Enghraifft o gwestiwn trafod ar gymhwyso deilliadau
Mae'r deilliad yn gysyniad sylfaenol o galcwlws sydd â nifer o gymwysiadau ym mywyd bob dydd a meysydd gwyddoniaeth eraill, fel ffiseg, economeg, bioleg a pheirianneg. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol ac yn trafod cymwysiadau deilliadau, yn enwedig yng nghyd-destun optimeiddio a dadansoddi ffwythiannau.
Cyflwyniad i Gymwysiadau Deilliedig
Yn ei hanfod, mae deilliad ffwythiant yn darparu gwybodaeth am gyfradd newid y ffwythiant hwnnw mewn perthynas â'i newidyn annibynnol. Yr enghraifft symlaf yw cyflymder, sef deilliad safle mewn perthynas ag amser. Yn fwy cyffredinol, gellir defnyddio deilliadau i ddod o hyd i werthoedd uchaf ac isaf ffwythiant, pennu cyfnodau y mae ffwythiant yn cynyddu neu'n lleihau drostynt, a darparu gwybodaeth am briodweddau ac ymddygiad graffigol ffwythiant.
Cwestiwn Enghraifft 1: Dod o Hyd i'r Gwerthoedd Uchaf a Lleiaf
Cwestiwn:
Pennwch bwyntiau uchaf ac isaf y ffwythiant \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \).
Trafodaeth:
1. Dod o hyd i'r deilliad cyntaf:
I ddod o hyd i'r pwyntiau critigol, mae angen i ni ddod o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant a'i hafalu i sero.
\[
f'(x) = 3x^2 – 6x
\]
\[
3x^2 – 6x = 0
\]
2. Datryswch yr hafaliad:
Rydym yn ffactorio'r hafaliad:
\[
3x(x – 2) = 0
\]
Felly, cawn bwyntiau critigol yn \(x = 0 \) a \(x = 2 \).
3. Dadansoddwch yr ail ddeilliad:
I benderfynu a yw'r pwyntiau critigol yn uchafbwyntiau neu'n isafbwyntiau, mae angen i ni ddod o hyd i ail ddeilliad y ffwythiant:
\[
f”(x) = 6x – 6
\]
Gwerthusiad ar bwyntiau critigol:
\[
f”(0) = 6(0) – 6 = -6 \, (\text{negatif, felly mae\ } x = 0 \text{\ yn uchafswm lleol})
\]
\[
f”(2) = 6(2) – 6 = 6 \, (\text{positif, felly\ } x = 2 \text{\ yn isafswm lleol})
\]
4. Cyfrifwch y gwerthoedd uchaf ac isaf:
Amnewidiwch y pwyntiau critigol yn y ffwythiant gwreiddiol:
\[
f(0) = 0^3 – 3 ⋅ 0^2 + 4 = 4 ⋅ (uchafswm)
\]
\[
f(2) = 2^3 – 3 ⋅ 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0 ⋅ (isafswm)
\]
Felly, mae gan y ffwythiant \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) uchafswm lleol yn \( (0, 4) \) ac isafswm lleol yn \( (2, 0) \).
Cwestiwn Enghraifft 2: Optimeiddio gyda Chyfyngiadau
Cwestiwn:
Mae ffermwr eisiau adeiladu lloc petryalog sy'n ffinio ag afon. O ystyried 100 metr o ffens, pennwch ddimensiynau'r lloc i wneud y mwyaf o'i arwynebedd.
Trafodaeth:
1. Gwnewch hafaliad:
Tybiwch fod hyd y lloc sy'n gyfochrog â'r afon yn \(x \) metr a'r lled yn \(y \) metr. Gan fod un ochr yn ffinio â'r afon, mae'r ffens sydd ei hangen ar gyfer tair ochr.
\[
2y + x = 100
\]
2. Dewch o hyd i'r arwynebedd mwyaf:
Arwynebedd y cawell \( A \) yw:
\[
A = x ≥ y
\]
O hafaliad y ffens, gallwn fynegi \( y \) yn nhermau \(x \):
\[
y = \frac{100 – x}{2}
\]
Felly, mae'r hafaliad ar gyfer arwynebedd yn dod yn:
\[
A(x) = x \cdot \frac{100 – x}{2} = 50x – \frac{x^2}{2}
\]
3. Dod o hyd i'r deilliad cyntaf:
I ddod o hyd i'r gwerth mwyaf, rydym yn dod o hyd i ddeilliad cyntaf \( A(x) \):
\[
A'(x) = 50 – x
\]
Cyfartalu i sero:
\[
50 – x = 0 \implies x = 50
\]
4. Cyfrifwch werth \(y \):
Amnewidiwch \(x = 50 \) yn yr hafaliad:
\[
y = \frac{100 – 50}{2} = 25
\]
Felly, dimensiynau'r cawell sy'n darparu'r arwynebedd mwyaf yw 50 metr o hyd a 25 metr o led.
Cwestiwn Enghraifft 3: Pennu'r Cyflymder Uchaf
Cwestiwn:
Mae gronyn yn symud ar hyd llinell syth gyda'i safle wedi'i fynegi fel ffwythiant o amser (s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1). Penderfynwch ar gyflymder uchaf y gronyn.
Trafodaeth:
1. Penderfynwch y cyflymder (deilliad safle):
Cyflymder gronyn yw'r deilliad cyntaf o safle mewn perthynas ag amser:
\[
v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 – 12t + 9
\]
2. Penderfynwch yr ail ddeilliad:
I ddod o hyd i'r pwyntiau mwyaf, rydym yn dod o hyd i'r ail ddeilliad:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t – 12
\]
3. Dod o hyd i'r pwynt critigol:
Hafalu'r deilliad cyntaf o'r cyflymder i sero:
\[
3t^2 – 12t + 9 = 0
\]
Rhannwch â 3:
\[
t^2 – 4t + 3 = 0
\]
Ffactorio:
\[
(t – 3)(t – 1) = 0
\]
Felly, y pwyntiau critigol yw \(t = 1 \) a \(t = 3 \).
4. Dadansoddwch gyflymiad i ddod o hyd i'r uchafswm:
\[
a(1) = 6(1) – 12 = -6 \implies t = 1 \text{\ yn uchafswm lleol}
\]
\[
a(3) = 6(3) – 12 = 6 \implies t = 3 \text{\ yn isafswm lleol}
\]
5. Cyfrifo'r cyflymder uchaf:
Amnewidiwch \(t = 1 \) yn yr hafaliad cyflymder:
\[
v(1) = 3(1)^2 – 12(1) + 9 = 3 – 12 + 9 = 0 \, (\text{ddim yn ddiddorol})
\]
Gwiriwch derfynau neu bwyntiau cyfwng perthnasol eraill i sicrhau'r ateb gorau.
Gyda'r camau hyn, gallwn lunio patrwm datrysiad yn seiliedig ar ddeilliadau ar gyfer y gwahanol broblemau cymhwyso uchod.
Casgliad
Mae'r enghreifftiau uchod yn dangos sut y gellir defnyddio deilliadau i ddatrys problemau mewn amrywiaeth o gyd-destunau. Mae dod o hyd i werthoedd uchaf ac isaf, optimeiddio cyfyngedig, a dadansoddi symudiadau yn ddim ond ychydig o gymwysiadau o'r cysyniad o ddeilliadau. Mae meistroli'r technegau a'r dulliau hyn yn hanfodol i'r rhai sy'n astudio mathemateg uwch a disgyblaethau cysylltiedig.
