Enghraifft o Gwestiwn Trafod ar Ddosbarthiad Normal
Y dosraniad arferol, a elwir hefyd yn ddosraniad Gaussaidd, yw'r dosraniad tebygolrwydd a ddefnyddir amlaf mewn ystadegau. Mae gan y dosraniad hwn siâp cloch gymesur, sy'n dangos bod y data wedi'i drefnu o amgylch y cymedr a bod tebygolrwydd eithafion (gwerthoedd ymhell o'r cymedr) yn isel.
Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod amrywiol broblemau enghreifftiol sy'n cynnwys y dosraniad arferol a sut i'w datrys. Byddwn yn dechrau trwy gyflwyno rhai cysyniadau sylfaenol ac yna'n symud ymlaen i enghreifftiau mwy cymhleth.
Hanfodion Dosbarthiad Normal
Mae'r dosraniad arferol yn ddosraniad parhaus gyda dau baramedr: y cymedr a'r gwyriad safonol (SD). Mae'r cymedr yn pennu canol y dosraniad, tra bod y gwyriad safonol yn pennu lled y dosraniad.
Nodweddion pwysig y dosraniad arferol:
1. Cymesuredd: Mae'r dosraniad arferol yn gymesur o amgylch y cymedr.
2. Rheol Empirig (Rheol Empirig):
– Mae tua 68% o'r data o fewn un gwyriad safonol o'r cymedr.
– Mae tua 95% o'r data o fewn dau wyriad safonol o'r cymedr.
– Mae tua 99.7% o'r data o fewn tri gwyriad safonol o'r cymedr.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1: Cyfrifo'r Sgôr-Z
Cwestiwn: Mae gan arholiad sgôr gyfartalog o 70 gyda gwyriad safonol o 10. Mae myfyriwr yn cael sgôr o 80. Beth yw sgôr-Z y myfyriwr?
Datrysiad:
Mae'r sgôr-Z yn fesur o faint o wyriadau safonol yw gwerth o'r cymedr.
Fformiwla sgôr-Z:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
Ble:
– \( X \) yw'r gwerth a welwyd.
– \( \mu \) yw'r cyfartaledd.
– \( \sigma \) yw'r gwyriad safonol.
Mae'n hysbys:
– \( X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Cymhwyso'r fformiwla:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Felly, sgôr-Z y myfyriwr yw 1, sy'n golygu bod sgôr o 80 un gwyriad safonol uwchlaw'r cymedr.
Cwestiwn Enghraifft 2: Tebygolrwydd Gwerth Penodol
Cwestiwn: Mewn dosraniad arferol gyda chymedr o 100 a gwyriad safonol o 15, beth yw'r tebygolrwydd o ddod o hyd i werth islaw 85?
Datrysiad:
Y camau:
1. Cyfrifwch y sgôr-Z ar gyfer y gwerth \( X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Defnyddiwch dabl-Z neu gyfrifiannell ystadegol i ddod o hyd i'r tebygolrwydd sy'n cyfateb i sgôr-Z o -1. Mewn tabl-Z, mae tebygolrwydd sgôr-Z o -1 tua 0.1587.
Felly, y tebygolrwydd o ddod o hyd i werth islaw 85 yw 0.1587 neu 15.87%.
Cwestiwn Enghraifft 3: Defnyddio Rheolau Empirig
Cwestiwn: Gwyddys bod dosbarthiad sgoriau arholiadau mathemateg mewn ysgolion yn dilyn dosbarthiad arferol gyda chymedr o 75 a gwyriad safonol o 8. Pa gyfran o fyfyrwyr a sgoriodd rhwng 67 ac 83?
Datrysiad:
Camau:
1. Cyfrifwch y sgôr-Z ar gyfer y gwerthoedd 67 ac 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Yn ôl rheolau empirig, mae gwerthoedd rhwng -1 SD a +1 SD o'r cymedr yn cwmpasu tua 68% o'r boblogaeth.
Felly, roedd cyfran y myfyrwyr a sgoriodd rhwng 67 ac 83 tua 68%.
Cwestiwn Enghraifft 4: Cyfrifo Gwerthoedd o Ganrannau
Cwestiwn: Os yw taldra cyfartalog dynion sy'n oedolion mewn gwlad yn 175 cm gyda gwyriad safonol o 7 cm, pa daldra sydd ar y 90fed ganradd?
Datrysiad:
Camau:
1. Dewch o hyd i'r sgôr Z sy'n cyfateb i'r 90fed ganradd. Yn seiliedig ar y tabl Z, y sgôr Z sydd agosaf at 0.9000 yw tua 1.28.
2. Defnyddiwch y fformiwla i gyfrifo gwerth \( X \):
[X = \mu + Z \times \sigma \]
\[ X = 175 + 1.28 \times 7 \]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]
Felly, mae'r uchder yn y 90fed ganradd tua 183.96 cm.
Cwestiwn Enghraifft 5: Tebygolrwydd Cyfnod Penodol
Cwestiwn: O ystyried bod dosbarthiad pwysau newydd-anedig yn dilyn dosbarthiad arferol gyda chymedr o 3.5 kg a gwyriad safonol o 0.5 kg, beth yw'r tebygolrwydd y bydd babi yn pwyso rhwng 3 kg a 4 kg?
Datrysiad:
Camau:
1. Cyfrifwch y sgôr-Z ar gyfer y gwerthoedd 3 kg a 4 kg:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Mae'r tebygolrwydd ar gyfer sgôr-Z rhwng -1 ac 1 yn seiliedig ar y tabl Z tua 0.6826 neu 68.26%.
Felly, mae'r tebygolrwydd y bydd babi yn pwyso rhwng 3 kg a 4 kg tua 68.26%.
Casgliad
Mae'r dosraniad arferol yn gysyniad sylfaenol mewn ystadegaeth sy'n hanfodol ac sydd â llawer o gymwysiadau yn y byd go iawn. Yn yr erthygl hon, rydym wedi egluro cysyniadau sylfaenol y dosraniad arferol ac wedi datrys sawl enghraifft i ddyfnhau ein dealltwriaeth.
Mae deall y dosraniad normal nid yn unig yn bwysig ar gyfer ystadegau ond hefyd ar gyfer amrywiol feysydd ymarferol fel seicoleg, economeg, a gwyddorau cymdeithasol eraill. Gyda digon o ymarfer, gall datrys problemau dosraniad normal ddod yn fwy greddfol a chynorthwyo wrth wneud penderfyniadau sy'n seiliedig ar ddata.
