Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Cymedr (Cyfartaledd neu Gyfartaledd)
Mewn ystadegaeth, y cymedr yw un o'r mesurau mwyaf cyffredin o duedd ganolog. Gall y cymedr roi trosolwg cyffredinol o'r data sydd gennym, boed mewn addysg, economeg, neu'r gwyddorau cymdeithasol. Bydd yr erthygl hon yn cyflwyno sawl problem enghreifftiol sy'n gysylltiedig â chyfrifo'r cymedr a thrafodaeth fanwl o bob problem i'ch helpu i ddeall y cysyniad hwn yn well.
Deall Cymedr (Cyfartaledd)
Y cymedr rhifyddol, neu'r cyfartaledd, yw'r gwerth a geir drwy adio'r holl ddata ac yna ei rannu â nifer y pwyntiau data. Yn fathemategol, gellir ysgrifennu'r fformiwla ar gyfer y cyfartaledd fel a ganlyn:
\[ \text{Cymedr} = \frac{\sum x}{n} \]
Ble:
– \( \sum x \) yw cyfanswm yr holl ddata.
– \(n \) yw nifer y data.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1
Cwestiwn:
Cyfrifwch gymedr y data canlynol: 8, 10, 12, 14, 16.
Trafodaeth:
1. Adio'r holl ddata at ei gilydd:
\[ 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 60 \]
2. Cyfrifwch nifer y data:
\[ n = 5 \]
3. Defnyddiwch y fformiwla cymedrig:
\[ \text{Cymedr} = \frac{60}{5} = 12 \]
Felly, cymedr y data yw 12.
Cwestiwn Enghraifft 2
Cwestiwn:
O ystyried data pwysau (mewn kg) pump o unigolion: 55, 60, 65, 70, 75. Cyfrifwch y pwysau cymedrig.
Trafodaeth:
1. Ychwanegwch bwysau pob unigolyn:
\[ 55 + 60 + 65 + 70 + 75 = 325 \]
2. Cyfrifwch nifer y data:
\[ n = 5 \]
3. Defnyddiwch y fformiwla cymedrig:
\[ \text{Cymedr} = \frac{325}{5} = 65 \]
Felly, pwysau cymedrig y pum unigolyn yw 65 kg.
Cwestiwn Enghraifft 3
Cwestiwn:
Mewn dosbarth, sgoriau prawf mathemateg 6 myfyriwr yw 70, 75, 65, 80, 90, ac 85. Beth yw cymedr sgoriau'r profion mathemateg?
Trafodaeth:
1. Adio sgoriau prawf pob myfyriwr at ei gilydd:
\[ 70 + 75 + 65 + 80 + 90 + 85 = 465 \]
2. Cyfrifwch nifer y data:
\[ n = 6 \]
3. Defnyddiwch y fformiwla cymedrig:
\[ \text{Cymedr} = \frac{465}{6} = 77.5 \]
Felly, sgôr prawf mathemateg cyfartalog y dosbarth yw 77.5.
Defnyddio'r Cymedr mewn Dadansoddi Data
Cyfrifo'r cymedr yw'r cam cyntaf mewn dadansoddi data, ond mae dehongli'r cymedr yn gofyn am gyd-destun ehangach. Er enghraifft, yn yr enghreifftiau blaenorol, fe wnaethom gyfrifo cymedr sgoriau profion, pwysau, a data syml arall. Mae'r cymedrau hyn yn rhoi syniad cyffredinol, ond mae sawl peth pwysig i'w cofio wrth ddefnyddio'r cymedr fel mesur o duedd ganolog:
1. Sensitifrwydd i Allgleifion:
Mae cyfartaleddau’n sensitif iawn i allanolion neu ddata eithafol. Er enghraifft, mewn set o sgoriau prawf, sgoriodd un myfyriwr 0 tra bod y lleill yn sgorio uwchlaw 60. Byddai’r 0 hwn yn gostwng y cyfartaledd yn sylweddol, gan ei gwneud yn llai tebygol o adlewyrchu cyflawniad gwirioneddol mwyafrif y myfyrwyr.
2. Crynodeb Cyffredinol:
Mae'r cymedr yn darparu un gwerth sy'n cynrychioli'r data, ond nid yw'n darparu gwybodaeth am ddosbarthiad y data hwnnw. Gall dau set ddata wahanol gael yr un cymedr ond dosraniadau data gwahanol iawn.
