Enghreifftiau o Gwestiynau sy'n Trafod Cymhwyso Deilliadau mewn Amrywiol Feysydd Gwyddoniaeth
Rhagymadrodd
Mae'r deilliad yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws gyda nifer o gymwysiadau mewn gwahanol feysydd gwyddoniaeth a pheirianneg. Mae'n disgrifio cyfradd newid ffwythiant a gellir ei ddefnyddio i nodi uchafswm a lleiafswm, datrys problemau optimeiddio, a dadansoddi twf a dirywiad mewn system. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol ac yn trafod cymwysiadau deilliadau mewn gwahanol feysydd gwyddoniaeth, megis ffiseg, economeg, bioleg a pheirianneg.
1. Ffiseg: Cyflymiad fel Deilliad o Gyflymder
Mewn ffiseg, cyflymiad yw deilliad cyflymder mewn perthynas ag amser. Problem enghreifftiol yn y cyd-destun hwn yw:
Enghraifft o broblemau:
Mae gwrthrych yn symud ar hyd llinell syth gyda'r ffwythiant safle \(s(t) = 4t^3 – 3t^2 + 2t – 1\) metr, lle mae \(t\) mewn eiliadau. Pennwch gyflymder a chyflymiad y gwrthrych ar \(t = 2\) eiliad.
Trafodaeth:
Cyflymder yw'r deilliad cyntaf o safle mewn perthynas ag amser:
\[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(4t^3 – 3t^2 + 2t – 1) \]
\[ v(t) = 12t^2 – 6t + 2 \]
Cyflymiad yw'r deilliad cyntaf o gyflymder mewn perthynas ag amser:
[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(12t^2 – 6t + 2) \]
\[ a(t) = 24t – 6 \]
Felly, y cyflymder ar \(t = 2\) eiliad yw:
\[ v(2) = 12(2)^2 – 6(2) + 2 = 48 – 12 + 2 = 38 \, \text{m/s} \]
Y cyflymiad ar \(t = 2\) eiliad yw:
[ a(2) = 24(2) – 6 = 48 – 6 = 42 \, \text{m/s}^2 \]
2. Economeg: Optimeiddio Elw
Mewn economeg, defnyddir deilliadau yn aml i bennu pwyntiau uchaf neu isaf ffwythiant elw neu gost. Problem enghreifftiol yn y cyd-destun hwn yw:
Enghraifft o broblemau:
Mae cwmni'n cynhyrchu nwyddau gyda ffwythiant elw \(P(x) = -2x^2 + 12x – 20\), lle mae \(x\) yn nifer yr unedau a gynhyrchwyd a'u gwerthu. Faint o unedau y dylid eu cynhyrchu i wneud y mwyaf o elw, a beth yw'r mwyaf o elw?
Trafodaeth:
I wneud y mwyaf o elw, mae angen i ni ddod o hyd i ddeilliad cyntaf \(P(x)\) a dod o hyd i'w bwyntiau critigol.
[P'(x) = \frac{d}{dt}(-2x^2 + 12x – 20) \]
\[ P'(x) = -4x + 12 \]
Dewch o hyd i'r pwynt critigol drwy ddatrys \(P'(x) = 0\):
\[ -4x + 12 = 0 \]
\[x = 3 \]
Mae angen i ni sicrhau bod \(x = 3\) yn bwynt uchaf drwy ddefnyddio'r ail ddeilliad.
[P”(x) = \frac{d}{dt}(-4x + 12) \]
\[ P”(x) = -4 \]
Gan fod \(P”(3) = -4 < 0\), mae hyn yn dangos bod \(x = 3\) yn bwynt uchaf. Yr elw uchaf yw: \[ P(3) = -2(3)^2 + 12(3) - 20 \] \[ P(3) = -18 + 36 - 20 \] \[ P(3) = -2 \] Felly, nifer yr unedau y mae'n rhaid eu cynhyrchu i wneud yr elw mwyaf yw 3 uned, a'r elw uchaf yw -2. 3. Bioleg: Cyfradd Twf Poblogaeth Mewn bioleg, defnyddir deilliadau i ddadansoddi cyfraddau twf poblogaeth. Problem enghreifftiol yn y cyd-destun hwn yw: Problem Enghraifft: Tybiwch fod maint poblogaeth rhywogaeth yn cael ei roi gan y ffwythiant \(P(t) = 100e^{0.05t}\), lle mae \(t\) yn cynrychioli'r amser mewn blynyddoedd. Dewch o hyd i'r gyfradd twf poblogaeth yn \(t = 10\). Datrysiad: Y gyfradd twf poblogaeth yw deilliad \(P(t)\) mewn perthynas ag amser: \[ P'(t) = \frac{d}{dt}(100e^{0.05t}) \] \[ P'(t) = 100 \cdot 0.05e^{0.05t} \] \[ P'(t) = 5e^{0.05t} \] Cyfradd twf y boblogaeth ar \(t = 10\) yw: \[ P'(10) = 5e^{0.05(10)} \] \[ P'(10) = 5e^{0.5} \] Drwy gyfrifo gwerth esbonyddol \(e^{0.5}\) (tua 1.64872): \[ P'(10) \approx 5 \cdot 1.64872 \] \[ P'(10) \approx 8.2436 \] Felly, cyfradd twf y boblogaeth ar \(t = 10\) yw tua 8.24 o unigolion y flwyddyn. 4. Peirianneg: Dylunio Optimaidd o Cylchedau Trydanol Mewn peirianneg, yn enwedig peirianneg drydanol, defnyddir deilliadau i optimeiddio dyluniad cylchedau. Dyma broblem enghreifftiol yn y cyd-destun hwn: Problem Enghraifft: O ystyried ffwythiant defnydd pŵer \(P(R) = V^2 / R + I^2 R\), lle mae \(V\) yn foltedd cyson, \(I\) yn gerrynt cyson, ac \(R\) yn wrthiant. Pennwch werth \(R\) sy'n lleihau'r defnydd o bŵer. Datrysiad: Y deilliad cyntaf o \(P(R)\) mewn perthynas â \(R\) yw: \[ P'(R) = \frac{d}{dR}\left(\frac{V^2}{R} + I^2 R\right) \] \[ P'(R) = -\frac{V^2}{R^2} + I^2 \] I ddod o hyd i werth \(R\) sy'n lleihau'r defnydd o bŵer, rydym yn dod o hyd i \(P'(R) = 0\): \[ -\frac{V^2}{R^2} + I^2 = 0 \] \[ \frac{V^2}{R^2} = I^2 \] \[ R^2 = \frac{V^2}{I^2} \] \[ R = \frac{V}{I} \] Felly, y gwerth gwrthiant \(R\) sy'n lleihau'r defnydd o bŵer yw \(R = \frac{V}{I}\). Casgliad O'r enghreifftiau uchod, rydym wedi gweld sut mae'r cysyniad o ddeilliadau yn cael ei gymhwyso mewn amrywiol feysydd gwyddoniaeth megis ffiseg, economeg, bioleg a pheirianneg. Mae dealltwriaeth ddofn o ddeilliadau a'u cymwysiadau yn caniatáu inni ddatrys amrywiol broblemau cymhleth ac optimeiddio systemau mewn bywyd go iawn. Mae deilliadau yn offer dadansoddol pwerus iawn ac maent yn ddefnyddiol wrth ddeall dynameg a newidiadau mewn amrywiol gyd-destunau.
