Moment hybnosti

Moment hybnosti

Velikost rotačního pohybu, která je shodná s hmotností (m) při lineárním pohybu, je moment setrvačnosti (I). Velikost rotačního pohybu, která je shodná s rychlostí (v) při lineárním pohybu, je úhlová rychlost (ω). Rotující objekt má tedy moment hybnosti, který lze vypočítat pomocí rovnice:

L = Iω

L = moment hybnosti (kg m² ^/ s), I = moment setrvačnosti (kg m² ⁾ , ω = úhlová rychlost (rad/s)

Ukázkové úlohy s momentem hybnosti

Ukázkový problém 1.

Částice o hmotnosti 0.5 gramu se pohybuje po kružnici s konstantní úhlovou rychlostí 2 rad/s. Určete moment hybnosti částice, pokud poloměr dráhy částice je 10 cm.

Řešení:

Moment setrvačnosti částice:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻⁶ kg ^m²

Úhlová rychlost částice:

ω = 2 rad/s

Moment hybnosti částice:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg m² ^/ s

Zákon zachování momentu hybnosti

Zákon zachování momentu hybnosti říká, že pokud je výsledný moment síly na tuhé těleso při otáčení nulový, pak je moment hybnosti tuhého tělesa při otáčení vždy konstantní. Zákon zachování momentu hybnosti lze matematicky odvodit úpravou rovnice druhého Newtonova zákona momentu hybnosti. Zde je rovnice druhého Newtonova zákona pro moment hybnosti:

Pokud je výsledný moment síly nulový, pak se výše uvedená rovnice změní na:

I _t = konečný moment setrvačnosti, I _o = počáteční moment setrvačnosti, ω _t = konečná úhlová rychlost, ω _o = počáteční úhlová rychlost, L _t = konečný moment hybnosti, L _o = počáteční moment hybnosti.

Ukázkové úlohy ze zákona zachování momentu hybnosti

Ukázkový problém 1.

Homogenní plný válcový kotouč se zpočátku otáčí kolem své osy rychlostí 4 rad/s. Hmotnost a poloměr kotouče jsou 1 kg a 0.5 m. Pokud je nad deskou umístěn prstenec o hmotnosti 0.2 kg a poloměru 0.1 m, jehož středem je...

těsně nad středem disku, pak se disk a prstenec budou otáčet společně úhlovou rychlostí…..

Řešení:

Moment setrvačnosti plného válce: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Moment setrvačnosti prstence: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Počáteční moment hybnosti (L1 ₎ = Konečný moment hybnosti ( _L2 )

I1ω1 = _I2ω2​​_​​_​

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Konceptuální otázky a odpovědi

