Enghraifft o Gwestiynau Trafod Swm Riemann
Rhagymadrodd
Mae swm Riemann yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws a ddefnyddir i ddiffinio integryn pendant ffwythiant. Mae'r dull hwn yn defnyddio rhannu cyfwng a swm arwynebeddau petryalau i frasamcanu'r integryn. Bydd yr erthygl hon yn trafod cysyniad swm Riemann yn drylwyr, gan gynnwys enghreifftiau a thrafodaethau i hwyluso dealltwriaeth.
Cysyniad Sylfaenol Swm Riemannian
Cyn i ni drafod enghreifftiau, mae'n bwysig deall y cysyniad sylfaenol o symiau Riemannian. Gellir rhannu symiau Riemannian yn dair prif fath:
1. Swm Riemann chwith
2. Swm Riemann cywir
3. Swm canolbwynt Riemann
Mae'r dull hwn yn torri cyfwng y ffwythiant i'w integreiddio yn is-gyfyngau llai o hyd cyfartal. Yna defnyddir pob un o'r is-gyfyngau hyn i ffurfio petryal y mae ei uchder yn cael ei bennu gan werth y ffwythiant mewn pwynt penodol o fewn yr is-gyfwng (chwith, dde, neu ganol).
Fformiwla Gyffredinol ar gyfer Swm Riemann
Tybiwch ein bod am integreiddio'r ffwythiant \(f(x) \) o \(a \) i \(b \). Rydym yn rhannu'r cyfnod \([a, b] \) yn \(n \) is-gyfyngau cyfartal o hyd \(Δx = \frac{ba}{n} \). Gellir ysgrifennu symiau Riemann ar gyfer y tri math a grybwyllir uchod fel a ganlyn:
1. Riemann Chwith:
[L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Deltax \]
2. Riemann Dde:
[R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Deltax \]
3. Riemann Canol:
[M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) \Deltax \]
Ble:
– \( \Deltax \) yw lled pob is-gyfwng.
– \( x_i \) yw man cychwyn yr i-fed is-gyfwng ar gyfer swm chwith Riemann.
– \( x_i \) yw pwynt terfynol yr i-fed is-gyfwng ar gyfer swm cywir Riemann.
– \( \frac{x_i + x_{i+1}}{2} \) yw canolbwynt yr i-fed is-gyfwng ar gyfer swm canol Riemann.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Gadewch i ni drafod problemau enghreifftiol ar gyfer pob math o Swm Riemann i ddyfnhau ein dealltwriaeth.
Enghraifft 1: Swm Riemann Chwith
Cyfrifwch swm chwith Riemann ar gyfer \(f(x) = x^2 \) ar y cyfwng \([0, 2]\) gyda \(n = 4 \).
Trafodaeth:
1. Lled yr Is-gyfwng (Δx):
[ \Deltax = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Pwynt Rhannu'r Cyfnod (chwith):
\[ x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5 \]
3. Gwerth y Ffwythiant wrth y Pwynt Rhannu:
\[ f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0 \]
\[ f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \]
\[ f(x_2) = f(1.0) = (1.0)^2 = 1 \]
\[ f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25 \]
4. Swm Riemann Chwith (Ln):
[L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) Δx = (0) ⋅ 0.5 + (0.25) ⋅ 0.5 + (1) ⋅ 0.5 + (2.25) ⋅ 0.5]
\[ L_n = 0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 \]
\[ L_n = 1.75 \]
Enghraifft 2: Swm Riemann Dde
Cyfrifwch y swm Riemann cywir ar gyfer \(f(x) = x^2 \) ar y cyfwng \([0, 2]\) gyda \(n = 4 \).
Trafodaeth:
1. Lled yr Is-gyfwng (Δx):
[ \Deltax = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Pwynt Rhannu Cyfwng (dde):
\[ x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, x_4 = 2.0 \]
3. Gwerth y Ffwythiant wrth y Pwynt Rhannu:
\[ f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \]
\[ f(x_2) = f(1.0) = (1.0)^2 = 1 \]
\[ f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25 \]
\[ f(x_4) = f(2.0) = (2.0)^2 = 4 \]
4. Swm Riemann Dde (Rn):
[R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) Δx = (0.25) ⋅0.5 + (1) ⋅0.5 + (2.25) ⋅0.5 + (4) ⋅0.5]
\[ R_n = 0.125 + 0.5 + 1.125 + 2 \]
\[ R_n = 3.75 \]
Enghraifft 3: Swm Riemann Canol
Cyfrifwch swm canol Riemann ar gyfer \(f(x) = x^2 \) ar y cyfwng \([0, 2]\) gyda \(n = 4 \).
Trafodaeth:
1. Lled yr Is-gyfwng (Δx):
[ \Deltax = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Canolbwynt yr Is-gyfwng:
\[ x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, \text{ a } x_{n-1}=2.0 \]
Canolbwynt yr is-gyfwng:
\[tm_0 = \left(\frac{0 + 0.5}{2}\right)=0.25 \]
\[tm_1 = \left(\frac{0.5 + 1.0}{2}\right)=0.75 \]
\[tm_2 = \left(\frac{1.0 + 1.5}{2}\right)=1.25 \]
\[tm_3 = \left(\frac{1.5 + 2.0}{2}\right)=1.75 \]
3. Gwerth y Swyddogaeth ar y Canolbwynt:
\[ f(0.25) = (0.25)^2 = 0.0625 \]
\[ f(0.75) = (0.75)^2 = 0.5625 \]
\[ f(1.25) = (1.25)^2 = 1.5625 \]
\[ f(1.75) = (1.75)^2 = 3.0625 \]
4. Swm Riemann Canolog (Mn):
[M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(tm_i) Δx = (0.0625) ⋅0.5 + (0.5625) ⋅0.5 + (1.5625) ⋅0.5 + (3.0625) ⋅0.5]
\[ M_n = 0.03125 + 0.28125 + 0.78125 + 1.53125 \]
\[ M_n = 2.625 \]
Casgliad
Mae'r erthygl hon wedi trafod sut i gyfrifo symiau Riemann chwith, dde, a chanol, ynghyd ag enghreifftiau manwl. Mae dull swm Riemann yn darparu ffordd effeithiol o frasamcanu integryn ffwythiant trwy rannu ei chyfwng yn is-gyfyngau bach a chyfrifo cyfanswm arwynebedd pob is-gyfwng. Mae dealltwriaeth dda o swm Riemann yn hanfodol i'r rhai sy'n astudio calcwlws neu'n gweithio gyda ffwythiannau cymhleth mewn amrywiol feysydd gwyddonol.
