn sydd â hyd o 1 metr, cyfanswm màs o 0.01 kg, a thensiwn o 100 N. Rydym am bennu amledd sylfaenol y llinyn hwn.
1. Cyfrifwch y màs fesul uned hyd:
[ \mu = \frac{m}{L} = \frac{0.01}{1} = 0.01 \, \text{kg/m} \]
2. Defnyddiwch y fformiwla amledd sylfaenol:
\[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
\[ f_1 = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{100}{0.01}} \]
\[ f_1 = \frac{1}{2} \sqrt{10000} \]
\[ f_1 = \frac{1}{2} \times 100 \]
\[ f_1 = 50 \, \text{Hz} \]
Felly, amledd sylfaenol y llinyn hwn yw 50 Hz.
Enghraifft 2: Pennu'r Foltedd Angenrheidiol
Tybiwch ein bod am bennu'r tensiwn sydd ei angen ar gyfer llinyn sydd â hyd o 0.5 metr a chyfanswm màs o 0.02 kg i gynhyrchu amledd sylfaenol o 440 Hz (amledd safonol y nodyn A).
1. Cyfrifwch y màs fesul uned hyd:
[ \mu = \frac{m}{L} = \frac{0.02}{0.5} = 0.04 \, \text{kg/m} \]
2. Defnyddiwch y fformiwla amledd sylfaenol a datryswch am \(T\):
\[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
\[ 440 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[ 440 = \frac{1}{1} \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[ 440 = \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[ 440^2 = \frac{T}{0.04} \]
\[ 193600 = \frac{T}{0.04} \]
\[ T = 193600 \times 0.04 \]
\[ T = 7744 \, \text{N} \]
Felly, y foltedd sydd ei angen i gynhyrchu amledd sylfaenol o 440 Hz yw 7744 N.
Cymwysiadau Ymarferol
1. Offerynnau Cerdd
Defnyddir llinynnau mewn amrywiaeth o offerynnau cerdd, gan gynnwys gitarau, ffidlau a phianos. Mae deall y berthynas rhwng hyd, màs, amledd a thensiwn llinynnau yn hanfodol ar gyfer tiwnio offeryn yn iawn a chynhyrchu'r tôn a ddymunir.
2. Technoleg
Defnyddir llinynnau hefyd mewn technoleg fodern, fel mewn synwyryddion a dyfeisiau mesur. Er enghraifft, mae mesurydd straen yn defnyddio newidiadau mewn tensiwn mewn llinyn i fesur anffurfiad a straen mewn deunydd.
3. Ymchwil ac Addysg
Mewn addysg ac ymchwil ffiseg, defnyddir arbrofion gyda llinynnau i astudio tonnau a dirgryniadau. Mae hyn yn helpu myfyrwyr i ddeall cysyniadau sylfaenol mewn ffiseg tonnau ac acwsteg.
Casgliad
Mae deall y fformwlâu a'r perthnasoedd rhwng hyd, màs, amledd a thensiwn llinynnau yn hanfodol mewn sawl maes, yn enwedig cerddoriaeth a thechnoleg. Gan ddefnyddio fformwlâu ffiseg sylfaenol, gallwn gyfrifo a rhagweld ymddygiad llinynnau o dan wahanol amodau, gan ein helpu mewn ystod eang o gymwysiadau ymarferol, o diwnio offerynnau cerdd i fesuriadau manwl gywir mewn technoleg fodern.