1. Co je to moment hybnosti?
   Odpověď: Moment hybnosti je mírou rotace objektu s ohledem na jeho hmotnost a tvar. Je to rotační analogie lineárního momentu hybnosti.
2. Jak se matematicky určuje moment hybnosti?
   Odpověď: Moment hybnosti (L) je definován jako $L=r\times p$, Kde $r$ je vektor polohy od osy otáčení k bodu působení a $p$ je lineární hybnost.
3. Je moment hybnosti skalární nebo vektorová veličina?
   Odpověď: Moment hybnosti je vektorová veličina.
4. Jaká je jednotka momentu hybnosti v soustavě SI?
   Odpověď: Jednotkou momentu hybnosti v soustavě SI je kilogram-metr čtvereční za sekundu (kg·m²/s).
5. Jak se zachovává moment hybnosti?
   Odpověď: V uzavřeném systému bez vnějších momentů zůstává celkový moment hybnosti konstantní.
6. Jaký je princip zachování momentu hybnosti?
   Odpověď: Princip říká, že celkový moment hybnosti uzavřeného systému zůstává konstantní, pokud na něj nepůsobí vnější točivý moment.
7. Jak souvisí rotace krasobruslaře s momentem hybnosti?
   Odpověď: Když krasobruslař během piruety přitáhne ruce a nohy blízko k tělu, sníží se jeho moment setrvačnosti, což způsobí rychlejší rotaci. To demonstruje zákon zachování momentu hybnosti.
8. Jaký je vztah mezi točivým momentem a momentem hybnosti?
   Odpověď: Točivý moment ($\tau$) je rychlost změny momentu hybnosti. Matematicky řečeno, τ=dl/s​.
9. Je možné, aby objekt měl moment hybnosti bez úhlové rychlosti?
   Odpověď: Ne, pokud má objekt moment hybnosti, má i úhlovou rychlost. Velikost a směr momentu hybnosti závisí jak na momentu setrvačnosti, tak na úhlové rychlosti.
10. Jak moment setrvačnosti ovlivňuje moment hybnosti?
    Odpověď: Moment hybnosti (L) je součin momentu setrvačnosti (I) a úhlové rychlosti (ω). USA $L=I\omega$, zvýšení momentu setrvačnosti pro danou úhlovou rychlost zvýší moment hybnosti.
11. Jaký je rozdíl mezi spinem a orbitálním momentem hybnosti v kvantové mechanice?
    Odpověď: Spinální moment hybnosti je vnitřní vlastností částic, stejně jako elektronů, a nevzniká z pohybu v prostoru. Orbitální moment hybnosti naopak vzniká z pohybu částice kolem centrálního bodu.
12. Jakou roli hraje moment hybnosti při formování planetárních systémů?
    Odpověď: Jak se molekulární mrak hroutí a vytváří hvězdy a planety, zákon zachování momentu hybnosti způsobuje, že se materiál zploští do disku kolem nově vznikající hvězdy, ze kterého se mohou formovat planety.
13. Jak si gyroskop udržuje svou orientaci v prostoru?
    Odpověď: Rotující gyroskop má moment hybnosti. Když se vnější krouticí moment snaží změnit jeho orientaci, gyroskop se v důsledku zachování momentu hybnosti posouvá do precesní polohy, neboli mění svou osu otáčení, ve směru kolmém k působícímu momentu.
14. Co způsobuje precesi v káči?
    Odpověď: Precese v káči je způsobena gravitačním momentem působícím na těžiště káči, které je posunuto od bodu otáčení. Tento moment má za následek změnu směru momentu hybnosti káči, což způsobuje její precesi.
15. Proč se hvězdy zplošťují na svých pólech?
    Odpověď: Jak hvězdy rotují, působí na ně odstředivá síla, která vytlačuje hmotu ven. Tento efekt je silnější na rovníku než na pólech, což vede k zploštělému tvaru.
16. Jak souvisí moment hybnosti s druhým Keplerovým zákonem?
    Odpověď: Druhý Keplerův zákon říká, že úsečka spojující planetu a Slunce pokrývá během stejných časových intervalů stejné plochy. To je důsledek zákonu zachování momentu hybnosti.
17. Proč kočka vždycky dopadne na nohy, když spadne?
    Odpověď: Kočky využívají zákon zachování momentu hybnosti. Otáčením těla a změnou momentů setrvačnosti ve vzduchu se mohou přeorientovat a přistát na nohou, aniž by porušily zákon zachování momentu.
18. Jak souvisí magnetický moment s momentem hybnosti v elektronech?
    Odpověď: Magnetický moment elektronu vyplývá z jeho spinu a orbitálního momentu hybnosti. Magnetický moment je úměrný momentu hybnosti elektronu.
19. Co je moment hybnosti v polárních souřadnicích?
    Odpověď: V polárních souřadnicích, moment hybnosti $L$ pro bodovou hmotu lze vyjádřit jako $L=mrv$, Kde $m$ je hmotnost, $r$ je radiální vzdálenost a $v$ je tangenciální rychlost.
20. Co se stane s momentem hybnosti uzavřeného systému, když se dva objekty srazí?
    Odpověď: V uzavřeném systému, kde se srazí dva objekty, je celkový moment hybnosti před srážkou roven celkovému momentu hybnosti po srážce, za předpokladu, že na systém nepůsobí žádné vnější momenty.

Problémy a řešení

1. Úloha: Bod o hmotnosti m = 2 kg se pohybuje rychlostí v = 3 m/s po kružnici o poloměru r = 4 m. Vypočítejte jeho moment hybnosti kolem středu kružnice.

Řešení: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m² ^/ s

2. Úloha: Pevná koule o hmotnosti 3 kg a poloměru 0.5 m se otáčí kolem svého průměru úhlovou rychlostí ω = 2 rad/s. Jaký je její moment hybnosti?

Řešení: Pro pevnou kouli ^platí I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Úloha: Bodové těleso o hmotnosti 3 kg se pohybuje přímočarou rychlostí 4 m/s. Jaký je jeho moment hybnosti kolem bodu vzdáleného 5 m od osy jeho pohybu?

Řešení:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Úloha: Kotouč o hmotnosti 5 kg a poloměru 3 m se otáčí úhlovou rychlostí 2 rad/s. Vypočítejte jeho moment hybnosti.

Řešení: Pro disk ^platí I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Úloha: Tyč o délce 4 m a hmotnosti 2 kg se otáčí kolem jednoho konce úhlovou rychlostí 3 rad/s. Určete její moment hybnosti.

Řešení: Pro tyč s jednou končící plochou ^platí I = 1/3 ​m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Úloha: Jak se změní moment hybnosti, pokud rotující těleso zdvojnásobí svou úhlovou rychlost?

Řešení: Vztah mezi momentem hybnosti (L) a úhlovou rychlostí (ω) je $L=I\times \omega$ . Pokud se ω zdvojnásobí, zdvojnásobí se i moment hybnosti.

