Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Cymharebau Trigonometreg
Mae trigonometreg yn gangen o fathemateg sy'n astudio'r berthnasoedd rhwng ochrau ac onglau triongl. Un agwedd bwysig ar drigonometreg yw deall cymharebau trigonometrig, gan gynnwys sin (sin), cosin (cos), a thangiad (tan). Bydd yr erthygl hon yn trafod sawl enghraifft o gymharebau trigonometrig a'u hesboniadau manwl i hwyluso dealltwriaeth drylwyr o gysyniadau trigonometrig sylfaenol.
Cwestiwn Enghraifft 1: Cyfrifo Gwerthoedd Sin, Cos, a Tan
Cwestiwn:
Gofynnir i fyfyriwr ddod o hyd i werthoedd sin, cos, a tan yr ongl _(\theta\) mewn triongl sgwâr, os yw hyd yr ochr gyferbyn (yr ongl gyferbyn _(\theta\)) yn 3 cm, hyd yr ochr gyfagos (sylfaen) yn 4 cm, a hyd yr hypotenws (hypotenws) yn 5 cm.
Trafodaeth:
Y cam cyntaf yw nodi pob ochr sy'n berthnasol i'r ongl benodol. Fel y gwyddys, mewn triongl sgwâr gydag ochrau triphlyg Pythagoraidd clasurol (3, 4, 5), gallwn ddefnyddio fformwlâu trigonometreg sylfaenol yn uniongyrchol.
– Sin (pechod) yw'r gymhareb rhwng hyd yr ochr gyferbyn a'r hypotenws.
\[
\sin(\theta) = \frac{\text{ochr flaen}}{\text{hypotenws}} = \frac{3}{5}
\]
– Cosin (cos) yw'r gymhareb rhwng hyd yr ochr gyfagos a'r hypotenws.
\[
\cos(\theta) = \frac{\text{ochr gyfagos}}{\text{hypotenws}} = \frac{4}{5}
\]
– Tangiad (tan) yw'r gymhareb rhwng hyd yr ochr flaen a'r ochr.
\[
\tan(\theta) = \frac{\text{ochr flaen}}{\text{ochr ochr}} = \frac{3}{4}
\]
Felly, gwerthoedd y cymhareb trigonometreg ar gyfer yr ongl \(\theta\) yw:
\[
sin(\heta) = \frac{3}{5}, cos(\heta) = \frac{4}{5}, tan(\heta) = \frac{3}{4}
\]
Cwestiwn Enghraifft 2: Dod o Hyd i Ochrau Triongl Gan Ddefnyddio Cymharebau Trigonometreg
Cwestiwn:
O ystyried triongl sgwâr gydag ongl α = 30°C. Os yw hyd ochr gyferbyn ongl α yn 4 cm, pennwch hyd yr ochr arall.
Trafodaeth:
Gan ddefnyddio'r gwerthoedd cymhareb trigonometrig ar gyfer yr ongl \( 30^\circ \):
– \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{ochr flaen}}{\text{hypotenws}} = \frac{4}{\text{hypotenws}}
\]
\[
\text{Hypotenws} = \frac{4}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \text{ cm}
\]
– \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{ochr gyfagos}}{\text{hypotenws}} = \frac{\text{ochr gyfagos}}{8}
\]
\[
\text{Ochr ochr} = 8 \cos(30^\circ) = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm}
\]
Felly, hyd yr ochr arall yw 4 cm a'r hypotenws yw 8 cm.
Enghraifft 3: Defnyddio Trigonometreg mewn Cyfesurynnau Cartesaidd
Cwestiwn:
Pennwch werthoedd sin, cos, a tan ar gyfer y pwynt \( P(3, 4) \) mewn cyfesurynnau Cartesaidd os yw'r pwynt yn ffurfio ongl \(\theta\) gyda'r echelin-x positif yng nghwadrant I.
Trafodaeth:
Yn gyntaf, cyfrifwch bellter y pwynt \(P(3, 4)\) o'r tarddiad (O), sef hypotenws y triongl a ffurfiwyd.
– Gellir cyfrifo’r hypotenws (\(r\)) gan ddefnyddio theorem Pythagoras:
\[
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Yna, gellir cyfrifo trigonometreg pwynt P fel a ganlyn:
– Sin (sin) yw'r gymhareb rhwng y cyfririad (y) a'r hypotenws (r):
\[
sin(θ) = y/r = 4/5
\]
– Cosin (cos) yw'r gymhareb rhwng yr abscisa (x) a'r hypotenws (r):
\[
\cos(\theta) = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}
\]
– Tangiad (tan) yw'r gymhareb rhwng y cyfryngiad (y) a'r abscisa (x):
\[
tan(θ) = \frac{y}{x} = \frac{4}{3}
\]
Felly, y gwerthoedd trigonometrig ar gyfer pwynt P yw:
\[
sin(\heta) = \frac{4}{5}, cos(\heta) = \frac{3}{5}, tan(\heta) = \frac{4}{3}
\]
Cwestiwn Enghraifft 4: Defnyddio Hunaniaethau Trigonometreg
Cwestiwn:
Os yw \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \), darganfyddwch werth \( \cos(\theta) \) gan ddefnyddio'r hunaniaeth trigonometreg \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \).
Trafodaeth:
Rydym yn dechrau gydag hunaniaeth trigonometreg sylfaenol:
\[
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
\]
O ystyried \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \), yna:
\[
sin^2(\theta) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}
\]
\[
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1
\]
\[
\cos^2(\theta) = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos(\theta) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
\]
Gall gwerth \( \cos(\theta) \) fod yn bositif neu'n negatif yn dibynnu ar y cwadrant y mae'r ongl \(\theta\) ynddo. Ond ar gyfer y broblem hon heb ddiffiniad cwadrant penodol, rydym yn defnyddio \(\cos(\theta) = \frac{4}{5}\) ar gyfer cwadrant I neu \( -\frac{4}{5}\) ar gyfer cwadrantau II, III, neu IV.
Casgliad
Mae deall cymhareb trigonometrig yn hanfodol ar gyfer datrys amrywiol broblemau sy'n cynnwys onglau a hyd mewn trionglau. Drwy ymarfer datrys problemau fel yr un uchod, gallwch wella'ch gallu i gyfrifo a deall y berthnasoedd rhwng ochrau ac onglau mewn trionglau. Mae trigonometreg yn cael ei chymhwyso nid yn unig mewn mathemateg bur ond hefyd mewn amrywiol feysydd gwyddoniaeth fel ffiseg, peirianneg a seryddiaeth. Mwynhewch ymarfer!
