Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Cyfresi Rhifyddeg
Mae dilyniannau rhifyddeg yn gysyniad sylfaenol mewn mathemateg sy'n ymddangos yn aml mewn amrywiol broblemau, yn yr ysgol uwchradd ac addysg uwch. Mae'r cysyniad hwn yn cynnwys dilyniant o rifau lle mae pob term yn ganlyniad adio neu dynnu rhif cyson o'r term blaenorol. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol a'u hatebion i ddeall cysyniad dilyniannau rhifyddeg ymhellach.
Deall Cyfresi Rhifyddeg
Cyfres rifyddol yw cyfres sydd â gwahaniaeth cyson (gwahaniaeth) rhwng dau derm olynol. Er enghraifft, os oes gan gyfres rifyddol y term cyntaf \(a\) a'r gwahaniaeth \(d\), yna gellir ysgrifennu'r termau fel a ganlyn:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Os ydym am ddod o hyd i'r nfed term yn y gyfres hon, y fformiwla ar gyfer yr nfed term (\(U_n\)) yw:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Yn y cyfamser, gellir cyfrifo swm yr n term cyntaf o gyfres rifyddol (\(S_n\)) gan ddefnyddio'r fformiwla:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)]
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1
Cwestiwn: O ystyried cyfres rifyddol gyda'r term cyntaf _(a = 5_) a'r gwahaniaeth cyffredin _(d = 3_). Dewch o hyd i'r 10fed term yn y gyfres.
Trafodaeth:
I ddod o hyd i'r 10fed term (\(U_{10}\)), gallwn ddefnyddio'r fformiwla term nfed:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Felly, y 10fed term yn y gyfres yw 32.
Cwestiwn Enghraifft 2
Cwestiwn: Dewch o hyd i swm y 15 term cyntaf o'r gyfres rifyddol y mae ei therm cyntaf yn \(a = 4\) a'i gwahaniaeth cyffredin yn \(d = 7\).
Trafodaeth:
I ddod o hyd i swm y 15 term cyntaf (\(S_{15}\)), gallwn ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer swm yr n term cyntaf:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
[S_{15} = \frac{15}{2} (2 ⋅ 4 + 14 ⋅ 7)]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 ⋅ 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
Felly, swm y 15 term cyntaf yn y gyfres yw 795.
Cwestiwn Enghraifft 3
Cwestiwn: Gwyddys mai 20 yw 5ed term cyfres rifyddol a 48 yw'r 12fed term. Dewch o hyd i'r term cyntaf (\(a\)) a'r gwahaniaeth cyffredin (\(d\)) yn y gyfres.
Trafodaeth:
O'r amodau a roddir:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Mae gennym ddau hafaliad llinol gyda dau newidyn y gallwn eu datrys:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
O hafaliad 1, gallwn fynegi \(a\) yn nhermau \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Nawr rydym yn amnewid \(a\) i hafaliad 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Nawr rydym yn amnewid gwerth \(d\) i'r hafaliad \(a = 20 – 4d\):
[a = 20 – 4 ⋅ 4]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Felly, term cyntaf y gyfres yw 4 a'r gwahaniaeth cyffredin yw 4.
Cwestiwn Enghraifft 4
Cwestiwn: Faint o dermau sydd eu hangen ar gyfer cyfres rifyddol gyda'r term cyntaf \(a = 2\) a'r gwahaniaeth cyffredin \(d = 5\) i gyfansoddi i 200?
Trafodaeth:
Yn yr achos hwn, mae angen i ni ddod o hyd i swm yr n term cyntaf (\(S_n\)) sy'n hafal i 200. Defnyddiwch y fformiwla ar gyfer swm yr n term cyntaf:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Amnewidiwch werthoedd \(a\) a \(d\):
[\frac{n}{2} (2 ⋅2 + (n-1) ⋅5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Hafaliad cwadratig yw hwn. I'w ddatrys, rydym yn newid ei ffurf:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Defnyddiwch y fformiwla cwadratig \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Yn yr achos hwn (a = 5), (b = -1), a (c = -400):
[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Mae gwerth \(\sqrt{8001}\) yn agos at 89.42, yna:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Rydym yn cymryd y gwerthoedd cadarnhaol:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \tua 9.042 \]
Felly, nifer y termau sydd eu hangen yw 9 term (os caiff ei dalgrynnu).
Casgliad
Mae dilyniannau rhifyddeg yn bwnc hollbwysig mewn mathemateg. Mae dealltwriaeth drylwyr o'r term cyntaf, y gwahaniaeth cyffredin, yr nfed term, a swm yr n term cyntaf yn amhrisiadwy ar gyfer datrys amrywiaeth eang o broblemau. Drwy ddefnyddio'r enghreifftiau a'r trafodaethau uchod, gobeithir y bydd darllenwyr yn cael gwell dealltwriaeth o gysyniadau sylfaenol dilyniannau rhifyddeg.