7. Problém: Pokud se poloměr kruhové dráhy pohybující se částice zdvojnásobí při zachování konstantní rychlosti, o kolik se změní moment hybnosti?

Řešení: Moment hybnosti, $L=m\times r\times v$ . Pokud se r zdvojnásobí, zdvojnásobí se i L.

8. Úloha: Dítě o hmotnosti 30 kg stojí na okraji kolotoče, který je v klidu. Poloměr kolotoče je 2 m. Pokud se dítě rozběhne rychlostí 2 m/s vzhledem k zemi podél okraje, určete moment hybnosti dítěte vzhledem ke středu.

Řešení: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m² ^/ s

9. Úloha: Válec o hmotnosti 6 kg a poloměru 2 m se otáčí kolem své středové osy úhlovou rychlostí 5 rad/s. Vypočítejte jeho moment hybnosti.

Řešení: Pro válec ^platí I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2² ^× 5=120 kg.m² ^/ s

10. Úloha: Jaký bude nový moment hybnosti tělesa, pokud se jeho moment setrvačnosti sníží na polovinu a jeho úhlová rychlost se ztrojnásobí?

Řešení: Je-li dáno $L=I\times \omega$ , pokud se $I$ rozpůlí a $\omega$ ztrojnásobí, nové $L$ bude 1/2×3=1.5 × původní.

11. Úloha: Obruč o hmotnosti 2 kg a poloměru 1 m se otáčí úhlovou rychlostí 4 rad/s. Vypočítejte její moment hybnosti.

Řešení: Pro obruč platí I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m² ^/ s

12. Úloha: Ventilátor má lopatky o délce 0.5 m a celkovou hmotnost 1 kg. Pokud se otáčí úhlovou rychlostí 10 rad/s, určete jeho moment hybnosti.

Řešení: Za předpokladu, že lopatky ventilátoru jsou jako tyče otáčející se kolem jednoho konce, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5² ^× 10=0.833 kg.m² ^/ s

13. Úloha: Vypočítejte moment hybnosti Země kolem její vlastní osy v důsledku její rotace. Dáno: Hmotnost Země ⁼ 5.972 × 10²⁴ ^kg , poloměr $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁶rad\text{/s}$.

Řešení: Za předpokladu ^, že Země je pevná koule, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$ =2/5 × 5.972 × 10 ²⁴ × (6371 × 10 ³ ) ² × 7.27 × 10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problém: Dítě se pohybuje směrem ke středu rotující plošiny. Zvětšuje se, zmenšuje nebo zůstává moment hybnosti stejný?

Řešení: Moment hybnosti se zachovává. Jak se dítě pohybuje směrem ke středu, moment setrvačnosti se snižuje. Aby se zachoval moment hybnosti, úhlová rychlost se zvyšuje. Moment hybnosti tedy zůstává stejný.

15. Úloha: Pokud se kinetická energie rotujícího tělesa zdvojnásobí, o kolik se změní jeho moment hybnosti?

Řešení: Kinetická energie K = 1/2 ​I ω ² a moment hybnosti $L=I\omega$ . Pokud se kinetická energie zdvojnásobí a $I$ zůstane konstantní, ω ² se zdvojnásobí. To znamená, že $\omega$ se zvýší faktorem √ 2$.\; L\; se$tedy také zvýší faktorem √ 2 ​.

16. Úloha: Kolo jízdního kola o poloměru 0.3 m má ráfek o hmotnosti 1.5 kg. Pokud se otáčí úhlovou rychlostí 5 rad/s, určete jeho moment hybnosti.

Řešení: Za předpokladu, že okraj je obruč, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0 , 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Problém: Bruslařka při točení přitahuje paže dovnitř. Co se stane s jejím momentem hybnosti?

Řešení: Bruslařčin moment hybnosti je zachován. Přitažením paží k sobě snižuje moment setrvačnosti, a proto se otáčí rychleji (zvýšená úhlová rychlost), aby si zachoval moment hybnosti.

18. Úloha: Setrvačník má moment setrvačnosti 0.2 kg.m² ^{kg.m² a} otáčí se úhlovou rychlostí 10 rad/s. Určete jeho moment hybnosti$\text{.}$

Řešení:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Problém: Na systém působí nulový čistý vnější moment. Co můžete říci o jeho momentu hybnosti?

Řešení: Pokud je čistý vnější točivý moment nulový, pak podle zákona zachování momentu hybnosti zůstává celkový moment hybnosti systému konstantní.

20. Úloha: Bod o hmotnosti m = 5 kg se pohybuje rychlostí v = 3 m/s kolmo k přímce spojující ho s bodem P. Pokud je vzdálenost od bodu P 4 m, určete jeho moment hybnosti kolem bodu P.

Řešení:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s