Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar y Cysyniad o Ddeilliadau Ffwythiannau
Mae deilliad ffwythiant yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws sydd â chymwysiadau eang mewn amrywiol ddisgyblaethau, megis ffiseg, economeg a pheirianneg. Bydd yr erthygl hon yn ymdrin â sawl problem enghreifftiol ac yn trafod y cysyniad o ddeilliad ffwythiant er mwyn rhoi dealltwriaeth ddyfnach o'r pwnc hwn.
Diffiniad Sylfaenol o Ddeilliadau
Cyn i ni fynd i mewn i'r cwestiynau enghreifftiol, mae'n syniad da adolygu'n fyr y diffiniad a hanfodion deilliadau. Deilliad ffwythiant \( f(x) \) yn y pwynt \( x = a \) yw:
\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
Gelwir y ffwythiant \( f'(x) \) yn ffwythiant deilliadol \( f(x) \).
Cwestiwn Enghraifft 1: Deilliadau Polynomial Sylfaenol
Cwestiwn:
Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \).
Trafodaeth:
Defnyddiwch y rheol ddeilliadol sylfaenol \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \).
1. Ar gyfer \( 3x^3 \):
[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. Ar gyfer \( -5x^2 \):
[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. Ar gyfer \( 2x \):
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. Ar gyfer \(-7 \):
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
Felly:
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Cwestiwn Enghraifft 2: Deilliadau Ffwythiannau Trigonometreg
Cwestiwn:
Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant \( g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Trafodaeth:
Defnyddiwch y rheol lluoswm \( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) gyda \( u(x) = \sin(x) \) a \( v(x) = \cos(x) \).
1. Deilliad \( \sin(x) \) yw \( \cos(x) \), felly \( u'(x) = \cos(x) \).
2. Deilliad \( \cos(x) \) yw \( -\sin(x) \), felly \( v'(x) = -\sin(x) \).
Amnewidiad \( u'(x) \) a \( v'(x) \):
[g'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \]
[g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Y canlyniad terfynol:
[g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Enghraifft 3: Deilliad o Ffwythiant Esbonyddol
Cwestiwn:
Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant \( h(x) = e^{2x} \).
Trafodaeth:
Defnyddiwch reol deilliad y ffwythiant esbonyddol (\frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx}) gyda (k = 2).
[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \]
[ h'(x) = 2 e^{2x} ]
Y canlyniad terfynol:
\[ h'(x) = 2e^{2x} \]
Cwestiwn Enghraifft 4: Deilliad o Ffwythiant Logarithmig
Cwestiwn:
Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant \( p(x) = \ln(3x + 1) \).
Trafodaeth:
Defnyddiwch reol deilliad y ffwythiant logarithmig \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) gyda \(u(x) = 3x + 1 \).
1. Dewch o hyd i'r deilliad mewnol \( u(x) = 3x + 1 \):
\[ u'(x) = 3 \]
2. Defnyddiwch y rheol ddeilliad logarithmig:
[p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \]
Y canlyniad terfynol:
[p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]
Cwestiwn Enghraifft 5: Cymhwyso Deilliadau – Uchafswm ac Isafswm
Cwestiwn:
Dewch o hyd i werthoedd uchaf ac isaf y ffwythiant \( q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5 \) ar y cyfwng \( x \in [-2, 2] \).
Trafodaeth:
1. Dewch o hyd i ddeilliad cyntaf \( q(x) \):
[q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5)]
\[ q'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \]
2. Dewch o hyd i'r pwyntiau llonydd drwy ddatrys \( q'(x) = 0 \):
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
Y pwyntiau llonydd yw \(x = 2 \) a \(x = -1 \).
3. Gwerthuswch \( q(x) \) mewn pwyntiau critigol a ffiniau cyfwng:
\[ q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5 \]
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
\[ q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5 \]
\[ = -16 + 12 + 24 – 5 \]
\[ = 15 \]
\[ q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5 \]
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. Gwerthuso canlyniadau:
– Mae'r gwerth mwyaf yn digwydd yn \(x = 2 \) gyda \(q(2) = 15 \).
– Mae'r gwerth lleiaf yn digwydd yn \(x = -1 \) gyda \(q(-1) = -12 \).
Cau
Mae dealltwriaeth drylwyr o gysyniad deilliad ffwythiant yn hanfodol mewn amrywiol feysydd gwyddoniaeth. Gobeithio y bydd y problemau enghreifftiol a'r trafodaethau uchod yn helpu i ddyfnhau eich dealltwriaeth o'r cysyniad. Yn ymarferol, yn aml mae angen i ni gyfuno amrywiol reolau a theoremau i ddatrys problemau mwy cymhleth. Dysgu hapus!
