Cwestiynau a Thrafodaeth Enghreifftiol Trigonometreg
Mae trigonometreg yn gangen o fathemateg sy'n astudio'r berthynas rhwng onglau a hyd ochrau mewn trionglau. Mae deall cysyniadau sylfaenol trigonometreg yn hanfodol mewn amrywiaeth o gymwysiadau, o ffiseg a pheirianneg i seryddiaeth a daearyddiaeth. Yn yr erthygl hon, byddwn yn egluro sawl problem enghreifftiol ac yn cwblhau esboniadau i gynorthwyo dealltwriaeth.
Cwestiwn Enghraifft 1: Cyfrifo Ochrau Triongl Gan Ddefnyddio'r Dull Sin
Cwestiwn:
O ystyried triongl ABC, gydag ongl A = 30°, ongl B = 45°, ac ochr b = 10 cm. Cyfrifwch hyd ochr a.
Trafodaeth:
Defnyddiwch gyfraith y sinau:
[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
Nodwch werthoedd hysbys:
[ \frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
Rydyn ni'n gwybod bod:
[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Nawr, amnewidiwch y gwerthoedd hyn yn yr hafaliad:
\[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Symleiddiwch yr hafaliad:
\[ 2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[ 2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
Rhesymolwch yr enwadur:
\[ 2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[ 2a = 10\sqrt{2} \]
\[ a = 5\sqrt{2} \]
Felly, hyd ochr a yw 5 cm.
Cwestiwn Enghraifft 2: Cyfrifo Onglau Gan Ddefnyddio'r Dull Cosin
Cwestiwn:
Mae gan driongl ochrau a = 7 cm, b = 10 cm, a c = 5 cm. Pennwch faint ongl C.
Trafodaeth:
Defnyddiwch gyfraith y cosinau:
[c² = a² + b² – 2ab \cos C]
Nodwch werthoedd hysbys:
[5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 7 ⋅ 10 ⋅ cos C]
Symleiddiwch yr hafaliad:
\[ 25 = 49 + 100 – 140 \cos C \]
\[ 25 = 149 – 140 \cos C \]
Symudwch 149 i'r ochr chwith:
\[ 25 - 149 = -140 \cos C \]
[-124 = -140 cos C]
[ \cos C = \frac{124}{140} \]
[ \cos C = \frac{62}{70} \]
[ \cos C = \frac{31}{35} \]
Defnyddiwch gyfrifiannell i ddod o hyd i \( \cos^{-1} \) (cosin gwrthdro):
\[ C \approx \cos^{-1}\left(\frac{31}{35}\right) \]
\[ C \tua 25.84° \]
Felly, mae maint ongl C tua 25.84°.
Cwestiwn Enghraifft 3: Cyfrifo Uchder ac Arwynebedd Triongl
Cwestiwn:
Mae gan driongl ddwy ochr o hyd a = 6 cm a b = 8 cm gydag ongl rhyngddynt, _(\theta\) = 60°. Cyfrifwch uchder ac arwynebedd y triongl.
Trafodaeth:
1. Cyfrifo Arwynebedd Triongl:
Defnyddiwch y fformiwla ar gyfer arwynebedd triongl:
\[ \text{Arwynebedd} = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]
Nodwch y gwerthoedd hysbys:
[Arwynebedd = 1/2 6 8 sin 60°]
Rydyn ni'n gwybod bod:
[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Felly:
\[ \text{Arwynebedd} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Arwynebedd} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Arwynebedd} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Arwynebedd} = 12\sqrt{3} \]
Felly, arwynebedd y triongl yw 12 cm².
2. Cyfrifo Uchder Triongl o Sylfaen a:
I gyfrifo uchder triongl, dynodwch yr uchder fel h a defnyddiwch y fformiwla arwynebedd:
\[ \text{Arwynebedd} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = 3h \]
\[ h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[ h = 4\sqrt{3} \]
Felly, uchder y triongl yw 4 cm.
Cwestiwn Enghraifft 4: Pennu Ochrau Triongl Sgwâr
Cwestiwn:
Mewn triongl sgwâr, gydag ongl _(\theta\) = 30° ac ochr gyfochrog ongl _(\theta\) yn 5 cm, pennwch hyd yr hypotenws.
Trafodaeth:
Defnyddiwch y cymhareb trigonometrig ar gyfer ongl 30° mewn triongl sgwâr:
\[ \sin \theta = \frac{\text{front}}{\text{hypotenuse}} \]
\[ \sin 30° = \frac{obverse}{hypotenuse} = \frac{5}{\text{hypotenuse}} \]
Rydyn ni'n gwybod bod:
[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
Felly:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{hypotenws}} \]
\[ \text{hypotenws} = 10 \]
Felly, hyd yr hypotenws yw 10 cm.
Cwestiwn Enghraifft 5: Cyfrifo Onglau gyda Ffwythiannau Trigonometreg
Cwestiwn:
Os yw \( \tan \theta = \frac{3}{4} \), cyfrifwch faint yr ongl \(\theta\).
Trafodaeth:
Gan ddefnyddio'r fformiwla tangiad gwrthdro:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \]
Gyda chymorth cyfrifiannell:
\[ \theta \tua 36.87° \]
Felly, mae maint yr ongl _(\theta\) tua 36.87°.
Casgliad
Mae trigonometreg yn gysyniad mathemategol eang gyda chymhwysiad eang ar draws amrywiol feysydd. Mae deall sut i ddefnyddio deddfau sinau, cosinau, a ffwythiannau sylfaenol eraill yn caniatáu inni ddatrys amrywiaeth o broblemau sy'n cynnwys trionglau ac onglau. Trwy'r enghreifftiau uchod, gobeithir y bydd darllenwyr yn cael dealltwriaeth ddyfnach ac yn gallu ei chymhwyso mewn amrywiol sefyllfaoedd sy'n gofyn am ddealltwriaeth o drigonometreg.
