Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Briodweddau Integralau Penodol
Mae'r integryn pendant yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws, sy'n hynod ddefnyddiol mewn ystod eang o gymwysiadau mewn mathemateg, ffiseg a pheirianneg. Yn yr erthygl hon, byddwn yn egluro rhai priodweddau pwysig yr integryn pendant ac yn darparu enghreifftiau ac atebion i ddyfnhau eich dealltwriaeth o'r pwnc.
Priodweddau Integralau Penodol
Cyn i ni fynd i mewn i'r problemau enghreifftiol, gadewch i ni adolygu rhai priodweddau sylfaenol integrynnau pendant sy'n bwysig eu gwybod:
1. Priodwedd Llinoldeb:
– Os yw \( f(x) \) a \( g(x) \) yn ffwythiannau integradwy ac mae \( a \) a \( b \) yn gysonion, yna:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]
2. Integral o Gysonyn:
– Os yw \(c \) yn gysonyn, yna:
\[
\int_a^bc \, dx = c(b – a).
\]
3. Priodweddau Adio Cyfnodau:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]
4. Gwrthdroi Terfynau:
\[
\int_a^bf(x) \, dx = – \int_b^af(x) \, dx
\]
5. Sero Ar Yr Un Terfyn:
\[
\int_a^af(x) \, dx = 0
\]
Cwestiwn Enghraifft 1: Defnyddio'r Priodwedd Llinoldeb
Enghraifft o broblemau:
Cyfrifwch werth:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx
\]
Trafodaeth:
Defnyddiwch y priodwedd llinoledd i wahanu'r integryn yn ddau:
\[
∫_0^2 (3x^2 + 2x) , dx = ∫_0^2 3x^2 , dx + ∫_0^2 2x , dx
\]
Gadewch i ni gyfrifo'r integryn cyntaf:
\[
\int_0^2 3x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \int_0^2 x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2
\]
\[
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
\]
\[
= 3 \left( \frac{8}{3} \right)
\]
\[
= 8
\]
Nawr, rydym yn cyfrifo'r ail integryn:
\[
\int_0^2 2x \, dx
\]
\[
= 2 \int_0^2 x \, dx
\]
\[
= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2
\]
\[
= 2 \chwith( 1 – 0 \dde)
\]
\[
= 2
\]
Cyfunwch y ddau ganlyniad:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = 8 + 2 = 10
\]
Cwestiwn Enghraifft 2: Integryn o Gysonyn
Enghraifft o broblemau:
Cyfrifwch werth:
\[
\int_1^4 5 \, dx
\]
Trafodaeth:
Gan ddefnyddio priodwedd integrol cysonion, gallwn ysgrifennu:
\[
∫[1^4] = 5, dx = 5 (4 – 1)
\]
\[
= 5 \cdot 3
\]
\[
= 15
\]
Cwestiwn Enghraifft 3: Priodweddau Newid Terfyn
Enghraifft o broblemau:
Profwch fod:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx
\]
Trafodaeth:
Rydym yn dechrau gyda'r integryn o \( x^2 \) ar y cyfwng \( [2, 5] \):
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^5
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]
Nawr, gadewch i ni gyfrifo integryn \( x^2 \) ar y cyfwng \( [5, 2] \) a gwneud yn siŵr eich bod yn gwrthdroi arwydd yr ateb:
\[
\int_5^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_5^2
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]
Mae wedi'i brofi bod:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx.
\]
Cwestiwn Enghraifft 4: Priodweddau Adio Cyfnodau
Enghraifft o broblemau:
Os yw \(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) a \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\) yn hysbys, cyfrifwch werth \(\int_2^6 f(x) \, dx\).
Trafodaeth:
Gan ddefnyddio'r priodwedd adio cyfnodau:
\[
\int_2^6 f(x) \, dx = \int_2^4 f(x) \, dx + \int_4^6 f(x) \, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]
Casgliad
Mae gan yr integryn pendant lawer o briodweddau pwysig a all ein helpu i ddatrys gwahanol fathau o broblemau yn fwy effeithlon. Yn yr erthygl hon, rydym wedi trafod rhai o'r priodweddau sylfaenol hyn ac wedi darparu enghreifftiau sy'n dangos sut y gellir cymhwyso'r priodweddau hyn yn ymarferol. Gyda digon o ddealltwriaeth ac ymarfer, byddwch yn gallu datrys problemau integryn pendant gyda mwy o hyder.
