Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Cyfresi Geometreg
Mae dilyniannau geometrig yn gysyniad sylfaenol mewn mathemateg a ddysgir yn aml yn yr ysgol uwchradd. Mae'r dilyniannau hyn yn cynnwys set o rifau, pob un ohonynt yn gynnyrch y rhif blaenorol gan gysonyn a elwir yn "gymhareb". Bydd yr erthygl hon yn ymdrin â sawl problem enghreifftiol a thrafodaeth o ddilyniannau geometrig, gan obeithio helpu darllenwyr i ddeall y cysyniad hwn yn well.
Deall Cyfresi Geometreg
Dilyniant geometrig yw dilyniant o rifau a ffurfir drwy luosi rhif cyntaf (a) â chymhareb sefydlog (r). Yn gyffredinol, ffurf gyffredinol dilyniant geometrig yw:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
Yma:
– “a” yw term cyntaf y dilyniant.
– “r” yw cymhareb un term i’r term blaenorol.
– “n” yw’r nfed term yn y dilyniant.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Gadewch i ni drafod rhai problemau enghreifftiol i ddeall mwy am ddilyniannau geometrig.
Cwestiwn Enghraifft 1
Cwestiwn:
O ystyried dilyniant geometrig gyda'r term cyntaf (a) yn 3 a'r gymhareb (r) yn 2. Penderfynwch:
1. Y 5fed term yn y dilyniant.
2. Swm y 6 term cyntaf yn y dilyniant.
Trafodaeth:
1. Gellir cyfrifo'r 5ed term (U5) gan ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer yr nfed term mewn dilyniant geometrig, sef:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Gan amnewid a = 3, r = 2, ac n = 5 yn y fformiwla:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
Felly, y 5fed term yn y dilyniant yw 48.
2. Gellir cyfrifo swm y 6 term cyntaf (S6) o ddilyniant geometrig gan ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer swm yr n term cyntaf, sef:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
Gan amnewid a = 3, r = 2, ac n = 6 yn y fformiwla:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \chwith( 63 \dde) \]
\[ S_6 = 189 \]
Felly, swm y 6 term cyntaf yn y dilyniant yw 189.
Cwestiwn Enghraifft 2
Cwestiwn:
Mae gan ddilyniant geometrig 3ydd term o 27 a 5ed term o 243. Pennwch werth y term cyntaf (a) a'r gymhareb (r).
Trafodaeth:
O ystyried U3 = 27 ac U5 = 243. Gan ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer yr nfed term mewn dilyniant geometrig:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Ar gyfer U3:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
Ar gyfer U5:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
Cymharu hafaliadau (1) a (2) i ddileu:
[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a r^4}{a r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ neu } r = -3 \]
Amnewidiwch werth r i hafaliad (1):
Os yw r = 3:
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Os yw \(r = -3 \):
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Felly, y term cyntaf (a) yw 3, a gall y gymhareb (r) fod yn 3 neu -3.
Cwestiwn Enghraifft 3
Cwestiwn:
Dewch o hyd i swm anfeidraidd y gyfres geometrig ganlynol os yw'r term cyntaf (a) yn 8 a'r gymhareb (r) yn 1/2.
Trafodaeth:
Gellir cyfrifo swm anfeidraidd cyfres geometrig gan ddefnyddio'r fformiwla:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
Gan amnewid a = 8 ac r = 1/2 yn y fformiwla:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
Felly, swm anfeidraidd y gyfres geometrig yw 16.
Cwestiwn Enghraifft 4
Cwestiwn:
Mae gan ddilyniant geometrig ail derm o 12 a phedwerydd term o 108. Pennwch y gymhareb a'r term cyntaf yn y dilyniant.
Trafodaeth:
O ystyried \( U_2 = 12 \) a \( U_4 = 108 \). Gan ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer yr nfed term o ddilyniant geometrig:
Ar gyfer \( U_2 \):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
Ar gyfer \( U_4 \):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
Cymharu hafaliadau (1) a (2) i ddileu:
[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a r^3}{a r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ neu } r = -3 \]
Amnewidiwch werth r i hafaliad (1):
Os yw r = 3:
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
Os yw \(r = -3 \):
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
Felly, gall y term cyntaf (a) fod yn 4 neu -4, a gall y gymhareb (r) fod yn 3 neu -3.
Casgliad
Mae dilyniannau geometrig yn gysyniad mathemategol pwysig a ddefnyddir yn aml mewn gwahanol feysydd. Drwy ddeall y pethau sylfaenol ac ymarfer sgiliau datrys problemau, gobeithio y gallwn ddod yn fwy hyfedr wrth ddeall a chymhwyso'r cysyniad. Mae'r erthygl hon yn cynnwys sawl problem enghreifftiol a thrafodaeth i helpu darllenwyr i ddysgu a deall dilyniannau geometrig yn ddyfnach. Gobeithiwn fod hyn yn ddefnyddiol!
