Enghraifft o Broblemau sy'n Trafod Fectorau Safle
Mae fectorau yn gysyniad sylfaenol mewn mathemateg a ffiseg, gan gynrychioli meintiau â chyfeiriad a maint. Mewn amrywiol gymwysiadau, defnyddir fectorau yn aml i ddisgrifio safle, cyflymder, grym, a llawer o baramedrau eraill. Ymhlith y gwahanol fathau o fectorau, mae fectorau safle yn chwarae rhan hanfodol wrth fapio lleoliad pwynt yn y gofod.
Diffiniad o Fector Safle
Fector safle yw fector sy'n disgrifio lleoliad pwynt o'i gymharu â'r tarddiad mewn system gyfesurynnau. Yn gyffredinol, ysgrifennir fector safle ar ffurf gyfesurynnau Cartesaidd fel:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Yma, r yw'r fector safle, x), y, a z yw ei gydrannau ar hyd echelinau x, y, a z, yn y drefn honno, tra bod i, j, a k yn fectorau uned sy'n gyfochrog â'r echelinau cyfesurynnau, yn y drefn honno. Mewn gofod dau ddimensiwn, nid yw'r gydran z yn bodoli fel arfer, felly mae'r fector safle yn dod yn:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Cymwysiadau Fector Safle
Er enghraifft, mewn ffiseg, mae fectorau safle yn chwarae rhan hanfodol wrth ddisgrifio symudiad gwrthrychau. Gellir cynrychioli safle gwrthrych o'i gymharu â'r tarddiad (pwynt cyfeirio) gan fector safle. Ar ben hynny, mewn peirianneg fecanyddol, mae cyfrifiadau grymoedd a momentau yn aml yn cynnwys defnyddio fectorau safle.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Fectorau Safle
Cwestiwn 1
Tybiwch fod dau bwynt mewn gofod 3D, pwynt A gyda chyfesurynnau (1, 2, 3) a phwynt B gyda chyfesurynnau (4, 0, -2)). Pennwch fectorau safle pwyntiau A a B. Yn ogystal, cyfrifwch y fector sy'n cysylltu pwynt A â phwynt B.
Trafodaeth:
Fector safle ar gyfer pwynt A:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
Fector safle ar gyfer pwynt B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \]
Nesaf, i ddod o hyd i'r fector sy'n cysylltu pwynt A â phwynt B (a elwir yn \(\mathbf{AB}\)), mae angen i ni dynnu fector safle A o fector safle B:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Felly, gan amnewid y ddau fector safle uchod:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Felly, y fector sy'n cysylltu pwynt A â B yw (3 i – 2 j – 5 k).
Cwestiwn 2
Os yw pwynt P ar \((2, 3)\) yn y plân 2D, dewch o hyd i hyd (norm) y fector safle \(\mathbf{r_P}\).
Trafodaeth:
Fector safle pwynt P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Gellir cyfrifo hyd y fector safle \(\mathbf{r_P}\) gan ddefnyddio'r fformiwla norm fector (neu hyd):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Amnewidiwch werthoedd \(x\) a \(y\):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Felly, hyd y fector safle \(\mathbf{r_P}\) yw \(\sqrt{13}\).
Cwestiwn 3
Tybiwch fod pwynt Q yn gorwedd yn \( (5, -4, 2) \). Dewch o hyd i'r ongl rhwng y fector safle \(\mathbf{r_Q}\) ac echelin \(x\).
Trafodaeth:
Fector safle pwynt Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
I ddod o hyd i'r ongl rhwng y fector \(\mathbf{r_Q}\) a'r echelin \(x\), gallwn ddefnyddio'r cysyniad o'r cynnyrch dot. Yn gyntaf, rydym yn pennu'r cynnyrch dot rhwng \(\mathbf{r_Q}\) a \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
Gan fod \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), a \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), yna:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
Norm \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3 \sqrt{5} \]
Norm \(\mathbf{i}\) yw 1, oherwydd bod \(\mathbf{i}\) yn fector uned.
Gan ddefnyddio'r fformiwla lluoswm dot i ddod o hyd i'r ongl \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| || \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Felly'r ongl \(\theta\) rhwng y fector safle \(\mathbf{r_Q}\) a'r echelin \(x\) yw:
[\theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Casgliad
Mae fectorau safle yn chwarae rhan hanfodol mewn gwyddoniaeth a pheirianneg, yn enwedig wrth fapio safle gwrthrychau mewn gofod cyfesurynnau. Mae'r enghreifftiau uchod yn dangos sut i gyfrifo fectorau safle, eu hyd, a'r onglau rhyngddynt a'r echelinau cyfesurynnau. Mae deall y cysyniadau sylfaenol hyn yn amhrisiadwy wrth ddatrys amrywiol broblemau sy'n ymwneud â gofod a chyfesurynnau mewn mathemateg a ffiseg.
