Enghraifft o Broblemau sy'n Trafod Fectorau Gwrthdro
Mae fector yn wrthrych mathemategol sydd â maint a chyfeiriad. Wrth astudio fectorau, rydym yn aml yn dod ar draws fectorau â phriodweddau penodol. Un cysyniad sylfaenol mewn fectorau yw'r fector gwrthdro, neu'r fector negyddol. Bydd yr erthygl hon yn ymdrin ag enghreifftiau a thrafodaeth o fectorau gwrthdro.
Deall Fectorau Gwrthdro
Y fector gwrthdro, a elwir yn aml yn fector negatif, yw fector sydd â'r un maint ond cyfeiriad gyferbyn â'r fector gwreiddiol. Os dynodir fector gan \(\vec{a}\), yna ei fector gwrthdro yw \(-\vec{a}\). Yn fathemategol, os \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), yna \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
Cwestiwn Enghraifft 1
O ystyried y fector \(\vec{a} = (3, 4, -2)\). Pennwch fector gwrthdro \(\vec{a}\).
Trafodaeth:
I bennu fector gwrthdro \(\vec{a}\), dim ond newid pob un o'i gydrannau fector i negatif sydd angen i ni ei wneud:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
Felly, y fector gwrthdro o \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) yw \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\).
Cwestiwn Enghraifft 2
Gadewch i'r fector _(\vec{b} = (7, -5, 0)_. Dewch o hyd i'r fector gwrthdro o _(\vec{b}_) a gwiriwch fod _(\vec{b} + (-\vec{b}) = _vec{0}_).
Trafodaeth:
Yn gyntaf, rydym yn diffinio'r fector gwrthdro o \(\vec{b}\):
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
Nesaf, rydym yn gwirio bod adio'r fector \(\vec{b}\) a'i fector gwrthdro yn arwain at y fector sero:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
Rydym yn adio cydrannau'r fector at ei gilydd:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
Felly, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), mae wedi'i brofi mai canlyniad adio'r fector \(\vec{b}\) a'i fector gwrthdro yw'r fector sero.
Cwestiwn Enghraifft 3
O ystyried y fectorau \(\vec{u} = (2, -1)\) a \(\vec{v} = (-2, 1)\). Ai \(\vec{u}\) yw'r fector gwrthdro o \(\vec{v}\)?
Trafodaeth:
I benderfynu a yw \(\vec{u}\) a \(\vec{v}\) yn fectorau gwrthdro, mae angen i ni wirio a yw \(\vec{v} = -\vec{u}\).
Cyfrifwch \(-\vec{u}\):
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
Mae'n ymddangos bod \(-\vec{u} = \vec{v}\), mae hyn yn golygu bod y fector \(\vec{u}\) yn wir yn fector gwrthdro o'r fector \(\vec{v}\).
Cwestiwn Enghraifft 4
Os gwyddys bod gan y fector \(\vec{w}\) faint o 5 a chyfeiriad gyferbyn â'r fector \(\vec{p} = (4, 3)\), pennwch \(\vec{w}\) ar ffurf gydran.
Trafodaeth:
Yn gyntaf, rydym yn darganfod maint y fector \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
Gan fod gan \(\vec{w}\) yr un maint â \(\vec{p}\) ond i'r cyfeiriad gyferbyn, yna:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
Felly, y fector \(\vec{w}\) ar ffurf gydran yw \(\vec{w} = (-4, -3)\).
Cwestiwn Enghraifft 5
O ystyried pwynt A(2, 3) a phwynt B(4, 7). Pennwch y fector safle o bwynt A i bwynt B a'r fector sy'n groes i'r fector hwnnw.
Trafodaeth:
Fector safle o bwynt A i bwynt B:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
Y fector gwrthdro o \(\vec{AB}\):
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
Felly, y fector sy'n wrthdro i'r fector safle \(\vec{AB} = (2, 4)\) yw \(-\vec{AB} = (-2, -4)\).
Cwestiwn Enghraifft 6
O ystyried fector \(\vec{m} = (x, y)\) a fector gwrthdro \(\vec{m}\) yw \( (-5, 12)\). Penderfynwch werthoedd x ac y.
Trafodaeth:
Y fector gwrthdro o \(\vec{m}\) yw \( (-x, -y) \), ac yn ôl y broblem, \((-x, -y) = (-5, 12)\).
Drwy baru'r cydrannau fector, rydym yn cael:
\[
-x = -5 \implises x = 5
\]
\[
-y = 12 \implies y = -12
\]
Felly, gwerth \(x\) yw 5 a gwerth \(y\) yw -12.
Casgliad
Fectorau gwrthdro yw fectorau sydd â'r un maint ond cyfeiriad gyferbyniol. Drwy ddeall y cysyniad o fectorau gwrthdro, gallwn ddatrys amrywiol broblemau sy'n gysylltiedig â fectorau, megis pennu negatif fector, gwirio adio fectorau i sero, ac yn y blaen. Disgwylir i'r drafodaeth o'r problemau enghreifftiol uchod gynyddu ein gwybodaeth a'n dealltwriaeth o weithio gyda fectorau gwrthdro.