Cwestiwn Enghraifft 4 (Gyda Gwerthoedd Allanol)
Cwestiwn:
Dyma sgoriau arholiad terfynol 6 myfyriwr: 78, 85, 82, 90, 88, a 30. Cyfrifwch gymedr y sgoriau arholiad terfynol.
Trafodaeth:
1. Cyfanswm sgoriau arholiad pob myfyriwr:
\[ 78 + 85 + 82 + 90 + 88 + 30 = 453 \]
2. Cyfrifwch nifer y data:
\[ n = 6 \]
3. Defnyddiwch y fformiwla cymedrig:
\[ \text{Cymedr} = \frac{453}{6} = 75.5 \]
Mae gwerth o 30 yn isel iawn ac yn effeithio ar y cymedr, gan ei wneud yn 75.5. Fodd bynnag, os anwybyddwn yr allanolion, cawn:
\[ \text{Cymedr heb 30} = \frac{78 + 85 + 82 + 90 + 88}{5} = \frac{423}{5} = 84.6 \]
Mae'r cyfartaledd heb allanolion yn llawer uwch, sy'n dangos pa mor arwyddocaol yw dylanwad y data eithafol.
Cyfrifo Cymedr Grŵp o Ddata a Ddefnyddir yn Aml
Yn aml, cyflwynir data ar ffurf tabl amlder. Mewn achosion o'r fath, rhaid inni ddefnyddio amlder fel lluosydd.
Cwestiwn Enghraifft 5
Cwestiwn:
O ystyried y data taldra ar gyfer grŵp o fyfyrwyr:
– 150 cm mae 5 myfyriwr
– 155 cm mae 8 myfyriwr
– 160 cm mae 7 myfyriwr
– 165 cm mae 10 myfyriwr
Cyfrifwch uchder cymedrig y myfyrwyr.
Trafodaeth:
1. Lluoswch bob uchder â'i amlder:
[(150 x 5) + (155 x 8) + (160 x 7) + (165 x 10) = 750 + 1240 + 1120 + 1650 = 4760]
2. Cyfanswm nifer yr amleddau (nifer y myfyrwyr):
\[ 5 + 8 + 7 + 10 = 30 \]
3. Defnyddiwch y fformiwla cymedrig:
\[ \text{Cymedr} = \frac{4760}{30} \tua 158.67 \]
Felly, mae taldra cyfartalog myfyrwyr tua 158.67 cm.
Cymhariaeth o'r Cymedr a'r Canolrif
Weithiau nid y cymedr yw'r mesur gorau o ganol y data, yn enwedig os oes allanolion. Mewn achosion o'r fath, gall y canolrif fod yn ddewis gwell. Y canolrif yw gwerth canol set ddata pan fydd y data wedi'i ddidoli.
Cwestiwn Enghraifft 6
Cwestiwn:
Cyfrifwch gymedr a chanolrif y data canlynol: 3, 5, 7, 8, 100.
Trafodaeth:
– Cyfrifwch y cymedr:
\[ \text{Cymedr} = \frac{3 + 5 + 7 + 8 + 100}{5} = \frac{123}{5} = 24.6 \]
– I benderfynu ar y canolrif, trefnwch y data:
\[ 3, 5, 7, 8, 100 \]
Y canolrif yw'r rhif yn y safle canol, sef 7.
Yma, mae'r canolrif (7) yn adlewyrchu'r rhan fwyaf o'r data yn well na'r cymedr (24.6) sy'n cael ei ddylanwadu gan yr allanolyn (100).
Casgliad
Mae cyfrifo'r cymedr yn gysyniad sylfaenol mewn ystadegaeth sy'n helpu i gael dealltwriaeth gyffredinol o set ddata. Fodd bynnag, mae'n bwysig rhoi cyd-destun i'r data ac ystyried defnyddio mesurau ystadegol eraill, fel y canolrif a'r modd, yn dibynnu ar y sefyllfa. Mae hefyd yn bwysig bod yn ymwybodol bob amser o ddylanwad allanolion wrth ddehongli'r cymedr. Gobeithio bod yr enghreifftiau a'r drafodaeth uchod wedi rhoi dealltwriaeth gliriach a mwy perthnasol o sut i gyfrifo a defnyddio'r cymedr.
